u^ = z, nous dirons que

u est la racine de la puissance z à exposant j, y l'exposant de la puissance z de la racine u et z la puissance de la racine u pour l'exposant y. On donne encore d'autres noms aux quantités u, j, c, savoir base, logarithme et logarithmande: nous en parlerons plus bas.

Nous ferons souvenir encore une fois que u'' n'exprime nullement im produit de facteurs égaux exclusîveiiient, ni quelque autre valeur d'une puissance dans un cas particulier, mais plutôt cette fonction inconnue soumise aux deux conditions exprimées par les équations (3. et 4.).

D s'agit maintenant de tirer des propriétés générales (3. et 4.) les autres propriétés des puissances, pour en trouver les valeurs dans les cas particuliers. Mais il faut que cela se fasse sans recourir à autre chose qu'à ce que les équations (3. et 4.) expriment, et aux principes du calcul qui entrent dans les expressions mêmes.

Quant à ces principes, ce sont ceux de la théorie du positif et négatif et des rpiatre premières opérations: addition, multiplication et les inverses soustraction et division. Car le cas de la multiplication de deux puissances (éq. 3.) est celui de l'addition des exposans, et si k ost négatif, on tombe dans la soustractiou ; le cas de l'élévation d'une puissance à mie autre est le cas de la multiplication des exposans, et si le nouvel exposant est une fraction, la division s'emploie. Il faut donc que la théorie du positif et négatif, et celle des quatre premières opérations, précèdent celle des puissances. Nous les supposons établies, en nous reservant pour ime autre occasion l'essai des éclaircissemens (jui peut-être seront nécessaires. Nous nous bornerons seulement ù annoncer

fj §, 4. form. 6. — 10. l. Définition et

ici que la théorie des quatre premières opérations peut être donnée dune manière semblable à celle dont on va se servir pour la théorie des puissances.

I. Faisons r = 1 et A = 1 dans la seconde équation fondamentale (4.) elle donnera («')*= tt'\ Mais, suivant la théorie de la multiplication, le produit 1.1 est 1; donc on a (u'y=u\ Soit pour un moment u'=w, réquation qu'on Aient de trouver donne w^=Wi donc en écrivant u au

lieu de w, ou a

Voilà le premier théorème tiré des étjxiations fondamentales.

n. Soit dans la première équation fondamentale ( 3. ) k = 0 et y = l, elle donnera u\u°=u' ou bien, u étant = «' (6.), u.u°=u. De là on tire «° = — . Mais en vertu de la théorie de la midh'plication, si le diviseur égale le dividende, le quotient est lunité, donc

C'est le second théorème tiré des écpiations fondamentales.

m. Supposons dans la première équation fondamentale (3.) /. = — r', elle donne u\ir^'= u^^= u" et puisque «" = 1 (7.), uy.u-y=l et par suite

Cest un troisième théorème tiré des équations fondamentales. Puisquen vertu de la théorie de la multiplication «>, — = — et en vertu de 1 équation (8.) —y = ""' on peut y ajouter comme corollaire

IV. Faisons u^ = z dans la seconde équation fondamentale , elle

donne z'^ = u''' et si l'on fait A = — , i> = «'j donc puisque u'-^u (6.)

on a