Mémoire sur la theorie du magnetisme en mouvement;

13 ans les deux Mémoires que j’ai lus précédemment à l’Académie, j’ai considéré l’action des corps aimantés par influence , lorsque les fluides boréal et austral sont parvenus dans leur intérieur à l’état d.'équilibre. Je me propose maintenant d’étendre au cas du mouvement, la théorie que j’ai exposée en détail dans le premier de ces Mémoires; théorie qui attribue les phénomènes magnétiques à deux fluides impondérables, contenus l’un et l’autre en égale quantité dans les corps susceptibles d’aimantation, dont les particules n éprouvent jamais que de très-petits déplacements et sont soumises à une action mutuelle en raison inverse du carré des distances, répulsive entre celles d’un même fluide, et attractive entre les molécules de l’un des fluides et celles de l’autre.

Coulomb avait pensé que tous les corps peuvent donner des signes d’aimantation, et que cette propriété ne provenait pas d’une petite proportion de fer qui entrerait dans leur

composition. Cette opinion se trouve aujourd’hui confirmée par les expériences de M. Arago, qui ont fait voir que les métaux, l’eau, le verre, le bois, etc., agissent sur l'aiguille aimantée quand ils sont en mouveriîent, ou quand l’aiguille oscille dans leur voisinage. Mais ce que cette découverte a, ce me semble, de plus important, c'est quelle nous apprend que le magnétisme agit dans les corps en mouvement avec une intensité et suivant dèà lois très-différentes de ce qui a lieu dans les corps en repos. Cette différence d’action a aussi été remarquée par M. P. Barlow, mais dans le fer seulement, et non pas dans des substances comme le cuivre, par exemple, où le magnétisme est à peine.sensible dans l’état dé repos , et où il se montre avec une grande intensité dans l’état de mouvement. C’est à l’occasion de ces expériences, maintenant bien connues des savants, que j’ai écrit ce nouveau Mémoire.

Je continuerai d’appeler éléments magnétiques, les petites portions des corps aimantés dans lesquels les fluides boréal et austral peuvent se mouvoir, et qui sont séparées par d’autres portions imperméables au magnétisme. La proportion de la somme de leurs volumes, au volume entier de chaque corps, varie dans les différentes matières; ce qui suffit pour expliquer comment, dans l’état de repos, ces matières donnent des signes de magnétisme plus ou moins marqués sous l’influence des mêmes forces extérieures. Cette proportion peut aussi dépendre de la température des corps aimantés par l’influence; et ce serait pour cela que l’intensité de leurs actions magnétiques change avec leur degré de chaleur. Mais pour se rendre raison de la dilférence d’action du magnétisme dans les deux états de mouvement et de repos, d’un

meme corps, à la même température, il faut avoir recours à d’autres considérations.

Dès qu’on approche un aimant d’un corps susceptible d aimantation par influencent où les éléments magnétiques sont en proportion quelconque, la décomposition du fluide neutre commence dans chacun des éléments, et elle continue jusqu’à ce que l’action du fluide décomposé fasse équilibre à la force extérieure, ce qui arrive après un temps très-court, si cette force est constante en grandeur et en direction. Mais si elle varie continuellement, ou bien, si l’aimant extérieur change de position à l’égard des éléments soumis à son influence, les deux fluides, au lieu de parvenir à un état permanent, se mouvront dans chaque élément avec des vitesses qui pourront n’être pas les mêmes, toutes choses d’ailleurs égales, dans les corps de diverses matières. Dans cet état, nous ne saurions déterminer à chaque instant, la distribution variable des deux fluides dans les éléments magnétiques; néanmoins nous pouvons concevoir qu elle soit très-différente de la distribution permanente qui a lieu dans l’état d’équilibre : il est possible, en effet, que pendant le mouvement, la décomposition du fluide neutre ayant lieu dans toute l’étendue de chaque élément, l’un des fluides boréal ou austral soit en excès dans chacun de ses points; et qu’au con- ( traire, dans letat d’équilibre, le fluide décomposé soit transporté à sa surface où il forme une couche d’une très-petite épaisseur par rapport aux dimensions de cet élément, ainsi que nous l’avons supposé dans les précédents Mémoires. L’action exercée au dehors par un même élément soumis à l’influence des mêmes forces, serait alors très-diffjérente dans les deux cas, puisque dans l’un elle émanerait seulement des

points voisins de la surface, et dans l’autre, de tous les points de son volume. Toutefois je ne fais ici cette observation que pour indiquer une cause probable et facile à se représenter , de la différence d’action magnétique que l'expérience a fait connaître entre les corps en mouvement et les corps en repos. Mon analyse embrasse à la fois ces deux cas, et je l’ai affranchie de toute hypothèse relative à la disposition des deux fluides dans les éléments magnétiques. H ne subsiste dans les formules qui expriment, après un temps très-court, l’action extérieure d’un corps aimanté par influence, que des constantes dont l’une répond à l’état d’équilibre, et ne dépend que de la proportion des éléments magnétiques, tandis que les autres sont relatives à l’état de mouvement, et dépendent de cette proportion et de la vitesse des deux fluides dans ces éléments. Quelle que soit d’ailleurs la nature de ces constantes, elles doivent être données par l'expérience pour chaque corps en particulier, et même pour chaque degré de chaleur, si l’observation fait voir quelles changent avec la température.

Si les éléments magnétiques n’étaient pas des sphères, et qu’ils fussent régulièrement disposés, comme cela pourrait arriver dans les corps cristallisés, les constantes dont nous parlons dépendraient encore de leur forme et de leur disposition. Dans ce cas, l’action d’un corps sphérique ne serait pas la même de tous les côtés, c’est-à-dire que le centre de ce corps ne changeant pas de position, et les forces extérieures qui produisent son aimantation, restant les mêmes, son action serait différente, lorsqu’on tournerait l’un de ses hémisphères d’un côté ou d’un autre. Mais une telle circonstance ne s’étant pas encore présentée à l’observation, nous avons exclu de nos recherches, ce cas singulier dont la possibilité-

avait déjà été remarquée dans les Mémoires précédents.

Nous continuerons aussi de supposer nulle, ou du moins très-faible, la force coercitive dans les corps que nous considérerons : toute force extérieure, d’une grandeur appréciable, qui agira sur ces corps, y décomposera donc en proportion le fluide neutre; les effets de cette décomposition commenceront à se manifester au dehors, aussitôt que la force extérieure aura commencé d’agir, et ils atteindront toute leur intensité dans un intervalle de temps très-court. C’est ce qui arrive dans le fer doux, par exemple. C est encore ce que l’on observe dans les expériences de M. Arago, sur des plaques de cuivre, ou d’autres matières, dont on approche les pôles d’une aiguille aimantée. Il n’en faut pas conclure, cependant, que ces substances n’opposent aucune résistance au mouvement des deux fluides dans leurs éléments magnétiques ; nous admettrons, au contraire, que la matière pondérable exerce sur les particules boréales et australes une certaine action, insuffisante pour empêcher leur mouvement de commencer quand elles sont sollicitées par une force extérieure qui n’est pas extrêmement petite, mais dont l’effet est de retarder plus ou moins ce mouvement, et peut se comparer à celui de la résistance des milieux. Nous supposerons de plus que cette action varie avec la matière et la température des corps, afin d’expliquer comment la vitesse des deux fluides, bien qu’elle soit très-grande dans toutes les substances dépourvues de force coercitive, peut néanmoins changer, dans un rapport quelconque, en passant de l’une de ces substances à une autre.

On trouvera dans ce nouveau Mémoire, les équations d’où dépend , en grandeur et en direction, l’action magnétique exercée à chaque instant sur un point extérieur, par

un corps de forme quelconque, homogène ou hétérogène, où la force coercitive est insensible, et qui est soumis à 1 influence de forces variables ou constantes. Ces équations renferment, comme cas particulier, celles que j’avais trouvées dans mon premier Mémoire sur le magnétisme. Quoiqu’elles soient présentées sous la forme la plus simple dont elles sont susceptibles, ce n’est, cependant, que dans des cas très-limités qu’on peut parvenir à les résoudre. J’en ai fait très-facilement l’application au cas d’une sphère homogène, tournant sur elle-même, et aimantée par l’action de la terre; et ensuite, par des calculs beaucoup plus compliqués, à une plaque homogène, sans discontinuité, d’une petite épaisseur et d un grand diamètre, agissant sur des points très-éloignés de ses bords. J’ai développé en détail les formules relatives à l’action de cette plaque sur une aiguille parallèle ou inclinée, qui oscille dans son voisinage, ou qu’elle entraîne en tournant dans son plan. Leur comparaison à des expériences faites dans les circonstances quelles supposent, suffira pour décider si la théorie dont elles dérivent doit être accueillie ou rejetée : je la ferai aussitôt que j’aurai pu réunir toutes les données nécessaires de l’observation.

§I cr .

Expressions générales des actions magnétiques .

(i) Le fluide libre étant distribué d’une manière quelconque, soit près de la surface, soit dans tout l’intérieur de chaque élément magnétique, proposons-nous de déterminer d’abord l’action d’un élément isolé , et ensuite l’action d’un corps de dimensions quelconques, sur un point donné de position.

Soit M ce point; x, y, z, ses trois coordonnées rectangulaires; x', y', z, les coordonnées rapportées aux mêmes axes, d’un autre point C appartenant à l’élément magnétique dont on veut considérer l’action sur M ; représentons par h, le côté du cube équivalent en volume à cet élément ; et soit M' un second point de ce même élément, dont nous exprimerons par hy, h\, h'Ç, les coordonnées rapportées à des axes menés par le point C, et parallèles à ceux des x, y y z. Appelons p, la distance du point M au point C,de sorte qu’on ait

et p,, la distance de M à M', laquelle se déduira de p en y augmentant ÿ, z', de hy, hhX, respectivement.

L’élément différentiel du volume, correspondant au point M', aura h 3 dy d\ dX pour expression ; nous désignerons par pi/ h 3 dy d\ dX, la quantité de fluide libre qu’il contient, {/ étant positif ou négatif selon que ce fluide sera boréal ou austral. Ce coefficient sera une fonction de y, £, Ç, dépendante de la distribution des deux fluides dans l’intérieur de l’élément magnétique que nous considérons. S’ils y sont en mouvement, variera en outre avec le temps; mais la quantité totale de fluide libre, appartenant à un même élément, devant être nulle dans tous les cas, on aura toujours

dy dX dX -= o, (1)

l’intégrale s’étendant au volume entier de l’élément magnétique.

L’action répulsive exercée par le fluide de ^ h 3 dy d\dX

sur une particule de fluide boréal située au point M , aura pour mesure :

AV dxd\dl

^n prenant pour unité de force, l’intensité de la puissance magnétique, à l’unité de distance et correspondantes l’unité de quantité de fluide. Ses composantes parellèles aux axes des x, y y z, seront exprimées par les différences partielles:

pj ?i Lî

dæ 7 dy 7 dz 7

prises avec des signes contraires, et multipliées par... h 3 p.' dy didX,. Selon que leurs valeurs seront positives ou négatives, ces forces tendront à augmenter ou à diminuer les coordonnées de la particule boréale, située en M; le contraire aurait lieu, si l’on considérait leur action sur une particule australe : par augmenter ou diminuer les coordonnées du point M, on entend éloigner ou rapprocher ce point de leur origine, quand elles sont positives, et vice versa, lorsqu’elles sont négatives. Dans tout ce Mémoire, on prendra dans le sens que nous expliquons, l’action des composantes positives ou négatives, agissant sur des particules boréales ou australes suivant leurs coordonnées.

Ces trois composantes de la force dirigée de M' vers M devront être intégrées dans toute l’étendue de l’élément magnétique auquel M' appartient, pour en conclure l’action exercée par cet élément sur le point M.

(a) Pour cela, développons la quantité y suivant les puissances de h, ce qui donnera une série très-convergente,,

DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. g

excepté dans le cas particulier où la distance du point M à l’élément magnétique serait du même ordre de petitesse que ses dimensions. Ce cas étant exclu, nous pourrons, sans erreur sensible, négliger les puissances de h supérieures à la première, et nous aurons simplement

dè h i-

df

dz'

hl.

En vertu de l’équation (i), le premier terme de cette valeur de ~~ disparaîtra dans les intégrales triples qu’il s’agit d’effectuer; et si l’on fait, pour abréger :

hJy! % dj d\ = £',

et ensuite

qu’enfin l’on désigne par \, \\ les trois composantes demandées, respectivement parallèles aux axes des x, y, z, on aura

Ï=-A*g, ■x B = -A’aî- <•)

On voit par-là que l’action d’un élément magnétique sur un point qui n’en est pas très-rapproché, ne dépend de sa forme et de la distribution des deux fluides dans son intérieur, qu’en tant quelles influent sur les valeurs des trois

quantités a', 6',y'. Quand ces valeurs seront connues, on pourra assigner la direction et l’intensité magnétiques d’une petite aiguille, dont l’action équivaudra à celle de cet élément, ainsi que je l’ai remarqué dans mon premier Mémoire sur le magnétisme. J’ai aussi observé dans ce Mémoire que les quantités y, £,£, et par suite les intégrales a , ,6 / ,y / , varient avec les directions des axes rectangulaires auxquels elles se rapportent, suivant les mêmes lois que les composantes d’une force donnée. Cette propriété de a', ê',y', nous sera très-utile dans la suite; mais elle est assez évidente d’elle-même pour qu’il soit inutile de revenir sur ce point. Nous allons maintenant exprimer par de nouvelles intégrations, l’action d’un corps de forme donnée, d’après les équations (2) appliquées à chacun de ses éléments magnétiques.

( 3 ) Nous appellerons A le corps dont il s’agit de calculer l’action sur un point M, répondant toujours aux coordonnées x,y, z y et que nous placerons d’abord en dehors de A, à une distance sensible de sa surface. Partageons A en un très-grand nombre de parties, dont les dimensions extrêmement petites eu égard à celles de ce corps , soient cependant très-grandes par rapport aux dimensions de ses éléments magnétiques. Soit v le volume de l’une de ces parties, comprenant l’élément que nous venons de considérer, dont le lieu est déterminé par le point C qui répond aux coordonnées x\y,z f . Désignons par À*', la somme des volumes de tous les éléments magnétiques contenus dans v, divisée par ce volume. Cette quantité k! devra être donnée pour chaque substance en particulier, dont elle représentera la densité sous le rapport du magnétisme ; et même pour chaque degré de température, si l’on suppose que la proportion des éléments magnétiques puisse varier dans la même matière avec

DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. Il

son degré de chaleur. Nous regarderons, pour plus de généralité, k' comme une fonction donnée de x\y\z\ qui se changera en une quantité constante, lorsque A sera homogène, et qu’il aura partout la même température: cette fonction dépendra aussi du temps, si les différents points de A ne sont pas parvenus à des températures permanentes.

Quoique le volume v soit très-petit, les quantités a', £',7', n’auront pas les mêmes valeurs dans toute son étendue, si les éléments magnétiques qu’il renferme n’ont pas tous la même forme et la même disposition ; mais le pont M étant extérieur et sensiblement éloigné de la surface de A, sa distance au volume v est très-grande par rapport aux dimensions de cette petite partie de A; d’où l’on peut conclure que les composantes de l’action de v sur M, seront toujours exprimées par les valeurs précédentes de>, V,*", en y remplaçant le volume h 3 d’un élément magnétique par la somme k'v de tous les éléments contenus dans v, et prenant pour les quantités a', ê', y', les moyennes de leurs valeurs relatives à ces mêmes éléments. Ces moyennes devront être soumises à la loi de continuité, et pouvoir s’exprimer en fonction des coordonnées x\ÿ z\ du point C qui détermine le lieu de v , sans quoi l’analyse mathématique ne pourrait pas s’appliquer à la question qui nous occupe.

Cela étant, il ne restera plus qu’à prendre la somme des actions de tous les volumes v sur le point M, décomposées suivant un même axe, pour avoir l’action totale de A suivant cette droite; or, cette sommation de quantités finies pourra être remplacée par une intégrale définie. En effet, si vf{x\y\ z ') est le terme général des quantités que l’on veut sommer, x\y\z étant les coordonnées de l’un des points