THÉORÈMES FONDAMENTAUX

1. Définition du genre et de l’ordre réel d’une fonction entière. — Considérons une suite indéfinie de nombres donnés

différents de zéro et rangés par ordre de modules croissants, et supposons qu’il existe un nombre entier q tel que la série

Zj ' a '

soit convergente, et soit précisément q le plus petit entier satisfaisant à cette

condition, de sorte que la série

sera divergente.

D’après le théorème de Weierstrass, toute fonction entière f(x) admettant pour zéros les points représentés par les nombres de la suite (1), chaque zéro comptant autant de fois que le nombre correspondant figure dans cette suite, et ne s’annulant en aucun autre point, excepté peut-être l'origine, peut se mettre sous la

forme

ou bien, avec la notation de Weierstrass,

Ernst Lindelôf.

A*,-GW-ïï*(f4

m désignant un entier positif ou nul et G{x) une fonction entière.

Faisons encore l’hypothèse que la fonction G (x) se réduise à un polynôme de degré le. Alors, si p désigne le plus grand des nombres q et le, la fonction f(x) est dite de genre p.

Si la fonction G (x) est identiquement nulle, nous dirons que f (x) est une fonction canonique.

Reprenons la suite (l) des zéros de la fonction f {x). De l’hypothèse faite au début, on conclut l’existence d’un nombre p vérifiant la condition q^p<q+ R et tel que la série

soit convergente ou divergente, suivant que le nombre s est positif ou négatif. Ce nombre p, qui indique la densité des zéros a, est appelé l’ordre réel de la fonction f(x). Remarquons qu’on a toujours p < p -F 1 .

Quant à la série

elle peut être convergente ou divergente suivant les cas. Toutefois, d’après la définition du nombre q , elle est forcément convergente si p — q -f 1, et divergente si

2. Inégalité fondamentale. — Nous allons établir, relativement à l’expression

u 2 up

u + TT + • • • +

la proposition que voici:

Etant donné un nombre quelconque r satisfaisant à la condition p <f r < p 1 , on peut trouver une constante positive A telle que l’inégalité

soit vérifiée pour toute valeur de u (si p O, il est permis de faire r—p).

Nous av

d’où

T. XXXL

et par suite, pour | u | < * ,

Comme le second membre croît plus vite que le module maximum du premier membre, cette inégalité aura encore lieu pour les valeurs u dont le module dépasse une certaine limite finie A.

Enfin, nous pouvons évidemment trouver un nombre positif « assez grand pour que l’inégalité

I E(u,p) | < e“lw 1

subsiste pour ^ < | u \ < X .

Dès lors, si nous choisissons A égal au plus grand des nombres 2 et a, l’inégalité (2) subsistera quel que soit v et notre proposition se trouve donc démontrée.

3. Recherche d’une limite supérieure du module d’une fonction canonique. Considérons une fonction canonique de genre p et d’ordre réel p\

rN=.4

et proposons-nous de trouver une limite supérieure de son module sur le cercle \x\~r (pour simplifier l’écriture, nous négligerons constamment les racines 0, qui n’ont d’ailleurs aucune influence sur les résultats).

Nous admettons d’abord que la série

y 1 1 r Zml'l a \

converge. On sait que cela suppose p>p.

Appliquons l’inégalité (2) en y faisant r = p:

choisissons l’entier n, assez grand pour qu’on ait

WJ

et écrivons 1a, fonction donnée sous la forme

=ft *(!•*)• fi «(f.p)-

Ernst Lindelôf.

Comme pf>V, le module du premier produit, composé d’un nombre fini de

facteurs, restera évidemment inférieur à e à partù d’une certaine valeur r. Quant au second produit, les inégalités ci-dessus nous donnent

il *(»!<•

Arp V

£ rr

Donc nous aurons, pour j x j = r,

dès que r dépassera une certaine limite.

Si la série (3) diverge, on a nécessairement p<Cp- 1-1. Fixons le nombre po-

sitif e assez petit pour qu’on ait p -(- — < p -f- 1 , et appliquons encore l’inégalité (2),

Ui

en y faisant cette fois r — p + — ; il vient

ij’p)

r i/» + -rr

A désignant toujours une constante positive- Comme la série | ^ nous en concluons

converge,

« tx \l Arp + i^

rP + £

et par suite

à partir d’une certaine valeur r. Nous avons donc démontré ce théorème:

Toute fonction canonique f (x) d'ordre réel p vérifie, à partir d'une valeur finie

de r | x | , V inégalité

quelque petit que soit le nombre positif t donné cC avance.

Dans les cas où la séné 2^ a converge, f {x) vérifie en outre V inégalité

T. XXXI

Mémoire sur la théorie clés fonctions entières.

\f(x) | <V rP

pour r suffisamment grand.

Il s'ensuit, en particulier, qu’on aura pour toute fonction entière f(x) de genre p, quelque petit que soit e ,

dès que r dépassera une certaine limite.

4. Remarques sur les séries convergentes à termes positifs décroissants. Soit une suite indéfinie de nombres positifs décroissants

tels que la série sL ,rn soit convergente. Je dis que, quelque petit que soit le nombre

positif s, on aura rn<f - a partir d'une valeur finie de n.

En effet, si cette proposition n’était pas vraie, il existerait un nombre positif <s tel que l’inégalité

eût lieu pour une infinité de valeurs n. Quelque grand que fût n , on pourrait donc

trouver un entier Wj>2n, tel que , et Que Par suite

c’est-à-dire

Zj g 'n,’

Or cette conclusion est en contradiction avec l’hypothèse concernant la convergence de la série 2 rn . La proposition énoncée est donc vraie.

Voici une autre remarque qui nous sera utile. D’après la proposition que nous venons de démontrer, nous pouvons écrire

" noû(n) ’

co (n) tendant vers l’infini avec n. Il s’ensuit

L, I log L. 1 =

logn 1 co{n) n

log co (n) co (n)

Ernst Lindelof.

Or, comme les séries

sont respectivement convergente et divergente, on ne saurait avoir

pour toutes les valeurs n dépassant une certaine limite. En d’autres termes, quelque petit que soit «, l'inégalité

logn «

sera vérifiée pour une infinité de nombres entiers n. Comme d’autre part

logftHn) e

dès que n dépassera une certaine limite, nous arrivons donc au résultat suivant: Quelque petit que soit le nombre positif e, on aura

pour une infinité de valeurs de l’indice n.

5. Recherche d’une limite inférieure du module d’une fonction entière de genre zéro. — Étant donnée une fonction entière de genre zéro et d’ordre réel p < 1 :

nous allons démontrer le théorème suivant, où r désigne, comme plus haut, le module de la variable complexe x.

Quelque petit que soit le nombre positif e, on peut trouver une infinité de cercles ayant l’origine comme centre et de rayons indéfiniment croissants , tels que l’inégalité

soit vérifiée sur chacun d’eux.

Ce théorème est d’ailleurs vrai aussi pour p — \ ; mais, comme la série --

converge, le théorème plus précis que nous établirons au numéro suivant est alors applicable.

Marquons sur l’axe réel positif les points d’affixes | al |, | a2 j, • • • , | an |, et portons de part et d’autre de chacun de ces points un segment de longueur 1, de sorte que la portion de l’axe réel couverte par ces segments sera au plus égale à 2 n.

T. XXXI

Comme V est une série convergente à termes positifs décroissants, nous savons, ^ ! an !

d’après le numéro précédent, que le rapport 2 n : j an | tend vers zéro, lorsque n tend vers l’infini. X étant un nombre positif quelconque inférieur à, l’unité, nous sommes donc assurés qu’il existe entre X \ an j et I an J, dès que n dépassera une certaine limite, des points ne faisant partie d’aucun des segments en question. Donc on peut trouver une valeur r aussi grande qu'on voudra , et telle qu'on ait r — I an \ | > 1 pour toute valeur de n.

Ce point établi, fixons le nombre « de sorte que p 4- -< 1 , et d’ailleurs aussi

petit que l’on veut, puis choisissons r comme il a été dit ci-dessus, et assez grand pour que, l’indice n ' étant déterminé par la condition

|aB,j<2r<|aii( + 1 1,

on ait

ce qui est possible, d’après n° 4, à cause de la convergence de la série V —

Écrivons maintenant

et cherchons une limite inférieure du module de chacun des deux produits sur le cercle de centre 0 et de rayon r. Pour le premier produit, nous trouvons successivement

ou enfin, puisque n’ < | an, \p+*< (2 r)p + a }

£ \ | - (2 r) * log (2 r)

Pour ce qui concerne le second produit qui entre dans l'expression de f{x), nous ferons observer, avec M. Hadamard, qu’on a l’inégalité

pour 0<v<^. fin effet, on peut écrire

Ernst Lindelôf.

«)-»(l-2«) - gj- (l -g) - gy- (1-3)

èt, pour les valeurs considérées de u, tous les termes de cette expression, à partir du

second, sont négatifs. Comme /> + —-< 1, on aura donc à fortiori l’inégalité

- 2 up + i

pour 0 < u < — •

Or, on a

< pour x | = r , n > n', et par suite il vient

n(‘-f)hnHvi)>‘

on encore, en posant 2

~2rp+2 2 -

Ji.e-i)

— d. rp 2

Ainsi donc, nous trouvons, pour \x \ = r,

log 2r + A) r

Mais on aura évidemment

a log 2 r-f A < r2 ,

dès que r dépassera une certaine limite. Par suite il vient

rP + £

\ffr)\>e ,

et, d’après le raisonnement qui précède, nous pouvons affirmer qu’il existe des valeurs r aussi grandes qu’on voudra, pour lesquelles cette inégalité est vérifiée. Le théorème annoncé au début de ce numéro se trouve donc démontré.

6. Théorème nouveau relatif au cas où la série ^ converge. — Nous

allons compléter le théorème précédent en démontrant cette nouvelle proposition:

f (x) étant une fonction entière de genre zéro et d'ordre réel p, et e un nombre

positif arbitrairement petit ; si la série ^ 1 — converge, on peut trouver une infinité

T. XXXI

de cercles ayant l'origine comme centre et de rayons indéfiniment croissants , tels que l'inégalité

f(pc) | >e

e rr

soit vérifiée sur chacun d'eux.

h étant un nombre positif > 2, choisissons l’entier n' de telle sorte qu’on ait

et en même temps

log 1 1 t 1

ce qui est possible d’une infinité de manières, en vertu de la remarque faite p. 6

et de l'hypothèse concernant la convergence de la série ^

Le raisonnement du numéro précédent nous fait voir que, si le nombre n ’ a été choisi suffisamment grand, on peut trouver un nombre r compris dans l’intervalle

et vérifiant la condition

pour toute valeur de l’indice n.

Cela posé, écrivons encore

et cherchons une limite inférieure, pour \x\ = r, du module de chacun des deux produits du second membre.

Comme

<— pour | .r | — r, n>n’, on obtient, comme plus haut,

-Ür' 2 !±

ou bien, en vertu de l’hypothèse (5),

ce

? p - - rr

Quant au premier produit, on trouve d’abord, comme au n° 5,

n(-akm^!>

- n’ log I an

Ernst Lindelôf.

Or, d’après (4), on a »' log \an, | < -^ |

d’où il suit

-ffr{kr)p

Comme | an,\<Ckr, le second membre de cette inégalité est supérieur à e ^ ,

et par suite à fortiori supérieur à e~ "2 , puisque kp<Jc1 de sorte qu’il vient enfin

-LrP e 2

Des limites que nous venons de trouver pour les modules des deux produits dont se compose f(x), il suit

|/te)j>rfr pour j x J = r ,

et notre raisonnement prouve qu’il existe une infinité de valeurs r indéfiniment croissantes, pour lesquelles cette inégalité a lieu.

Notre théorème est donc démontré. Il est d’ailleurs évident que le théorème du numéro précédent en est une conséquence immédiate.

7. Extension des i’ésultats des nos 5 et 6 aux fonctions canoniques de genre quelconque. — À l’exemple de M. Borel, nous allons nous servir de la remarque suivante, qui est due à Laguerre.

Soit une fonction canonique de genre p et d’ordre réel p:

, fjfi

o*>=JI h1-*)6 ■

F(x) = f {x)f (il X) X)-- ■ ft'ii'x) = jq ( 1 — ^+l)i

et désignons par io une racine primitive (p + 1) de l’unité. Le produit

xp + 1'

ly1-

considéré comme fonction de xp'rl, est une fonction entière de genre 0 et d'ordre réel •

Dès lors, d’après les théorèmes des deux derniers numéros, on peut trouver une infinité de cercles de rayons indéfiniment croissants, sur lesquels on a

— ri

ou | F {x) j > e~

suivant que la série Vf— est divergente ou convergente. D’autre part, le résultat