CHAPITRE V
APPLICATION UES RÉSULTATS DU CHAPITRE PRÉCÉDENT A LA THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS ENTIÈRES
27. Recherche d’une limite supérieure précise du module maximum d’une fonction entière, étant donnée une limite inférieure des modules de ses zéros. — Considérons une fonction entière canonique dont les zéros sont assujettis à la seule condition:
(18) | a* | >a(v) \n (iog ri)a ] p ,
et proposons-nous d'évaluer une limite supérieure aussi précise que possible de son module maximum M(r).
La solution de ce problème est immédiate dans le cas d’une fonction de genre zéro. En effet, on aura alors
*<'>sïï(h m)-
et, d’après les formules du n° 24, cette inégalité s’écrit:
, r*~ r/,{\oer)~a
M (r) < e f>° B",,rp ' '
lorsque p est inférieur à l'unité, et, pour p — 1:
Ces limites sont d’ailleurs bien précises, puisqu’elles sont respectivement atteintes pour les fonctions
nri» (iog nrj
7 et
nK
n (log n)
Ernst Lindeuôf.
Pour les fonctions de genre supérieur à zéro, la solution du problème dont il s’agit est bien plus compliquée. Aussi nous bornerons nous ici aux fonctions de
genre un:
Cherchons d’abord le maximum du module de l’expression
sur la circonférence décrite de l’origine comme centre avec un rayon arbitraire p. En posant u = p e , on trouve
1 E (u , 1 ) j = Ÿ 1 — 2 p cos tp + p 2 ros
et, en égalant à zéro la dérivée de cette expression par rapport à tp, il vient:
sin </>(/> - 2 cos tp) -= 0 ,
équation qui admet les racines tp = Ofip = jt et i// = ar c cos ^ , dont la dernière n’est réelle que tant que /><[ 2.
Une discussion facile montre que le maximum cherché correspond à la racine tp — 0 lorsque pP>2, et à la racine tp = arc cos lorsque /> < 2, et que sa valeur
est dans le premier cas égale à (p — De11, et dans le second cas à es.
Il s’agit maintenant de disposer les zéros an conformément à la condition (18), de telle sorte que pour une valeur donnée de x , que nous supposerons d’ailleurs réelle et positive, le module de la fonction (19) soit aussi grand que possible.
Posons u— — =pexi>, d’où il suit p = r——< . Comme le maximum de \E(u, 1) j a \a i i j i
sur le cercle \u\=p est une fonction croissante de p , on voit d’abord qu’il faudra, rendre les modules des zéros aussi petits que possible, condition qu’on réalise en faisant \an\ — a(n) pour tout indice n. D’autre part, il suit de la discussion qui
précède que, lorsque pP>2, c’est à dire pour les indices n tels que \an\ = a (n) < -
on doit prendre tp = 0 et par suite an réel et positif, tandis que, pour p < 2 ou
a(w)>— , on doit choisir l’angle tp de telle sorte qu’on ait /> = 2cosi// ou bien
j an | cos tp — -jr , égalité qui. exprime, en langage géométrique, que le point a est
OC
situé sur la perpendiculaire à l’axe réel passant par le point
T. XXXI
Nous arrivons donc à cette conclusion que la plus grande valeur que puisse atteindre, au point considéré x, le module d’une fonction (19) dont les zéros sont assujettis à la condition (18), est donnée par l’expression
où l’entier n' est déterminé par les inégalités
(21) a ( n ') < f' < a ( n ’ -fl),
a in) ayant la signification indiquée au début de ce numéro.
Un calcul facile nous donne pour la somme V la valeur
(log X)
ou
brf^Oflg^ « — 1 )
P~ * (or — 1)
suivant qu’on a p<C. 2 ou p~2, de sorte que le logarithme du second facteur de l’expression (20), suivant que l’un ou l'autre de ces cas se présente affecte la forme
— - — ( og.r) ou — — — - x (log a)
(2 - p) 2' ~ 1 /0 1 6 pa (a — 1) b
Four évaluer le premier facteur de l’expression (20), posons
'w-iîte
\ea(n)
l’entier n” étant déterminé, pour une valeur donnée quelconque de y, par les inégalités a (n”) < | < a (n” 1), et faisons croître y d’une manière continue depuis
la valeur y0 — 2a(vn) jusqu’à la valeur considérée de* a:. L’expression F (y) ira constamment en croissant et fera un saut brusque chaque fois que ~ passera par une valeur a(n), puisqu’en ce moment un nouveau facteur vient s’y joindre. La valeur initiale f pour de ce facteur étant égale à e~, on voit que log F [y)
est une fonction constamment croissante qui subit un saut brusque de deux unités
chaque fois que passe par une valeur a(w), et comme log F(y0)~ 2, on obtient donc
log F (y) = 2 (n" — n0 + J )
Ernst Ltndelôf.
et en particulier, pour y — a*.
i°sn{(sw)-i)e°i4
ÿo
Les inégalités (21) nous donnent d’abord
2w' = ülEvi*p(iogxra,
expression qui représentera également le premier terme du second membre de inégalité ci-dessus.
D’antre part, en procédant comme au n° 21, nous pourrons mettre la dérivée logarithmique du produit F (y) sous la forme:
-0vJ’r-°aoet,-£y-
D’après n° 26, l’intégrale détinie qui figure dans cette expression peut s’écrire:
D +*W)-27-fiïzrry
si p est supérieur à un, et pour p — 1 :
y 1 (log y) “ ‘ * ou ( 1 -b f (y)) y 1 log log y ,
ÏF'(y)
yo
suivant qu’on a n< 1 ou «=1, et par suite l’intégrale j yr(1j- d y devient, dans le premier cas:
rW-i)
et dans les deux derniers cas respectivement
- f-z-p-1- x (log xF °' + * et (l -f f (#)) x log log % .
En réunissant tous ces résultats, on trouve que l’expression (20), suivant les valeurs de p et de «, peut se mettre sous l’une ou l’autre des formes suivantes:
e(l -\- t{x)) Kxp (\ogx) “
pour
]jLi£)Lxp(.logxrw + i
pour
l+t(F .reloger 8 + 1 e 1 ~ a
pour
^(1 + e (a1)) œ log log x
pour
T. XXXI
Mémoire sur ta théorie des fonctions entières.
Dans la première expression on a écrit, pour abréger,
(22) " 2P ~ipa(2~ p) 2" 2 P* { p- I)
Ces mêmes expressions donnent, lorsqu'on y remplace x par r, des limites supérieures pour le module maximum M (r) d'une fonction entière quelconque de genre un dont les zéros vérifient la condition (18). Et ces limites sont bien précises, c’est à dire que, en supposant p. ex. l<jyo<2, on pourra disposer les zéros an conformément à la condition (18;. de telle sorte que l'inégalité \
M(r)> e<*- *)r'(tagr)—
sera vérifiée pour des valeurs r indéfiniment croissantes, quelque petit que soit le nombre positif t.
28. Retour sur les inégalités fournies par le théorème de M- Jensen. — Étant donnée une fonction entière quelconque f(x) dont le module maximum Mtr) est assujetti à la condition
(23) M (r) <T (i°gr)“
à partir d’une certaine valeur de r, nous savons, d’après n*-* 9 et 12. que les zéros de cette fonction vérifient l’inégalité
(24) Ÿ\ ai «2 ‘ ' • a„\ ' > Ü — *) n dûg n) “ e , et par suite aussi, à plus forte raison, l’inégalité
(25) i«„i>d — «)[j »0og«r“y,
dès que l’indice n dépassera une certaine limite, quelque petit que soit le nombre positif s.
Il n’est pas sans intérêt de faire voir que l’inégalité (25), bien qu’elle ait été obtenue par des approximations en apparence assez grossières, n'en est pas moins la plus précise qu’on puisse assigner, tant qu’on ne fait sur la fonction f(x) d’autres hypothèses que celle exprimée par l’inégalité (23). Il nçus suffira évidemment de montrer qu’on peut former une fonction entière telle qu’on ait d’une part
pour une infinité d’indices n, et d’autre part., quelque petit que soit f, (27) ^q-)<6(1 + f)rP(logr,a
pour les valeurs suffisamment grandes de r.
Nro 1.
Ernst Lindelof.
Choisissons une suite indéfinie de nombres entiers positifs nt , n2, n3, • • • , tels qu’on ait
et posons (29)
lim
nv
tog n
^=[7 wK(lognu) “p Nous allons démontrer que la fonction entière
satisfait aux conditions énoncées tout à l’heure.
En posant = £n., nous avons d'abord, pour v suffisamment grand,
! \ I = Rv = [7 (log w ) a] < [^ (log *„) “] ' ,
ce qui prouve que la condition (26) est bien vérifiée pour une infinité de valeurs de l’indice n.
Soit maintenant Rv < /• < Rv , , et écrivons M (r) sous la forme:
Le premier produit du second membre est inférieur à r 1 si l’on a pris v et par
suite r suffisamment grand. Or l’hypothèse (28) nous permet d’écrire
s (v) - - , et d’autre part l’égalité (29) nous donne
log V
T —7- = (1 +« (O) eR'l (log Rf ~ 1 < (1 + e (v)) « r'5 (iog r)tt 1 , de sorte qu’il vient, pour r~>Rv,
J J | j 7 ( ^ J” j <• / CO rf> (log 0“ ~ 1 J (0 r' (log rf
Le dernier facteur de M(r) vérifie, pour r <C Rv + 1 , l’inégalité
T. XXXI
dont le second membre tend rapidement vers 2 lorsque v augmente. Reste le second facteur de M(r). En J’écrivant:
i/i (r) rp (log r)a
on trouve, par un calcul facile, que l’expression
atteint son maximum pour r = (1 + « (r)) e p Rv , et que ce maximum est égal à
«P 22? (log Rvf ’
expression qui, en vertu de l’égalité (29), se réduit simplement à l-f-«(v). Nous arrivons donc à ce résultat qu’on a
M(r)<e{1+f{v))rP{loer)a
pour + et que par suite l’inégalité (27) est vérifiée à partir d’une
certaine valeur de r, quelque petit que soit e.
Il est donc prouvé que, dans les conditions où nous nous sommes placés, la limite (25) est bien la plus précise qu’on puisse assigner.
29. Suite de la discussion précédente; cas où les zéros sont assujettis à certaines inégalités. — Soit encore f(çc) une fonction entière dont le module maximum est assujetti à la condition (23); mais supposons en outre qu’on sache que les zéros de cette fonction, à partir d’un certain indice w0, vérifient les inégalités
[A n (log n) aY < | a»\ < [Bn (log n) a}p ,
A et B étant deux constantes positives. Nous allons voir que, dans ces conditions, on peut, de l’inégalité (24), en tirer une autre qui est plus précise que l’inégalité (25).
Après avoir fixé l’indice n > n0 et d’ailleurs aussi grand qu’on voudra, déterminons le nombre n' par la condition
A n (log n) “ = B n' (log n') a
Ernst Lindelôf.
et désignons par ny le plus grand entier compris dans n'. On aura:
Cela posé, considérons l’expression \a1a2-- -an\, en l’écrivant:
| at a2
an
fXn
an
On voit immédiatement que le troisième facteur entre crochets est inférieur à l’unité, et que la racine nme du premier facteur tend vers l’unité lorsque n tend vers l’infini. D’autre part, les hypothèses admises ci-dessus nous donnent
IJ [v (log v)~~ “] p ri [v ( log v)~ “] ,J
■+1 —Mn~ 1
\n' (log n') ' “J p \nx (log np ' “]>
M désignant une quantité dont la racine n"“P tend vers l’unité pour lira n — oo. Or on trouve
nx 1 »i «w. , /..
nyp
I &n Un I
ri(dogv) ‘") = (logn1) p
de sorte que la dernière expression ci-dessus devient
Mc
?(l + «(fO)@Jf<r£ 7 (! + •(»»
De tout ce calcul, il suit donc
V\âx a2 • • • «„ | < (1 -f « (w)) e p w I «J ,
et par suite, en tenant compte de l’inégalité (24), on arrive à ce résultat que, dans l'hypothèse (80), la limite (25) peut être remplacée par la suivante :
U Pu
n (log n) ,
e pouvant être choisi aussi petit qu’on le voudra, à condition qu’on prenne l’indice n suffisamment grand.
L’hypothèse que nous venons d’envisager se trouve réalisée dans tous les cas où, en. même temps que la condition (23), l’inégalité
T. XXXI
Mlr)> e*r'llosr)“
est vériliée pour les valeurs r dépassant une certaine limite, le désignant un nombre positif inférieur à l’unité. Il suit en effet du théorème du n° 14 qu’il est possible, dans ces conditions, de trouver un nombre positif B tel que la seconde des inégalités (30> soit vérifiée à partir d’un certain indice n, et, pour que la première de ces inégalités subsiste, nous n’avons, d’après (25), qu’à poser
pa 1
A = (1 — s) ^ Aü ,
f étant un nombre positif arbitrairement petit.
Le nombre B une fois déterminé, l’inégalité (31) nous donne
| a» | > K n (log «)' “] P ,
avec
Al = A0g =
Nous en concluons, en appliquant encore une fois le résultat démontré ci-dessus,
| a„\ > \A2n (log n) 4]/>, où
A2 = (l-*)e*£ =A0eB =A0^.
On verrait de même que dans l’inégalité qui précède, on peut remplacer A2
par la constante A^^A^g, , et ainsi de suite. Or l'expression
lorsqu’on y fait croître indéfiniment le nombre des exposants superposés, converge vers la plus petite racine positive de l’équation x = (ix, et nous arrivons par suite au résultat que voici:
Si la condition (23) est vérifiée , et si Von a en même temps , à partir cVun certain indice n ,
(33) | a„! < [ Bn (log n)~a]p ,
B étant une constante positive , on pourra remplacer V inégalité (25) par la suivante :
| a„| > (1 — c) J"a> P- n (log n)-ajp ,
Ernst Lindelôf.
où u) désigne la plus petite racine positive de l’équation
Nous avons admis sans démonstration que l’expression (32) tend vers une limite finie lorsque le nombre des exposants g superposés augmente, et il est évident qu’il en est ainsi puisque, dans le cas contraire, notre raisonnement conduirait à une absurdité. Mais d’autre part on voit facilement que la convergence de l’expres-
sion en question n’a lieu que tant qu’on aura p<ee, condition qui s’écrit dans le cas actuel B>eA0, ou encore, puisque le nombre * peut être pris arbitrairement petit, B> pa — Nous arrivons donc à ce résultat que, dans l’hypothèse (23), l’inégalité (33) ne saurait être vérifiée pour toutes les valeurs n dépassant une certaine limite, si l’on a en d’autres termes:
Si le module maximum M(r) d’une fonction entière vérifie la condition
rp (lo,
& rf
à, partir d’une certaine valeur de r, on aura pour une infinité d’indices n,
(34) | a„ | > (1 — ê) [/>“ - 1 n (log n)~ " J p ,
quelque petit que soit le nombre positif e.
C’est là encore un résultat bien précis. Nous allons voir, en effet, qu’étant donné un nombre positif a arbitrairement petit, on peut former une fonction entière telle qu’on ait, à partir d’un certain indice n,
(35) | «*| < [d + <y)pa~1n (log w)-“]/’ ,
et qu’en même temps l’inégalité (23) subsiste pour les valeurs r suffisamment grandes, A cet effet, considérons le produit
Wo
où
a ( n ) = [(1 -f a') pa — 1 Icn (log n)~ a ] p ,
a' étant un nombre positif inférieur à c, et k un entier positif supérieur à p et d’ailleurs aussi grand qu’on le voudra.
On vérifie d’abord immédiatement que l’inégalité (35) a lieu à partir d’une valeur finie de n, quelque grand qu’on ait choisi l’entier k. D’autre part la formule
T. XXXI
(a) de la p. 53 nous donne, en changeant resp, en — a,
y — O, A — (1 -f a') kpa~xy
np
xn (.log x)a
Xe , et en faisant
Comme le produit -£
tend vers l’unité lorsque k tend vers l'inlini, on voit
donc que l’inégalité (23) subsiste à partir d’une certaine valeur de r, si l’on a pris l’entier k suffisamment grand, et que par suite la fonction (36) répond bien aux conditions requises.
30. Suite de la discussion précédente; cas d’une fonction de genre 0 dont les zéros sont réels et de même signe. — Considérons une fonction entière de genre zéro
dont les zéros sont tous réels et de môme signe, p. ex. tous positifs, cas auquel on a
co
"<">-11 (i+ïY
Dans ces conditions, on pourra encore, à l’inégalité (25), en substituer une autre qui est plus précise.
A cet effet, nous aurons d’abord à résoudre la question suivante. Posons
Jl nr) = e*{r)rriXosr)"-
on demande quel est la plus petite valeur que puisse atteindre la limite supérieure pour r= oo 9 de l'expression U>(r), lorsque les zéros sont assujettis à la seule condition de vérifier l'inégalité
an < \An (log n)~ “] pour une infinité d'indices n ( d’ailleurs quelconques).
n étant un indice quelconque pour lequel est vérifiée l’inégalité ci-dessus, posons
[A n (log n) ~ "] p = K, d’où n = Rp (log R) a (1 + £ (R)) .
P Pour la terminologie, voir J. Hadamaro: Essai sur l’étude des fonctions données pur leur développement de Taylor, p. 5.
Ernst Lindelôf.
Ou aura évidemment, pour toutes les valeurs de r,
/ v \ n ,tn
et par suite
loi
r? (log rf
En cherchant le maximum de cette dernière expression, on trouve la condition
d’où il suit r=rR( 1 \-e{li))t r désignant La racine positive de l’équation
log (1 = 4
Le maximum cherché devient donc, en tenant compte de la relation entre n et -B,
Pa log (1+ r) À <rp
et par suite nous arrivons à cette conclusion que, dans les conditions indiquées ci-dessus, la limite supérieure de rp (r) pour r — oo ne saurait être inférieure à
- j 1 i r‘ Mais d’autre part on voit facilement, par un raisonnement analogue à
celui du n° 28, qu'on peut disposer les zéros an, conformément aux. conditions voulues, de telle sorte qu’on ait, à partir d’une valeur finie de r.
i ri
ip(r) < (1+O^r- ÿ-, ■A 1
quoique petit que soit le nombre positif e. Donc la plus petite valeur que puisse acquérir la limite supérieure pour r = a c de V expression >p (r) est précisément égale a
De ce résultat nous pouvons conclure immédiatement la proposition suivante:
Étant donnée une fonction entière de genre 0 dont le module maximum vérifie l’inégalité
à partir d’une certaine valeur de r, si l'on sait que les zéros de cette fonction sont tous réels et de meme signe, on aura pour n suffisamment grand, quelque petit que soit le nombre positif e,
T. XXXi.
ci» j > (1 — <•)
Pa~ 1 - r n(iüg») I 1 -f r ° j
t désignant la racine positive de Y équation (37).
11 suit d ailleurs de notre raisonnement que l’inégalité (38) est la plus précise qu’on puisse établir dans les conditions que nous venons d’indiquer.
On passe de l’inégalité (25) à l’inégalité (38) en remplaçant, à l’intérieur de la 1 Tl —p
parenthèse, le facteur -p par l’expression j— -. Une discussion facile montre que
cette expression croît en même temps que />, et qu’elle tend vers 1 lorsque p tend vers O et vers l'unité lorsque p tend vers 1, de sorte qu’elle est bien toujours supérieure à Ainsi, pour p — 1, l’inégalité (38) s’écrit simplement
\a„ \ > (1 — s) [n (log n)~° Y .
1 Tl ~p i
Pour p—*, on trouve — ô~
31. Résumé des résultats précédents; application à la fonction £ (t) de Riemann. — Influence des arguments des zéros sur la croissance de la fonction.
— Soit une fonction entière dont le module maximum est d’ordre eA ’ r) en ce sens qu’on a, quelque petit que soit le nombre positif e,
M(r)<fe^A + ^r à partir d’une valeur finie de r,
et d’autre part
Mit ) >- e ~ 1 (1°^ U p0ur jes valeurs r indéfiniment croissantes.
Dans ces conditions on aura d’abord:
ci > (1 — t) |
n dog n)
à partir d’un certain indice n,
d’après l’inégalité générale fournie par le théorème de M. Jensen, (v. n° 28), et
(1 — n dog n) “je pour une infinité d'indices n,
d’après le théorème de la p. 68.
D’autre part, si p n’est pas entier, on pourra trouver une constante positive l telle qu’on ait, quelque petit que soit s,
«„ | <C (1 + *)[* n (log n) “j^ pour une infinité d’indices n,
Ernst Lindelôf.
et le raisonnement du n° 27 prouve que la plus petite valeur qu’on puisse donner à A, lorsqu’on exige que ce résultat subsiste pour toute fonction qui vérifie les conditions énoncées ci-dessus, est
et
a. — 1 Ht p
sin sr p
pour <)</)<!
+ - ])j pour 1 < P
Lorsque p est entier et a différent de zéro, la dernière inégalité ci-dessus sera remplacée par une autre de la forme
! an j ■< (1 + t)^j n (log n)-a + xy pour une infinité d’indices n,
P étant une constante positive à laquèlle on pourra donner la valeur
En fait, nous n’avons démontré ce résultat que pour p— 1, et pour p = 2,a<0; mais il est probable qu’il est général.
Soit comme exemple la fonction de Riemann:
= 1) .r~2 £(s) = + it).
On sait que c’est une fonction entière et une fonction paire de t. Soient f = + « t, + « 2- • * • > + “„i * " • ses zéros, rangés par ordre de modules croissants.
En remarquant que la fonction £ (s) tend vers l’unité lorsque la partie réelle de s augmente indéfiniment et qu’elle croît moins vite qu’une certaine puissance de s
dans toute bande parallèle à l’axe imaginaire, et en appliquant auf acteur /’(-|-) la
formule de Stirling, on trouve que le module maximum de £(<) peut se mettre sous la forme
l±^M)\t\log\t\
ts ,
Posons Ç (t) = F(f2), t'2 — x, | x\ = r. La fonction entière F(x) aura pour zéros les points x = cc2, «L • • • , cP, • • • , et son module maximum s’écrira
Lt iiR j/r log r
Dès lors, en faisant dans les inégalités écrites plus haut A = o = ^-, «==1,
nous trouvons:
e log n
à partir d’un certain indice n;
tl ^
log n
pour une infinité d’indices n.
fl
l a | < (l -|- 2 ît— pour une infinité d’indices n.
n log n
En tenant compte de ce que les parties imaginaires des zéros «„ sont toutes
comprises entre des limites finies
résultat du n° 30 que, dans la première des inégalités precedentes, on peut rem-
placer le facteur numérique — par •
Enfin, le théorème du n° 14 permet de conclure de l’égalité (39) que le rapport
.fl
!**“!' log n res^e lril®rleur à Line quantité finie lorsque n augmente.
et
on conclut d’ailleurs facilement du
On peut présenter les résultats rappelés plus haut sous une autre forme, qui met en évidence l’influence qu’exercent les arguments des zéros d’une fonction entière sur la croissance de son module maximum.
Fixons les modules des zéros d’une fonction canonique de telle sorte qu’on ait
1^0) ! an | = (1 + * 00) [ n (log n)- "J p ;
il s’agit de trouver, pour le module maximum de cette fonction, des limites supérieure et inférieure qui soient valables de quelque manière qu’on dispose les arguments des zéros, et qui soient en même temps aussi précises que possible.
Il suit d’abord du n° 27 qu’on aura
M 1 r) < t/1 + * ir;) 1 r (log r ^ si p n’est pas entier,
X ayant la même signification qu’à la p. 72, et
(1 +e (r)) a' rp (log r)‘
si p est entier,
fi' étant égal à
(au moins si />=! ou p — 2, «< — !), et que ces limites
sont les plus précises q’on puisse assigner.
Ernst Lindelôf.
D’autre part je dis qu’on aura, quelque petit que soit e,
Mir)>e^-e)pa~XrP^a
pour ies valeurs suffisamment grandes de r.
En effet, s’il n’en était pas ainsi, on pourrait trouver un nombre positif a tel qu’on eût, pour une infinité de valeurs r indéfiniment croissantes,
M (r) < e^1 ~ 6) P°'~l rf> (log r)a
Or, si l’on suppose réalisée cette dernière hypothèse, on est conduit, par un raisonnement analogue à celui de la p. 30, à ce résultat que l’inégalité
[«üW"üogn) T
a lieu pour une infinité d’indices n, et comme dans le cas actuel les conditions (30) du n° 29 sont vérifiées à partir d’une certaine valeur de n, lorsqu’on y fait Ami— s, B — l-j-€. on peut en conclure, d’après le calcul de la p. 66, que l’inégalité
n (log n)
■alP
subsiste pour une infinité d’indices n.: quelque petit que soit s.
Cette conclusion étant en contradiction avec l’hypothèse (40), notre proposition est donc exacte. L’exemple de la p. 68 montre d’ailleurs que la limite (41) est bien précise.
32. Aperçus sur un problème important relatif aux fonctions à croissance régulière. — Soit une fonction entière dont le module maximum peut se mettre sous la forme
(1 -f £ (r)) Ar° (lbg r)“
p étant un nombre positif non entier , et e (r) désignant, comme toujours, une quantité qui tend vers zéro lorsque r tend vers l’infini.
Le théorème du n° 14 nous apprend que, dans ces conditions, la valeur du rapport
(43) | a„ | : [n (log n)“ “] p
demeure comprise entre deux limites finies et positives, à partir d’un certain indice n. Mais il reste à calculer effectivement ces limites et à les resserrer autant que possible. En termes plus précis, on peut se proposer de trouver le plus petit
T. XXXI
nombre positif o tel que, pour toute fonction entière dont le module maximum peut se mettre sous la forme (42), l’inégalité
(44) j a„ j < (1 + e) j ^ n (log n)"°
soit vérifiée à partir d’une valeur finie de n, quelque petit que soit le nombre positif «; et un problème analogue se pose relativement à la limite inférieure du rapport (43).
Le peu de temps que nous avons pu y consacrer, ne nous a pas permis de trouver la solution définitive de ces questions, qui semblent d'ailleurs présenter des' difficultés considérables. Aussi nous bornerons nous ici à quelques remarques sommaires, servant à préciser les calculs et les raisonnements du n° 14, auxquels nous renvoyons le lecteur.
Nous ferons d’abord observer qu’en vertu du théorème de la p. 67, on peut conclure de (44) cette autre inégalité:
Ae
n (log n)
qui sera également vérifiée à partir d’une valeur finie de n, quelque petit que soit é, et où « désigne la plus petite racine positive de l’équation
pa ~ 1
x = e ae
D’autre part, lorsque le genre de la fonction donnée est égal à zéro ou à un , les résultats des nos 26 et 27 permettront de préciser les limites supérieures adoptées au n° 14 pour les différents produits qu’on a été amené à y envisager (v. la première formule de la p. 32).
Ainsi, dans le cas du genre zéro, on est conduit à chercher des expressions asymptotiques, pour les grandes valeurs de ri, des produits
[An (log n) “j/*!
et
nlj .
„ l [in (log ri)~ “] p f ’
où A désigne une constante positive et où la variable x prend des valeurs réelles et positives du même ordre de grandeur que la quantité
E = [An' (log «'f"]',
de sorte que le rapport reste fini.
Ernst Lïndelôf.
Afin d’évaluer le premier de ces produits, considérons l'expression
F (y) = n j 1 + j (a W = lA n d°g n> aY)>
où l’entier n", pour une valeur donnée quelconque de y, se détermine par les y
inégalités a(n")<~ <a(w"-f 1), et faisons croître y d’une manière continue depuis
la valeur y0 = <ra(n0) jusqu’à la valeur donnée de x. L’expression log F {y) ira constamment en croissant et augmentera brusquement de la quantité log (1 -\- <r)
chaque fois que — passera par une valeur a (n) . Donc le logarithme du produit en
question pourra se mettre sous la forme:
(n' - n0 + 1) log (1 + v) + f à y .
Or le calcul du n° 21 nous donne
îf
(log tf
dt
et, d’après la formule (15) de la p. 58, cette dernière expression est égale à X L p + i, yp~1 (log ÿf (i + «(#).
Comme d’ailleurs
n’ = ~ Bp (log B)a (1 + *(B)),
nous obtenons donc, en réunissant tous ces résultats, .la formule asymptotique suivante :
— log (1 + z) 4- 1 ’ P + 1 • (l°g F)a (1 + © (B)) ,
où r et B ont la même signification que ci-dessus.
En se servant de la formule (a) du n° 24, on peut tirer aussi du résultat que nous venons d’établir une expression asymptotique pour le second des produits envisagés plus haut.
T. XXA1.
33. Remarque sur le genre de la somme de deux fonctions entières. Conclusions générales. - Dès l'introduction de la notion du genre d’une fonction entière, on a été conduit tout naturellement à se demander si cette notion se conserve dans la différentiation et dans l’addition, on, en ternies plus précis si les théorèmes suivants sont vrais dans tous les cas:
La dérivée d’une- fonction entière de genre p est elle-même de genre p.
La somme de deux fonctions entières de genre p ne saurait être de genre supérieur à p.
Laouerre a démontré le premier de ces théorèmes en supposant que la fonction donnée n’admet qu’un nombre limité de racines imaginaires *). Mais pour le cas général, on ne possède aucune démonstration.
En ce qui concerne le second théorème, les résultats- de M Hadamard et la proposition que nous avons établie p. 47 permettent d’affirmer qu’il est exact dans des cas très étendus. Mais en fait ce théorème souffre des exceptions, et c’est ce que nous allons montrer sur un exemple particulier aussi simple que possible, dont on aperçoit d’ailleurs des généralisations immédiates.
Soit la fonction de genre zéro :
/■w=ïi(i+-r*-q
v n (log n ) '
où 1 <«<2. Nous allons faire voir que la somme f (x) -f- f (— x) est de genre un* 2).
Désignons par + «i, + «2, •••, + «„,*• • les zéros de la fonction f (x) -f /(— x). rangés par ordre de modules croissants, et écrivons
w (x) sera une fonction entière admettant les zéros h —ai2 (w= 1, 2. • • •).
Cela posé, en nous bornant désormais aux valeurs réelles et positives de la variable x , nous trouvons, d’après la formule (h) du n° 24,
- y- X (log X)
*) Comptes rendus , t. XCVHI; 1884; Oeuvres complètes, t.. I, p. 178. Voir aussi: £. Borei : Leçons sur les fonctions entières. Chapitre II.
2) Ce dernier point et quelques-uns des théorèmes généraux établis dans le cours de ce travail ont fait l’objet d'une Note insérée aux Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris du 30 décembre 1901. A la suite de cette communication, M. Pierre Boutroux a fait connaître, dans des Notes successives ( Comptes rendus, 1902, nos 2, 3 et 9) des résultats nouveaux très intéressants auxquels il est arrivé dans ses recherches sur les fonctions entières, et dont quelquesuns ont rapport à la question traitée ci-dessus.
Ernst Lindelôf.
et d'autre part, par un° discussion tout élémentaire,
lim
de sorte qu’on aura également
x (log x)
Le module maximum de la fonction y ( x ), lequel est atteint pour les valeurs positives de x, peut donc se mettre sous la forme
et par suite nous pouvons conclure du théorème du n° 14 que le rapport
j 6J: [n (log n)a~1]*
reste compris entre deux limites finies et positives, quel que soit n.
Comme «— 1<1, la série /I — est donc divergente, et par conséquent le
^ I an |
genre de la somme f (x) + f (— x) est bien égal à un, comme nous l’avions avancé.
L’exemple que nous venons de traiter conduit encore à des conséquences intéressantes relatives au problème de la détermination du genre d’une fonction entière définie par une série donnée.
Soit en effet
co
f{x) = 2] cn xH
le développement de Taylor de la fonction (45); on aura, d’après le dernier théorème de la p. 45, quelque petit que soit le nombre positif «,
“ ~ ^ n (log n)a 1
à partir d’une valeur finie de n, et d’autre part
a — l n (log n)a 1
pour une infinité d’indices n. Mais à cause de la distribution régulière des zéros de la fonction considérée, on peut présumer que la seconde de ces inégalités subsiste, comme la première, à partir d’une valeur finie de n , de sorte qu’on pourra écrire simplement
T. XXXI
1 + f (n) n (log n)a 1
En admettant cette conclusion, dont l’exactitude n’est pas douteuse, mais dont il ne semble pas aisé de trouver une démonstration directe, on voit d’abord que,
oo n
lien que la fonction donnée soit du genre zéro, la série 2 J Z cn n'en est pas moins divergente. C’est là un exemple du fait que nous avions annoncé (d’ailleurs en des termes un peu trop affirmatifs) à la tin de la première partie de ce Mémoire.
D’autre part nous ferons observer que la formule (46) convient également aux coefficients de certaines fonctions de genre un, p. ex. (1 -f x) [f (x)-\-f (—*)]. On voit donc que, dans certains cas, le genre d" une fonction définie par une série donnée dépend, non pas de V ordre de grandeur des coefficients de cette série, mais de leurs propriétés analytiques.
Cette remarque est propre à montrer les difficultés que peut présenter le problème en question, puisqu’il en résulte qu’on est réduit, dans certains cas, à la recherche directe des zéros de la série donnée.
Quel est p. ex. le genre de la fonction (55) envisagée à la p. 44? 11 nous semble bien probable qu’il soit le même que pour les fonctions
cfi ^ r, p n
Y —, — 7 — ,) (p = un entier quelconque >1),
L*>\pn îog ipn); * ^ ’
c’est à dire égal à un. 11 y aurait un certain intérêt théorique à le démontrer directement, puisqu'on aurait alors un exemple ou la série (59) de la p. 48 converge, bien que la fonction donnée (56) soit du genre p. Mais la démonstration ne doit pas être facile à trouver.
De la remarque faite ci-dessus, il résulte encore que la question de savoir si le genre de la dérivée d’une fonction entière est dans tous les cas égal à celui de la fonction elle-même, et bien d’autres questions analogues qu’on peut se poser dans cette théorie, échappent complètement aux considérations où n’intervient que l’ordre de grandeur du module maximum d’une fonction entière où l’ordre de grandeur des coefficients de son développement de Taylor.
