e^ =3 e-"*"^. l^^^'^Ccofix ± î sînx

et c'est Texpression des différentes valeurs de e**\

Si Ton veut se servir de l'expression (308.) de l-*' pour la sub* stituer dans (304.) on a

olJL e- s= (cosa? + »Mna?){l~2aP7i;j4"^-"-5 ' <j 3 ' +••••]•

C'est une autre expression complète de e^*\

de dév€loppem€nt aux fonctions angulaires. $• 37. form» 313. — 315. S9

Si dans (31L) ou fait a?=3=2/>« ooa ^i*^»^ — ^-♦'»'^\ i*»»^» ou bien 313. e^*''" = l-^«'''\e±«^^ Maïs suivant (279.), en y faisant nz=iVy on a

donc (312. et 313.) donnent

et cela s'accorde avec (274.).

X. On voit par les ^xemple8 (lY. YII. Y III.) combien il est né* cessaire, dans beaucoup de cas, d'avoir attention à la pluralité des valeurs des puissances, et de compléter leurs expressions par la multiplication d'une de leurs valeurs quelconque, par ex. de la valeur réelle, s'il y en a, par la même puissance de l'unité. Dans tous les cas ou il se peut agir de la pluralité des racines, il ne faut pas écrire simplement z/^, mais plutôt |i/p.l^, où \u\y désigne ime valeur déterminée de |tt|^ et par préférence la valeur réelle s'il en existe. Dans les cas ou il n'y a pas de valeur réelle, l'expression e^"*^ = cosjr + /sinj? remplace (^l^; car généralement la quantité e±'^ n'a pas de valeur réelle. Elle n'en a que dans le cas 07=2/2 tt, le seul où la partie imagîaaire ± / sin x est zéro. Pour toute autre valeur de œ cette partie imaginaire n'est pas zéro. Si jr = 272gr, la quantité e^"^ reprend une valeur réelle, savoir celle qui correspond a /isO dans son expression complète. Cette, valeur est ^^=1. Dans ce cas la fmme \u\^V de l'expression de la puissance repr^id sa placOf

Nous ne donnons ce que contient le paragraphe présent que comme un essai pour éclaircir les difficultés que les exposans imaginaires pré* sentent dans la théorie des puissances. Nous le soumettons, comme tout le reste du mémoire, aux lumières de ceux i|ui ont approfondi l'analyse*

Avant de quitter les fonctions angulaires il feut que nous disions un mot des expressions en forme de factorielles de coso? et sinjr par Xj ces expressions étant utiles dans la théorie des facidtés analytiques. Nous en donnerons le développement par un procédé très simple. Nous ferons précéder ce développement par celui de quelques autres formules qui s'y rapportent ordinairement et dont nous aurons bescun dans la suite.

00 §• 37. form. 316. — 321. V. Application de la sMt générale

I. En mettant âr+2/i«'^ n 4tant un nombre entier qudoonque^ au lieu de x dans (26L) et — au lieu de m^ on a

' 316. (cosor+ïSinJF)"* =s cos — = + i8m — =

006(â? + ^^*) ^ Bin(ar + 2^v) étant ëgaux à oosjt et sin;r« Si de oette expreasicm on prend la m""* puissance on a