III. Formules générales de développement

Il y a des cas où les valeurs niunériques dune fonction, colles de ses élémens étant données, peuvent être calculées à laide des quatre premières opérations suivant les expressions des propriétés de la fonction, et il y a en d autres, plus fréquents, où cela n'est pas possible. Les fonctions «luon appelle entières et fractionnaires sont dans le premier cas. Les puissances et les facultés le sont également si leurs exposans sont des nombres entiers; car dans ce cas elles ne sont (pie des produits de facteurs égaux ou équidifférents, qui peuvent être calculés par la multiplication et l'addition seulement. Les puissances à exposans fractionnaires sont encore dans le premier cas si leur racines sont rationnelles. La valeur numérique de toute autre puissance ou faculté ne peut être calculée immédiatement par les expressions en forme finie de leurs propriétés, ni par celles tju'on en tire par la transformation.

Mais tout calcul numérique se réduit enfin à l'addition, soustraction, multiplication et division de nombres entiers, et il n'y a pas au fond dautre opération pour les nombres. Donc si les valeurs nimiériques des fonctions ne peuvent pas être calculées immédiatement suivant les expressions de leurs propriétés, il n'y a dautre moyeu que de transformer ces expressions en séries de termes composés seulement de fonctions rationnelles entières ou fractionnaires, propres à être calculés par les quatre premières opérations. Ces séries seront toujours nécessairement infinies,

de développement. §. 17. 25

car si elles ne l'étoicnt pas, les fonctions qu'elles représentent seroient, comme dans le premier cas, rationnelles et calculables directement. Mais puisrpi'on ne peut pas calculer un nombre infini de termes, le calcul numérique de fonctions irrationnelles ne peut s'exécuter qu'approximativement, et il faut que la série qui représente la fonction soit convergente, c'est- à -dire, que la somme d'un nombre quelconque de ses premiers termes, diffère d'autant moins de la somme de la série totale, que le nombre des termes qu'on calcule est plus grand, que cette différence, ou bien le reste de la série, diminue au delà de toute quantité aussi petite qu'on voudra et qu'il soit zéro pour un nombre infini de termes. La série sera dautant plus utile que sa convergence sera plus rapide.

Le moyen généralement applicable au développement des fonctions en séries, est le même qui fait naître le calcul difTérentiel et inti'gral et le calcul des différences. C'est de faire varier par la voie de l'addition ou soustraction les valeurs des élémens des fonctions et de calculer les variations qu'éprouvent par là les valeurs des fonctions elles mêmes. Les développemens propres pour cela s'exécutent suivant une formule générale, applicable à une fonction quelconque et semblable à la série de Taylor qui en est un cas particulier. On pourroit l'appeler série générale de Taylor. Elle est connue depuis longtems quant à sa forme qui est celle de la série de Newton. IMais la méthode ordinaire de la démontrer ne semble pas être rigoureuse; aussi néglige-t-on ordinairement Texpression finie du reste de la série et la recherche de sa conver^rence. Il s'a"it donc de compléter cela et de donner une démonstration rigoureuse de cette formule. Son développement p(!ut être exécuté par la voie dos transft)rmations purement identiques, qui par leur nature tout exemptes de toute incertitude. L'idée principale de ces transformations se trouve dans les mémoires de Mr. Servois des années 1805, 1809 et 1814 sur les principes du calcul différentiel. Nous partirons de cette idée en modifiant s{)n application , surtout dans le cas des différentielles, pour lequel il y a des remarcpies essentielles à faire et en complétant le développement de la série par l'expression du reste et par la rechercJie de sa conveî'gencc.

Soit Fx une fonction quelconque de a: et A: une \ ariatiou quelconque de l élément x, on pourra écrire identiquemeuti

26 §• !''• /<"*'«• 68. — 75. ///, Formules gcncmîri