IV
Application a une plaque homogène, tournant uniformément sur elle-même .
( 25 ) Nous supposerons l’axe de rotation vertical ; les deux faces de la plaque seront planes et horizontales; nous re-
garderons ses bords comme assez éloignés des points sur lesquels elle agit, pour que leur influence mutuelle soit insensible; et nous traiterons, en conséquence, son diamètre comme infini. La détermination de l’action des bords, surtout à cause de leurs arêtes, présente des difficultés d’analyse qui peuvent se rencontrer dans d’autres questions , et dont nous renverrons l'examen spécial à un autre Mémoire.
Nous désignerons par 2 b, l’épaisseur constante de la plaque ou la distance mutuelle de ses deux bases,.et par n la vitesse angulaire, aussi constante; de son mouvement de rotation. Nous placerons l’origine des coordonnées rectangulaires qu.e comprennent les formules générales, sur 1 axe de rotation, à égale distance des deux bases; 1 axe des x positives sera vertical et dirigé de bas en haut ; le plan de x, z , coïncidera avec le méridien magnétique; l’axe des z positives sera dirigé vers le sud, et celui des y positives, de manière que les points de la plaque, pendant leur rotation , aillent du premier au second axe. Nous appellerons r la perpendiculaire abaissée du point M de la plaque dont les coordonnées sont x^y-.+z', sur l’axe des x ; ayant que le mouvement ait commencé, nous représenterons par u l’angle compris entre cette droite et une parallèle à l’axe des 2 positives; au bout du temps quelconque t , cet angle deviendra nt -4- u par l’effet de la rotation, et les coordonnées horizontales y et z de ce point M auront pour valeurs :
j=rsin. {nt-t- m), z=rcos. (nt + u).
Soit M' un point appartenant à l’une des deux faces de la plaque ; x\y,z \ ses trois coordonnées rectangulaires, et r et u les valeurs de r et wqui s’y rapportent. Sa distance p au
point quelconque M de la plaque, qui entre dans l’expression de la quantité Q (n° 16), ne dépendra pas du temps t, et la valeur de son carré sera
f={x — x'y + r 2 — 2;*r'cos. [u — u) + r'\
Il s’agira, d’après cela, de former l’intégrale que Q représente, et de la substituer dans l’équation (i4)î mais auparavant nous conviendrons, afin de simplifier les notations, de faire généralement :
(^’ + r 1 -h r ' 3 — 2rr'cos.v) â =f (£,r,r,' cos.'v),
en sorte que f indique une fonction indépendante du signe de \, symétrique par rapport à r et r\ et dont la valeur sera toujours positive.
(26) Pour tous les points des deux bases de la plaque, on aura
x — ± b, cos.^— d= 1, cos. .^=0, cos. s"=o,diù—r dr'du -,
les signes supérieurs ayant lieu pour la face supérieure, et les signes' inférieurs pour la face inférieure. Pour chacune de ces deux surfaces planes et indéfinies, l’intégrale double devra être prise depuis r — o et 11= o jusqu’à r — 00 et u , = 2 t:\ et puisque l’on fait abstraction des bords de la plaque, la valeur de Q résultant de l’équation (i 3 ) sera
Q= y o X (/[*- w cos . («-«’)] ®)
— f\P + ^r,r,r,cos. ( u — u ')] ) r dr du',
en désignant par et ^ es va ^ eur6 ( * e Tx> ^ ans
lesquelles on fera, après les différentiations, x'=b pour avoir et x’=—b pour obtenir [^7] •
Si l’on substitue cette valeur de Q dans l’équation (i 4 ), et que l’on différence ensuite par rapport à x, sous les signes d’intégrations qui sont relatifs à r', u et 0 , on aura
où l’on a fait, pour abréger,
X= f C lf’[b — x,r,r',cos.(u— W)]{b— x) (%))
+f 1 [b + x,r,r',cos.{u — u')]{b + x) [^] j r'dr'du' :\
on se souviendra que cette quantité X devra répondre a £=ô, aussi bien que V, et <p,. A la limite où Ion suppose 1 épaisseur de la p^ique infiniment petite, X conserve une valeur finie que l’on peut déterminer, comme on va le voir, sans connaître celle de la fonction <p.
{27) En ayant égard aux facteurs b—x et b +x, compris sous le signe JJ, et qui sont infiniment petits dans cette hypothèse, il est évident que cette intégrale double X n aura de valeurs finies que pour celles des variables r et u qui rendront infinie la fonction f, c’est-à-dire, pour des valeurs de r et u infiniment peu différentes de r et u. Il suffira donc d’étendre les intégrations à des valeurs de r—r et u — u,
positives ou négatives, mais infiniment petites; par conséquent dans toute leur étendue, les quantités &) « m
pourront être regardées comme constantes et égales à
\dx J re P on dent a r =r et u'—u. Ainsi nous aurons
d’abord, en remettant pour la fonction/*, ce quelle représente :
X =r f—') ff — — x ) r 'dr'du'
^ X ^ [[b —r* — 2 rr[ cos. {u' — u) -f-r ,a ] r
f f. (b + ac)r'dr f du'
^ X ^[{b t- a?)* -+- r *—2 rr'cos. ( u' —m)-+- r'*]T
Mais maintenant les coefficients de dr du' sous les signes jj'étant infiniment petits dès que l’une des différences r — r
ou u—u aura acquis une grandeur finie, il en résulte que sans changer les valeurs de ces intégrales, on peut y comprendre des valeurs de r' et u' qui différeront sensiblement deretw, et rétablir, si l’on veut, leurs limites primitives r'=o et r '=.oo , u' = o et u =2t. Cela étant• si l’on fait
u'=u-hv, du’=dv,
les limites relatives à v seront toujours ^=0 et v = 2n; et en désignant par w une constante positive, qui représentera b — x onb-\-x } on trouvera par les règles ordinaires :
Z" 00 Z* 2 " ur'dr'dv Ç 2 77 <0 1/V -|- r ' dv
Jo d 0 [ w . + r » + / .«__ 2 rr’cos.'v] 1 * J o w ’ + 71 ’
On peut réduire ces dernières limites à o>=o et v — -r 1
DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. Jl
pourvu que l’on quadruple le résultat de L’intégration ; faisant ensuite
tang. v—z, dv= ,
les limites relatives à la nouvelle variable seront z =o et z =oo , et l’on aura
^ \/Z 7 +7 7 d v , JL w’ + r 1 sin.* v
w l/V 4-r' dz + r*)z-
Dans l’hypothèse d’une épaisseur infiniment petite, nous aurons donc
et au moyen de ce résultat, nous pourrons, dans la même supposition, résoudre l’équation ( a ) de la manière suivante.
(28) Faisons successivement, dans cette équation, x = b etx= — b, et prenons la somme et le différence des résultats. Soit, pour abréger,
(£MSÎ=*«-
et, en outre,
(jlx) et [S] ^ tant ^ es va ^ eurs ^ qui répondent à x=b
et oc =— b; nous aurons
yt+wt= 4 -^-f 4'e f'{t—tt)dh.
Ces deux équations sont de la même forme, et les inconnues 4 » ^ «t <j >' t y sontséparées; # il suffira donc d’en considérer une seule; la première, par exemple, dans laquelle nous mettrons a à la place de , en sorte que l’équation à résoudre sera
En négligeant d’abord son second membre, on a Faisons ensuite
et négligeons $ 4 1 dans ce même second membre ; nous aurons
Soit encore
m=af +
en substituant la valeur correspondante de 4 1 dans le premier membre de l’équation (^), et négligeant dans son second membre, on en conclura
Si l’on ajoute un nouveau terme £ a <|/f à cette valeur approchée de $,<!>*, et que l’on forme la valeur approchée de en négligeant cette quantité dans le second membre de l’équation (d), on trouvera
En continuant ainsi, et prenant la somme des valeurs approchées de t y £ 2 ^£j, etc., on aura en série infinie
la valeur de tyt qui satisfait à l’équation (*/), savoir :
^t — — Wt - 4 - Wd/\t — d)dd — a'J Çf W'/'(6— t')dt f ^f'(t—d)dd J
-h a 3 J (f\f Wt"fXt , —t ,, )dt f, ')f'( < b—t')dt r ')f'(t—b)dd--etc}
On en déduira la valeur de en y changeant W en W\ et
mettant —à la place de a.
Les valeurs de tyt et <j/£ subsisteront dès que le mouvement de la plaque aura commencé, et pour des valeurs de t aussi petites qu’on voudra. Dans les premiers moments de sa rotation, la plaque acquerra un dfegré d’aimantation sensible, qui variera très-rapidement en même temps que la fonction/’^. La durée de cet état initial sera très-courte (n°p); et pendant cet intervalle de temps, nous regarderons comme insensibles, les vitesses communiquées par la plaque aux
TO
points extérieurs sur lesquels elle agit, ainsi que les déplacements quelle leur fait éprouver. C’est pourquoi nous ferons abstraction, comme dans le cas d’une sphère tournante (n°20), de tout ce qui se passe dans les premiers instants du mouvement ; et nous allons chercher ce que devient la formule précédente, pour une valeur sensible de t qui rend ft constante , et par conséquent f t nulle.
(29) Désignons à cette époque par la valeur donnée de Y t. Puisque la variable t a acquis une grandeur sensible, il faudra ne donner à 0, dans le second terme de la formule^), que de pareilles valeurs, telles que t —Osoit insensible, sans quoi le facteur f ’ ( t —0) serait insensible ou nul. On y mettra donc 110 à la place de^F0; alors cette fonction ne variant plus très-rapidement, on pourra la développer suivant les puissances de t —S, ce qui donnera
dt a
- etc.
A cause que f(t —0) est nulle à la limite Q = t, on aura
f f'(t— 6 )dt = q;
q étant la valeur constante de ft, relative à la matière et à la température de la plaque. Les intégrales J' ( t — 0 )f'(t —0)^0,
f (*—â)y / (*—0) J0, etc., auront aussi des valeurs indé- J O
pendantes de t, et les mêmes que si on les prenait depuis t — ô =00 jusqu’à t— 0 = 0. Si donc on fait t —
DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. y5
dü=— dx y et généralement
1.2.3...i J x 'f' x dx=q,, i étant un nombre entier quelconque, on aura
/ to/'(ï— e)rfe=^n^— q. — elc -
Par conséquent le second terme de la série ( e ) sera
ÆVÜfj
en faisant, pour abréger,
tint d^n t d 3 n* ^
qn*-?'^ + y>-d?r-‘2>-dp- + etc =v ut -
Si l’on passe actuellement au troisième terme de cette série, on voit d’abord que t ayant une valeur sensible, il faut qu’il en soit de même à l’égard de G, pour que/'(£ — G) ne soit pas nulle, et par suite a l’égard de t\ afin quey'(6 — t’) ne s’évanouisse pas. On aura donc, d’après l’équation que l’on vient de trouver, •
/ >Ff/'(G-0^' = vn(
et si l’on convient de désigner par v’n^ce que devient vFU quand on y met vfT t a la place de II?, on en conclura
et, par conséquent,
— a'^'Ut,
pour le troisième terme de la série (e).
Examinons encore le quatrième terme de cette série. Il faudra que 8 ne reçoive que des valeurs sensibles et très-peu différentes de t ; il en sera de même à l’égard de t' par rapport à 0, et ensuite, à l’égard de t" par rapport à t'. On aûra donc successivement :
f t")dt"=vnt\
J (y — ne,
et le quatrième terme de la série ( e ) sera • a 3 v 3 nt,
en convenant de représenter par v 3 no ce que devient v 2 n t, lorsqu’on y remplace n t par v n t, ou v n t, quand on y met V 2 IK au lieu de cette même fonction Ut.
Sans aller plus loin, nous voyons que pour des valeurs sensibles de t, l’équation (e) prendra la forme :
<K =—Ut + a\Ut— a'y'Ut -f- a 3 v 3 Ut — etc.
Quant à la fonction Ut quelle renferme, elle se déduira de 1! t en y supposant que t ait acquis une grandeur sensible. Or, si l’on développe V, suivant les puissances de t — 8,
ce qui donne
et que ion représente par F* la somme des valeurs de ^ qui répondent k x=b et x =— b, on en conclura
n'=/ o f (CS) + [^]y'Wdt=Wt.
La formule précédente se changera donc en celle-ci :
\t=—vFt + a\'Ft— tf’v 3 F£-+-aVF*—etc.,
dont on ne devra toutefois faire usage que quand elle formera une série convergente.
(3o) Nous pouvons ordonner ses termes suivant les différentielles croissantes de F t. En effet, nous avons d abord
JY t d'Yt d? Y t d'Yt
V F t=qVt — q,- 7r + q,-j T , - <h~dï^ + TF ~ etC ' ’
en mettant v F* à la place de F£, il vient
dYt t , .d'Yt
rFt=q'üt-2g,g a -j r + (.2g,q+q’)-j F —(aq 3 q + üq.q.)-jp-
. v d*Yt
+ + - etc ' »
par la même substitution, on obtient
v‘Ft=q 1 Ft—3q,q‘ ^ + (3 q,q' + q.'q)^— (3?i?’ + 6q,q, q +
+ 4- 3 q,'q) -jji etc-i
j8 MÉMOIRE SUR LA THEORIE
et ainsi de suite. La loi deformation des quantitésvF£,v 2 F t,
V 3 F t, etc.., n’est pas difficile à saisir : le coefficient de —
dt‘
dans v' 7 Ff se compose de tous les produits de i' facteurs < 7 ,< 7 2 , < 7 .,, < 73 , etc., dans lesquels la somme des indices inferieurs est égalé à i ; chaque produit étant répété autant de fois que ses facteurs peuvent subir de permutations différentes. Ainsi,
par exemple, le coefficient de dans V 3 F* se compose
de tous les produits de trois facteurs dans lesquels la somme des indices est égale à quatre : le produit q 3 q,q s’y trouve répété six fois, parce que ses facteurs inégaux peuvent subir six permutations différentes; et le produit q^q 7 n’y entre que trois fois, parce que ses facteurs ne sont susceptibles que de ce nombre de permutations différentes, à cause de l’égalité de deux d’entre eux. Or, en substituant les valeurs de ces quantités v F v 1 F t , etc., dans l’expression de tyt, on trouve
-aq
(qVt
h dFt . h 1 d 3 F t \ -
-K /i 3 — + etc.J,(/)
dt
où Ton a fait, pour abréger :
