Iog(*»,+ar)» = kJogu-^kMÇ^'^ + k^oo

C'est rexpresftion générale d'une faculté analytique trouvée par la vfr* riatîon de Texposaut»

m* n s'agît maintenant de «avoir u la série (399.) est couver* gente on non*

Suivant le théorème général de la convergence de la série générale de Taylof ($«2K) la série (399^) sera convergente, si aucun de ses termes n'est ni imaginaire ni infini^ et si les valeurs que prend le premier terme 71^-» ^" ^^^^ ^n pour la plus jgrande et la plus petite valeur de ^ ,^^^ depuis y jusqu'à y + ky «ont zéro toutes les deux pour tfss^oo.

Si Ton suppose réelles toutes les quantités qui entrent dans (399,)» x aucun terme de la série ne sera infini^ Donc les conditions de la ccmver* gence de la série se réduisent à celle, que les valeurs que prend T^^^ pour

la plus grande et la plus petite valeur de ^^^ ^ depuis y jusqu'à y + k doivent être zéro pour /i = oo«

Ici la çiantîte ^^^^ - est celle qui dans le premier terme du re»te M^ dans (389.) muItipKe ^^^'^^^^'^^^^^^^^ «avoir

on bien, la quantité arbitrairo a ayant* été, supposée =s 1,

108 }. 41 /bm. 401. -*- 4M. VL jâpfliotaion dm fùmmUê iéttét^lm

• • . . + log (il, + jp/-

Mais en vertu de la première équation fondamentale des facultés (38.) on a

donc^ en prenant les logarithmes^

+ log (« + xr, + «r+*- (n+1), log (u+oc^', +ar)»+ (n+1), log («+ay, +^)'^»

±(«+l)iilog(u+xr,+x)»

OU bien 1— (/J+l), + («+!).• •.. + ! étant =(1— 1)"+*=0,

403. A"+'FjK=:^log(«+arr,+xr+*-(''+i)i log(i*+xy,+a:r+(«+l) Jog(«+a:/,+:rr\...

± (n+l)« log(u+ay, +a:)«.

et il s'agît de la plus grande et de la plus petite valeur que cette quantité prend pour les différentes valeurs de y depuis y jusqu'à y+Ar^ ou ce qui est la même chose pour les différentes valeurs de £i depuis ui'xy jusqu'à 2/+<^(y+Ar).

Mais nous avons fait pltis haut y = 0. Donc il sagit de la plus grande et de la plus petite valeur que prend la quantité A"+^Fy (403.) pour les diflR^ntes valeurs de u depuis u jusqu'à u^^kx.

La valeur de A"+*Fy (403.) pour i/ssi/ est celle qui dans (391.) multiplie k^^^ et qui se réduit u celle (397.). Donc enfin il s'agit de con<noitre la valeur de T^^ (398.) pour les valeurs différentes de u depuis u jusqu'à u + kx et pour nzz^oo. Si cette valeur est zéro, la série (399.) sera convergente, et elle ne le sera pas si T^^ n'est pas zéro.

Vf. L'expression de -r^ r^résentée sous la forme (398.) a évidemment un nombre égal de iacteurs dans le numérateur et dans le déno« minateur du logarithmaude ; car le nombre des facteurs dont se compose le numérateur est l+^a + ^4***^ ^ ^^ ^^ facteurs du dénominateur est /i. + /is+/25.... et on a .

l + W^ + ^A = Wl +«!+'»*

puisque