IZ MEMOIRE SUR LÀ THEORIE

du volume v suppose' très-petit, et si la somme demandée doit s’e'tendre à toutes les parties x dans lesquelles on a divisé un volume V, on sait par les principes du calcul intégral, que cette somme sera à très-peu égale à l’intégrale triple

j'JJf(x\y\z)dx'dy l dz\ prise dans toute letendue du

volume V. La différence entre la somme et l’intégrale est d’autant moindre que les volumes partiels sont plus petits par rapport au volume entier; et dans le cas actuel, on peut la négliger sans crainte qu’il en résulte aucune erreur appréciable. Toutefois la substitution d’une intégrale à une somme ne serait plus permise,si la fonction f{x\y\z ) variait très-rapidement dans quelques parties de l’intégrale, et que sa grandeur devint en raison inverse de celle de v ; mais d’après les expressions de x,x',x", cette exception ne saurait avoir lieu, lorsque le point M est situé comme nous l’avons supposé, ce qui empêche la quantité p de devenir nulle ou insensible.

En désignant donc par X, Y, Z, les trois composantes suivant les axes des x, y, z, de l’action de A sur ce point extérieur M, nous aurons leurs valeurs en substituant d’abord k' dx' dy' dz à la place de A 3 dans les seconds membres des équations (2) que nous intégrerons ensuite dans toute l’étendue de A. De cette manière, on a

X = -fff d £k'dx' d/dz,

Y=— fff ïr k ' dx ' dy dz ’

ou bien en faisant passer les différences relatives à x, y, z,

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en dehors des intégrales dont les limites sont, en général, indépendantes de ces trois coordonnées; remettant pour q, ce que cette lettre représente, et posant, pour abréger,

li 1

dï é ' + dït ’jKdx'dydz,

on aura plus simplement

dx ,

dy ’ dz

(4) Lorsque M fera partie de A, ces formules s’appliqueront encore à la partie de ce corps dont M sera sensiblement éloigné. Ainsi, en concevant autour de M, une partie de A, que nous appellerons B, dont les dimensions seront à la fois très-grandes par rapport à celles des éléments magnétiques, et très-petites relativement aux dimensions de A, les équations (3) feront connaître les composantes de l’action exercée sur M, par l’autre partie de ce corps, pourvu que l’intégrale que Q représente ne soit étendue qu’à cette partie, c’est-à-dire, aux points de A compris entre sa surface extérieure, et la surface de B. Quant à l’action de B sur le point M, elle se composera de celle de l’élément magnétique dont M fait partie, et de celle des autres éléments contenus dans B : nous représenterons leurs composantes suivant les axes des z , par £, pour la seconde action, et par

e,î', e", pour la première. Le point M appartenant au corps A, la particule boréale que l’on y considère, sera en outre soumise à l’action des forces extérieures dont l’influence produit l’aimantation de ce corps. Or, si nous représentons par V, la somme des particules du fluide libre que con-

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tiennent tous les aimants extérieurs, divisées par leurs distances respectives au point M, les composantes suivant les coordonnées #,j, s, de l’action de tous ces aimants sur ce point, seront exprimées par

dV dV __d\

dx ’ dy ’ dz

Donc enfin , si nous désignons par X', Y', Z ', les composantes selon les mêmes directions de toutes les forces qui agissent sur le point intérieur M, nous aurons

d\ dx d Y dy dV dz

Q' étant ce que devient l’intégrale Q, lorsqu’on n’y comprend pas la portion B du corps A.

Dans mon premier Mémoire sur le magnétisme , j’avais pensé qu’on pouvait négliger les termes , de ces

équations; mais un examen plus approfondi m’a fait reconnaître qu’encore bien que B soit une très-petite partie de A, ces forces sont du même ordre de grandeur que les composantes relatives à l’autre portion de ce corps, qui sont exprimées par les différences partielles de Q'. Pour s'en convaincre, il suffira de calculer l’action exercée sur M par les éléments magnétiques de B qui en sont le plus éloignés, et dont les distances à ce point seront supposées très-grandes par rapport à leurs dimensions. C’est ce que nous allons faire avant d’aller plus loin; et ce calcul sera utile, comme

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on le verra, pour mieux connaître la nature des actions magnétiques, dans les cas où les dimensions des corps dont elles émanent, deviennent très-petites.

( 5 ) Appelons donc D, la portion de B que nous voulons considérer. Les points de D étant éloignés de M comme l’exigent les équations (2), on calculera l’action de chacun de ses éléments sur ce point au moyen de ces équations ; et si nous représentons par A, A', A", les composantes de l’action totale de£ D suivant les axes de x,y, z, elles seront données par les équations (3), c’est-à-dire que nous aurons

~d^ ’ A dy 9

dz ’

en désignant par Q" la même intégrale que Q étendue seulement à tous les points de D. Ces trois équations étant susceptibles des mêmes transformations, il suffira d’en considérer une seule, la première par exemple.

Si l’on y met pour Q" sa valeur, et que l’on effectue la différentiation relative à. oc, cette équation deviendra

k' doc' dÿdz'.

Dans cette petite portion D du corps A, non plus que dans toute l’étendue de B, les quantités A', a, g',y f , ne varient pas sensiblement, et sont à très-peu près les mêmes qu’au point M ; en exprimant donc par k , a, g, y, leurs valeurs relatives à ce point, ou ce que deviennent A', a', g , y 7 , lorsqu'on y met ses coordonnées 3?,y, 2, a la place des variables x,y\z\ et faisant ensuite passer A*, a, g, y, hors des signes d’intégration, il en résultera

— kafff ~jh—dx dÿ d Z

-\rk&J

d x —’ K ' fCCd X —*

’Jff-jy- dx’dy'dz' + kj/f-jf- dx df dz.

Pour plus de clarté, supposons que l’axe de x' soit vertical «t dirigé de bas en haut ; que D soit tout entier au-dessus du plan horizontal des y\z ; et qu’il n’y ait que deux points de sa surface qui aient la même projection sur ce plan. Ce sera depuis l’ordonnée du point inférieur jusqu’à celle du point supérieur, que l’on devra prendre l’intégrale relative à x ; ainsi l’on aura

fff d -£- dx ' d y' dz ’ = fK^ÿ) drdz '-ff\ f ï , ~ ÿ' iz

les quantités [~p^] et se rapportant respective-

ment à ces deux points. Si donc on conçoit un cylindre vertical, tangent à la surface de D, qui la divise en deux parties, il faudra étendre la première des deux intégrales doubles à la partie supérieure, et la seconde à la partie inférieure. Or, en appelant l l’angle compris entre la verticale tirée de bas en haut par le point de la surface de D dont x ,y ,z f , sont les coordonnées, et la partie extérieure de la normale à cette surface au même point, cet angle sera aigu dans toute la première portion de la surface, et obtus dans toute la deuxième partie; désignant de plus par du 1 élément différentiel de la surface en ce même point, sa projection horizontale sera dÿ dz\ et nous aurons

dÿ dz = ± cos.ldu 7

en prenant le signe 4- quand l sera aigu, et le signe — quand cet angle sera obtus. D’après cela, nous pourrons réduire la différence de nos deux intégrales doubles, a une seule intégrale étendue à la surface entière de D, savoir :

Nous aurons par conséquent

dx'dfdz' = j f* ( 5 )

Si dans quelques parties de D, une même verticale rencontre la surface en quatre, six points, il faudra les consi¬

dérer deux à deux consécutivement : l’intégrale triple se composera alors d’autant d’intégrales doubles, dont la moitié sera précédée du signe + , et l’autre moitié du signe —; aux points de la surface de D qui répondent a la première moitié, l’angle sera aigu , et il sera obtus aux points relatifs à l autre moitié ; on pourra donc encore remplacer ces intégrales par une seule qui s’étendra a la surface entière de D ; et 1 équation (5) aura toujours lieu, quelle que soit la forme de ce corps. Ce cas général comprend celui où D renfermerait un espace vide intérieur : on devra alors etendre 1 intégrale double aux deux surfaces de D, l’une extérieure et l’autre intérieure, ou, si l’on veut, la partager en deux intégrales dont chacune se rapportera seulement à l’une de ces surfaces.

On trouvera de la même manière