DEUXIÈME PARTIE

14 juin- Ainsi qu’on l’a vu dans la première partie de ce mémoire, l'intégration des équations aux différences partielles que j’ai données dans les exercices, comme propres à représenter le mouvement d’un système de molécules sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, conduit directement è l’explication des divers phénomènes que présente la théorie de la lumière. Il y a plus: pour établir cette théorie , il n’est pas nécessaire de recourir aux intégrales générales des équations dont il s’agit. Il suffît de discuter les intégrales particulières qui expriment le mouvement de propagation d’une onde plane dans un milieu élastique. En effet , la sensation de lumière étant supposée produite par les vibrations des molécules d’un fluide éthéré , pour déterminer la direction et les lois suivant lesquelles de semblables vibrations , d’abord circonscrites dans des limites très-resserrées , autour d’un certain point O, se propageraient à travers ce fluide, il suflit de considérer au premier instant un grand nombre d’ondes planes qui sc superposent dans le voisinage du point O , et d’admettre que , les plans de ces ondes étant peu inclinés les uns sur les autres , les vibrations des molécules sont assez petites pour rester insensibles dans

chaque onde prise séparément, mais deviennent sensibles par la superposition indiquée. Or , le calcul nous a fait voir que dans un iluido éthéré, dont l’élasticité n’est pas la même en tous sens , chaque onde plane se subdivise généralement en trois autres de même épaisseur, comprises dans des plans parallèles, mais propagées avec des vitesses différentes , de chaque côté du plan qui renfer niait l’onde initiale. Nous en avons conclu qu’un système d’ondes planes superposées d’abord dans le voisinage d’un point donné O, se subdivise en trois systèmes d’ondes qui viennent successivement se superposer en différents points de l’espace , et nous avons nommé rayon lumineux la droite qui renferme , pour l’un des systèmes, tous les points de superposition. Nous avons ainsi montré que trois rayons lumineux résultent généralement do vibrations moléculaires qui ne s'étendaient d’abord qu'à une très petite distance autour du point O, Nous avons d’ailleurs rccounu que, dans chacun de ces rayons lumineux, les vibrations des molécules éthérées demeuraient constamment parallèles à l’un des trois axes d’un certain cllipsoïdo , et qu’en conséquence dans les trois rayons la lumière était polariséo suivant trois directions perpendiculaires l’une à l’autre , et parallèles aux trois axes de l’ellipsoïde , quelles que fussent , d’ailleurs , les directions des vibrations initiales. Nous avons vu Jes trois rayons se réduire è deux , ou même à un seul .lorsque les vibrations initiales étaient parallèles à l’un de6 plans principaux de l’ellipsoïde ou à l’un de ses axes, et dès lors il a été facile do comprendre pourquoi lç6 rayons polarisés ne se subdivisent pas ù l’infini. Nous avons prouvé qpc dans le cas où l’élasticité de i’éther est la même en tou9 sens, les trois rayons se réduisaient à deux; «avoir, un

rayon simple et un rayon double, dirigés suivant la même droite, et'polarisés , le premier parallèlement , le second perpendiculairement b cette droite. Enfin nous avons vu le rayon simple disparaître, lorsque les vibrations initiales des molécules de l’éther étaient supposées perpendiculaires aux directions des rayons , et alors il n’y avait plus , à proprement parler , de polarisation. Or , la réduction de tous les rayons à un seul , et l’absence de toute polarisation dans les milieux où la lumière reste la même en tous sens, étant constatées par l’expérience, nous avons tiré de notre analyse cette conclusion définitive que , dans la lumière ordinaire , les vibrations sont transversales , c’est-à-dire perpendiculaires aux directions des rayons; et ainsi l’hypothèse queFresnel avait admise, malgré les arguments et les calculs d’un illustre adversaire , s’est transformée en une réalité.

Nous allons maintenant appliquer la théorie que nous venons de reproduire en peu de mots à la propagation de la lumière dan? les cristaux à un axe ou à deux axes optiques. Pour y parvenir, il ne sera pas nécessaire d’employer les équations générales que nous avons données dans la 5 i* livraison des Exercicts comme propres à représententer le mouvement d’un système de molécules sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle , et l’on pourra réduire ces équations aux formules (68) de la page 208 du troisième volume, c’est-à-dire, aux formules qui expriment le mouvement d’un système qui offre trois axes d’élasticité perpendiculaires entre eux. On pourra d’ailleurs supposer qu’aucune force intérieure n’est appliquée au système , et alors les formules dont il Vagit renfermeront seulement le temps t , les coordonnées x, y, * d’une molécule quelconque •» , ses dé-

placements Ç, u , Ç , mesures parallèlement aux axes coordonnés, et neuf coeilicinnts G, U, I . /-, M , A» P, Q , /f , dont lus trois premiers seront proportionnels aux pressions supportées, dans l’état naturel du fluide élliéré , par trois plans respectivement perpendiculaires à ces mêmes axes. Les coellicienls dont il est ici question , étant regardés comme constants,] on construira sans peine l’ellipsoïde dont les trois axes sont réciproquement proportionnels aux trois vitesses de propagation des ondes planes parallèles à un plan donné, et dirigés parallèlement aux droites suivant lesquelles se mesurent les vitesses propres des molécules élhérées dans ces ondes planes. On pourra aussi déterminer , i° les directions des trois rayons polarisés produits par la subdivision d’un rayon lumineux dans lequel les vibrations des molécules auraient des directions quelconques; 2 ° la vitesse de la lumière dans chacun de ces trois rayons; 3° les diverses valeurs que prendrait cette vitesse , dans les rayons polarisés produits par la subdivision de plusieurs rayons lumineux qui partiraient simultanément d’un même point. Enfin l’on pourra construire la surface à trois nappes , qui , au bout du temps t, passerait par les extrémités de ces rayons , et que l’on nomme la surface de l’onde lumineuse. Quant à l’intensité de la lumière , elle seru mesurée , dans chaque rayon , par le carré de la vitesse des molécules. Cela posé, si l’élasticité du fluide élhéré reste la même en tous sens autour d’un axe quelconque parallèle à l’axe des z, on aura ,

et par conséquent les neuf coellicienls dépendants dt^ la distribution des molécules dans l’espace se réduiront à

cinq , savoir : // , / , M , Q , R. Il y a plus : deux nappes, de la surface ci-dessus mentionnée pourront se réduire an système de deux ellipsoïdes de révolution circonscrits l’un à l’autre ; et , pour que celte dernière Réduction ait lieu , il suffira que la condition

soit remplie. Enfin l’un des deux ellipsoïdes deviendra une sphère qui aura pour diamètre l’axe de révolution de. l’autre ellipsoïde , si l’on suppose

et alors la marche des deux rayons polarisés sera précisément celle qu’indique le théorème d’ilnyghens, relatif aux cristaux qui offrent un seul axe opliquc. Or, l’exactitude de ce théorème ayant été mise hors de doute par les nombreuses expériences des physiciens les plus habiles , il résulte de notre analyse que, dans les cristaux à un axe optique, les coeQjcicnts //, 1, N , Q, R, vérifient les conditions (a) et (3). D’ailleurs l’élasticité du fluide éthéré n’étant, par hypothèse, la même en tous sens qu’autour de l’axe des i, il n’est pas naturel d’admettre que l’on ait <;=//=/ , h moins que l’on ne suppose les trois coefficients G , //, /, généralement nuis. Il est donc très probable que dans l’éther ces trois coefficients s’évanouissent , et avec eux lcs*pressions supportées par un plan quelconque dans l’état naturel. Cette hypothèse étant admise, l'ellipsoïde et la sphère ci-dessus mentionnées seront représentées par les équations

fixe optique^ ces deux demi-diamètres , ou leurs carrés Q , Il , sont toujours très-peu différents l’un de l’autre , et qu’en conséquence l’ellipse génératrice de l’ellipsoïde offre une excentricité très petite. Il en résulte aussi que la condition ( 3 ) se réduit sensiblement h la suivante

c’est-à-dire à une condition qui est remplie , toutes les fois que l’élasticité d’un milieu reste la même en tous sens autour d’un point quelconque. Ajoutons que l’intensitéde lu lumière déterminée par le calcul pour chacun des deux rayons polarisés que nous considérons ici est précisément celle que fournit l’observation. Quant au troisième rayon polarisé , le calcul montre qu’il est très-diflicile de l’apercevoir , attendu que l’intensité de la lumière y demeure toujours très-petite quand elle n’est pas rigoureusement nulle. Nous indiquerons plus lard les moyens d’en constater l’existence.

Concevons à présent que , dans le fluide élhéré , l’élasticité cesse d’être la même en tous sens autour d’un axe parallèle à I axe des Si l’on coupe la surface de l’onde lumineuse par les plans coordonnés, les sections faites dans deux nappes de cette surface pourront se réduire aux trois cerdles et aux trois ellipses reprentées par les équations

fV = 5 R,

( so )

et , pour que celle réduction ait lieu , il suffira que, les coefficients G , H , l étant nuis , les trois conditions

( (.«-/>) (ff-P)=4 P’, (/V-Q)(£-Q)=4 Q\ {*)\ [L — /Î)(M— /?) =4 R ' ,

toutes trois semblables à la condition (s), soient vérifiées. 11 y a plus , si les excentricités des trois ellipses sont assez petites peur qu’on puisse négliger leurs carrés, les conditions (6) entraîneront In suivante

\(M — P)(\—Q)(L—R) —[N — P) ( L-Q) ( M -R) = *PQR,

et l’équation de la surface de l’onde lumineuse pourra être réduite à

i (x* +y' + î*) (Px’ + Qy' + Rs’)

( [P(Ç+Æ)x’ + Q(ff+P) 7 ’+fl(P+Q)s’]t’+t*=o.

Or, les trois cercles, les trois ellipses, et la surface du 4* degré représentées par les équations (5) , (7) , sont précisément celles que Fresnel a donuées comme propres à indiquer la marche des deux rayons polarisés , aperçus jusqu’à ce jour dans les cristaux à deux axes optiques; et l’on sait d’ailleurs que, dans ces cristaux, les excentricités des ellipses sont fort petites. Donc les conditions (6) doivent y être sensiblement vérifiées. Au reste , il esfebon d’observer que , si les excentricités devenaient nulles , ou en d’autres termes , si l’on avait

les conditions (6) donneraient

( al )

et que. les conditions (8) , (9)' sont précisément celles qui doivent être remplies pour quo l’élasticité d’un milieu reste la même dans tous les sens.

Quant ou troisième rayon polarisé, comme l’intensité de sa lumière est fort petite, il sera généralement trèsdiilicilc de l’apercevoir, si ce n’est dans des circonstances particulières que notre théorie nous permettra d’indiquer.

En résumant ce qu’on vient de dire, on voit que, les conditions (6) étant supposées rigoureusement remplies , les sections fuites dans la surface de l'onde lumineuse par les plans coordonnés coincideront exactement avec celles que Fresnel a données. Quant à la surface même, elle sera peu différente de la surface du 4* degré que cet illustre physicien a obtenue, et par conséquent celle dernière est dans la théorie do la lumière ce qu’est le mouvement elliptique des planètes dans le système du monde.

Les excentricités des ellipses suivant lesquelles la surface de l’onde lumineuse se trouve coupée par les plans coordonnés étant généralement fort petites pour les cristaux à un seul axe ou à deux optiques, il en résulte qu’on peut déterminer avec une grande approximation , dans ces cristaux , les vitesses de propagation des ondes planes , et les plans de 'polarisation dos rayons lumineux à l’aide de la règle que je vais indiquer.

Pour obtenir les vitesses de propagation des ondes planes parallèles à un plan donné A Ü C , et correspondantes aux deux rayons polarisés que transmet un cristal un ou à deux axes optiques , il suffit de couper l’ellipsoïde que représente l’équation.

par un plan diamétral parallèle au plan donne. La section ainsi obtenue sera une ellipse dont les deux axes seront numériquement égaux aux vitesses de propagation des ondes planes dans les deux rayons. De plus 'celui de ces deux rayons dans lequel les ondes planes se propageront avec une vitesse représentée par le grand axe de l’ellipse sera polarisé parallèlement au petit axe,- et réciproquement le rayon dans lequel les ondes planes se propageront avec une vitesse représentée par le petit axe; «le l’ellipse sera polarisé parallèlement au grand axe. Si l’on fait coinoider le plan ABC avec l’un des plans principaux de l’ellipsoïde , les deux rayons polarisés suivront la même roule , et les deux vitesses de la lumière dans ces rayons seront précisément les vitesses de propagation des ondes planes. Par suite les vitesses de la lumière dans les six rayons polarisés « dont les directions coïncident avec les trois axes de l’ellipsoïde , sont deux à deux égales entre elles cl à l’un des nombres {/P, [/Q , {/B- Ajoutons que les deux rayons dont la vitesse est {/P sont polarisés parallèlement è l’axe des x , ceux dont la vitesse est \/Q parallèlement à l’axe des y, et ceux dont la vitesse est parallèlement è l’axe des z. Dans le cas particulier où les quantités P , Q deviennent égales entre elles, la surface repésenlée par l’équation (10) , qu

fini 4- —

est un ellipsoïde de révolution dont l'axe est ce qu’on appelle l’axe optique du cristal. Alors , l’un des demi -axes de la section faite par un plan diamétral quelconque est constamment égal à [/(J, ainsi que la vitesse de la lumière dans l’un des doux rayons polarisés. Le rayon dont il s’a

git est celui qu’on nomme rayon ordinaire, cl il se trouve polarisé parallèlement h In droite, qtoi , dans le plan ABC forme le plus petit et le plus grand angfe avec l’axe optique , tandis que l’autre rayon , appelé rayon extraordinaire, est polarisé parallèlement h la droite d’intersection du plan ABC et d’un plan perpendiculaire à l’axe optique. Alors aussi les deux rayons ordinaire et extraordinaire se superposent , quand ils sont dirigés suivant l’axe optique, et sc réduisent à un rayon unique qui n’offre plus aucune trace de polarisation. • m

Lorsque les trois quantités P ,Q, B sont inégales entre elles , l’ellipsoïde représenté par l’équation fio) peut être coupé suivant des cercles par deux plans diamétraux qui renferment tous deux l’axe moyen. Donc les deux rayons polarisés se superposent lorsque les ondes planes deviennent parallèles h l’un de ces plans. Alors , la direction commune des deux rayons est ce qu’on appelle un axe optique. Donc, pour les cristaux dans lesquels l’élasticité de l’éther n’est pas la même en tous sens autour d’un axe , il existe deux axes optiques suivant lesquels se dirigent les rayons qui n’oITrent plus aucune trace de polarisation.

Toutcsces conséquences de notre analyse sont conformes à l’expérience , jet même, dans des leçons données .au collège royal de France , M. Ampère avait déjà remarqué que la construction de l’ellipsoïde représenté par l’équation (io) fournit le moyen de déterminer les vitesses de propagation des ondes planes et les plans de polarisation des rayons lumineux. Seulement ces plans, que l’oncroyoil perpendiculaires aux directions des vitesses propres des molécules élhérées , renferment an contraire ces mêmes directions. * *

Nous ajouterons qu’k l’équation (10) on |>ourroit substituer la suivante *

(12) Px'+Qj'+Ri\= 1.

lin effet , les deux sections faites par un même plan dans les deux ellipsoïdes que représentent les équations (10) et (12) ont leurs axes parallèles , et ceux de la seconde section sont respectivement égaux aux quotients que l’on obtient en divisant l’unité par les axes de la première.