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et (A-a âant =i*^^k^, «, «

i. (Jk l,— 1)» — +(l,+l)"[t-*, + lr.— » ±*.I.

de div9UffmnÊmi dÊtfêaOMmê aux fmc^ §«4l./arm.M7,— 369. 101

Cela s'accorde comme on voit avec (362.)^ si dans cette demiâre formule on suppose /2s= un nombre entier»

Yin. La sërie (358«) ëtant génëralement peu convergente et peu utile dans le calcul en nombres^ si non dans le cas oà l'exposant est un nombre entier, nous remettrons la recherche de sa convergence à la con«tinuation prochaine de ce mémoire. Si l'exposant est un nombre entier, la série n'est pas infinie. Le nombre fini des termes, qu'elle a dans ce cas, donne exactement la valeur de la factorielle, et il ne s'agit pas de la convergence.

IX. Mais il se prétente encore ici un cas remarquable. C'est celui on II :=ar et qui donne les séries (360. 361. 362.). Dans ce cas ou a, comme le font voir les expressions (347. et 348.), {u — or, -^jr)^ss=0 et A(i/,+ar)' = — (1/, + ^)', donc A>,+^)'=:+(i/,+x)^, ù?(u,^xf -5 — {Uy'\'xf etc. c'est-à-dire que les différences de (u^+xf de divers ordres ont ici la même valeur absolue que la quantité primitive et les signes altemativemait positife et négatifs. C'est donc ici un exemple des cas donc nous avons parlé ($. 22.) et Si suit de ce qui y a été dit, que les formules (360. 361. 362.) n'ont pas lien dans le cas actuel, toutes les fois que l'exposant y n'est pas nn nombre entier. Elles n'ont lieu que si y est un nombre entier /2. En effet on voit par ex. dans (362.) que cette formule, le facteur 1— A:,+^«— *3» • • • ^t^nt =(1— 1)*=50, donne

(Je 1, — ly tsi pour une valeur quelconque positive de kp résultat

évidemment faux. La série (362.) n'existe pas, si jr n'est pas entier et au lieu d'une série développée on n'a dans ce cas que l'expression identique (a: + k,+xY = {x + k,+xy.

Second cas ds = -f-âr

I. Si dans la prenûère équation fondamentale des facultés (38.) on écrit 1 et j au lieu de ^ et ^ elle donne en vertu de (40.)

aer. iu,+xpy » »(«i+x, +.^7

et si dans la même équation <m fait Ar :s 1^ on a