CL

du n° 3 nous apprend que, suivant que l’un ou l’autre de ces cas se présente, on a

T. XXXI

[ f(œ x) | < eP ou <elP (k= 1, 2 , • • • ,p) ,

et par suite

| f((ox)“‘ f{o)p x)\<ücp> ou < e p r ,

si on prend r suffisamment grand.

On en conclut que l’inégalité

, r. . , ^ -(» f i)r,, + £ ,iv —t{v + \)rp

I f [x) | > e r ’ ou bien \f{x)\^>e

est vérifiée sur tous ceux des cercles envisagés dont les rayons dépassent une certaine limite, d’où le théorème suivant:

Etant donnée une fonction canonique f{x) de genre p et d'ordre réel p , on peut trouver une infinité de cercles ayant Vongine comme centre et de rayons indéfiniment croissants , sur lesquels l'inégalité

est vérifiée , e désignant un nombre positif donné à Vacance aussi petit qu'on voudra.

Dans les cas où la série ~

converge. , l'inégalité plus précise

sera également vérifiée sur une infinité de cercles dont les rayons croissent indéfiniment.

8. Théorème de M. Jensen. — Soit f (x) une fonction entière quelconque, de genre fini ou non, ai , a2 , • • • , an , • • • , ses zéros, rangés par ordre de modules

croissants, R son module et (1> son argument, de sorte que f{x) = Re{®. Soit

d’autre part G un cercle ayant l’origine comme centre, le rayon r, et dont la circonférence ne passe par aucun des points a.

I/apres une proposition élémentaire bien connue, le nombre n des zéros de

f(x) compris dans le cercle G est égal au produit par — de l’accroissement que

prend l’argument lorsque la variable x décrit la circonférence de ce cercle en sens direct. On a donc, en posant x = re,(P ,

Or, log .R et i& étant respectivement les parties réelle et imaginaire de la fonction analytique log f(x), on a la relation

d log R 1 à O à r r d(f ’

Ernst Linbelôf.

et l'égalité précédente peut donc se mettre sous la forme

n 1 Ç ô iog R r ~ 2 sr J c àr

D’après le raisonnement qui précède, cette égalité subsiste pour | an \ •< r < | an |. Nous pouvons donc intégrer par rapport à r, et, en posant

F(r) = A. f lo gR d(p = -~- Ç log\f{rei<f>)\d(f,

et désignant par Gn la constante d’intégration, nous obtenons ainsi (6) F(r) = nlogr-f Cn,

formule qui reste valable pour | an | < r < | aH + , | .

11 est facile d’évaluer la valeur de la constante Cn. Soit en effet an.v le dernier zéro dont le module est inférieur à | an \ , de sorte qu’on a [«„. [ = | «n-1 1 = • * • = | a„y + i | >.| an J. Le raisonnement que nous venons de faire nous donne, dans l’intervalle j a u I < r <; i a I ,

F (r) — (n — v) logr+ C„v,

désignant une nouvelle constante. Or, logiï* n’ayant que des infinis d’ordre logarithmique, F{r) est une fonction continue de r. Les deux expressions que nous venons de trouver pour F(r) doivent donc coïncider lorsqu’on y fait r = |«îij, ce qui nous donne, pour les constantes G, la formule de récurrence

C„ = Cn v- vlog\aH\ = Cn v-\og\an v + i a„„+2 *»!•

Pour embrasser tous les cas, supposons que l’origine soit pour f (x) un zéro d’ordre m . de sorte que le développement de cette fonction commence par le terme cx”\ c désignant une constante différente de zéro Posons d’ailleurs

f(x) = cxmf1(x) (/;< 0)=1).

am + y étant le premier zéro de f{x) qui n’est pas nul, le raisonnement qui précède nous donne, pour r < j am + 1 \ ,

F ( r ) — wlogr -f Cm,

la constante Cm étant liée à Cn par la relation

C = G — log la ,,a , n • • • a I.

Mais, d’autre part, nous pouvons écrire