tt, +«r* =r 7-rr -^-—-^^fk

(»+<7--l)ar)(u+(jr— .2)«)(« + Cr- 3)«) etc.

Si l'on substitue ce« expressions dans (353.) on aura

de d^vdù^ÊmmA dt^fmaiàùmM oMxfamiiés anàfyHqim. $« 40. farm. 3S7. — 359. 357. („+,,+,/«(.,+./[!+ -^+5^^:^^^^

k(k+af)(k+2x)y(y--l)(y-2)

^(Ar+arXA+2a:)....(fe4-(/»-l>r)y(r-l)(y-2)....(r^/i--l))- | ■*^ 2.3.«.«(«+(^-l)ar)(«+(^-2>p)....(«+(j.-«>F) J "r^-

Voila le prenÛMr développement d'une Ceteultë, la base était variée. La série (357.) est connue sous le nom de série du binôme des fiàoultés*

iy« La généralité des expressions des facultés ne diminue pas en mettant ses 1 ia base ou la différenoe. Car en vertu de la seconde équation fondamentale on a par ex. (î/^ -f- a?/ sss ^— , -^ijaf^et (u +i, + x^ ssr

(—H — j+V ^p ^ WM^ 9!^'^ ^'y • m^'^ éerire a et A au lieu de — et —

pour transformer les fecultâ» (c't+Arf et (z^ + ^^ + ^Z ^^ d'autres, dont les différences sont 1^ Si l'on veut restttuer la différence Xy il n'y a qu'à multiplier par x^ et qu'à écrire u et jic au lieu de ux et kx» Donc on peut supposer x:=t dans (35T»)« Gela donne

k(k-hlXk+2)r(y-i)(y-2) t- 2.3(«+^— l)(«Hh>-~2Xrfr--3)

Ar(/r+i)(A+2)..,.(A-H/»-i).r(r-i)(r-2)«..«(r-(^-i))1 . »

Cette oxpresûon est aussi générale que oelle (357.) Y. Si dans (357.) on feit « sO on a

35». („+.,=4,+,i^.a:(2-)(i)Vfc!^>(iy.....

C'est comme on voit le théorème du bintoie des puissances, eonune il doit être. En effet la fiàoulté (a+A,4-4r/ se réduit à la puissance u^ dans le cas x^O.