V - dl
Écrivons cette égalité en donnant à le successivement les valeurs 0, 1 , 2 , • • • , n — 1 , puis ajoutons les équations obtenues après les avoir multipliées respectivement par
>+l’ <jj. -f 1) o» + 2) ’ ’ (/* + Dit* 4 2) • • • (fi + n — 1)
11 en résulte pour l’intégrale (12) l’expression que voici:
,i + 1(log* v ^
«'-T- • (parlât
- -O J , jU + lJ f 4- x
Tl
(log tf » + 1
(/i 4 2) • • • (fi 4 w)
où P désigné la somme suivante:
P=i+-X ( JL\ + L?
fi 4 2 ' £ 4 xf (/i 4 2) (/i 4 3)
Or on a, en supposant x réel et positif,
J (I f xf ’ 1 \s -r :rj J
inégalité qui montre que le dernier terme de l’expression (13), pour ar->0, tend vers zéro lorsque n tend vers l’infini. Donc, en désignant comme d’habitude par F(u,(i,Y,x) la série hypergéométrique
u -(3 a (a 4 1) (1 (fi 4 1)
dt
1 + ny * + ~:hïTo+w * +
et en faisant tendre n vers l’infini dans l’expression (13), nous obtenons enfin pour l’intégrale (12) cette égalité:
dt i rr+1aog/)v t
J ‘ «■** t+x = é+ïH+— n1 • 1 " +
» /Vdog tf-'t , io t \
(1 + 1 J t + x F(1’1’fl+2’t + x)dt-
Comme la fonction représentée par la série (14) n’a d’autres points singuliers que i , oc et 0, l’égalité que nous venons d’écrire, malgré la restriction imposée N:o 1. 8
Ernst Lindelôf.
primitivement à x, subsistera dans tout le plan, excepté l'origine et le segment — a - R de l’axe réel négatif.
Supposons en particulier qu’on ait x<C~cR ou x>o'R, a et a' étant des nombres positifs, dont c > 1. Dans les deux cas, la fonction
„ +-2, rU
restera inférieure en valeur absolue à une quantité fixe pour les valeurs t comprises entre 0 et B, et cela quelque grand que soit R. Le dernier terme de l'égalité ci-dessus sera donc, pour les grandes valeurs de R , infiniment petit par rapport au premier membre, et par suite nous pourrons en tirer, pour l’intégrale donnée (12), l’expression asymptotique que voici :
m J ' ‘ ,;œ t Vx ~ I R~ B - * R> 'd 1 ' 1 ' ■“ ' +tM)-
Cette formule n’est plus applicable lorsque p — — 1. Mais de l’identité
(log t) dt 1 f (log t) -
It
(log t)V
dt
on conclut immédiatement, en appliquant au dernier terme la formule (15),- qu’on a
'(log tf dt 1 -f f (R) (log R) t t -f- x v ~i 1 x
pour v > — l , et, pour
ftTogt
log log R
Pour terminer, nous ferons remarquer qu’on peut, tirer de l’égalité (15), par une discussion facile, la formule (6) du n° 23, en se servant de la relation
F ( 1 . 1 , + 2, x) - t±l F{\ , 1 , 1 - (j, 1 ~ x) -f ,-^- ±-11 (lj^f ,
' ’ ’ (j, ’ ’ ’ sinfrt/* fl)] XV + 1 ’
qu’on obtient en spécialisant une formule fondamentale de la théorie de la série hvpergéométrique (formule U, p. 8, de notre Mémoire: Sur V intégration de l'équation différentielle de K amener, t. -X1.X de la présente série de publications).
T. XXXI
