Faq (1 -h aq
g* ïaq>q^
i-Faq (1 -\-aqY
etc. ;
(i + aq) a( 2 q 3 q t -\-qS) , 3 a % q a q T {i+aqY
(1 +aqy
et la loi de formation de ces coefficients A,, A a , A 3 , etc., est
facile à déduire de celle des quantités v F t, v *F^ V 3 F t, etc., que nous venons d’indiquer.
Les expressions numériques de ces coefficients dépendent de l’unité de temps que l’on choisit; mais en faisant attention aux intégrales que q t ,q 2 , q 3 , etc., représentent, il est aisé de voir que si l’on multiplie h n h 2 y h s , etc., par les puissances d’une vitesse angulaire, marquées par leurs indices respectifs, les produits seront des nombres abstraits, indépendants de toute unité particulière. Par les différentiations de la fonction F t, les termes de la série ( f) acquièrent effectivement pour facteurs, ces puissances de la vitesse n de la plaque. Cette série sera donc d’autant plus convergente que les nombres nh ty n'h t , n^h^e te., décroîtront plus rapidement. Les expériences que l’on a faites sur les plaques de cuivre, montrent que leurs principaux effets magnétiques ne dépendent que des deux ou trois premières puissances de la vitesse, lors même que la plaque tourne avec une trèsgrande rapidité; cela indique que dans cette matière, les nombres dont il est question sont très-décroissants : il est naturel de penser que la même chose a lieu dans les autres substances, qui ne deviennent magnétiques comme le cuivre, que sous l’influence de forces variables; lors donc que la plaque tournante sera formée de ces sortes de matières, nous admettrons la convergence de la série (/*), du moins pour des vitesses du même ordre que celles dont les physiciens ont fait usage dans leurs expériences.
Mais s’il s’agit d’une plaque de fer, et qu’on fasse a—— f
pour que la série (/) exprime <|»'f(n°a8), la quantité i+aq deviendra i— k ,, k t étant la même constante que dans le
8o MEMOIRE SUR LA THEORIE
n° 21 , laquelle est à très-peu près égale à U unité; cette quantité i -h aq sera donc presque nulle, ce qui rendra la série (/) divergente. On ne devra donc plus s’en servir; et pour appliquer nos formules générales à une plaque de fer, il faudra résoudre l’équation {d) d’une autre manière. C’est ce que nous pourrons faire dans une autre occasion ; mais maintenant il ne sera plus question que de plaques de cuivre, ou de matières analogues, tournant avec des vitesses qui ne rendent pas la série (/) divergente.
(3i) Lorsque les forces extérieures qui produisent l’aimantation de la plaque sont constantes, la fonction b t lest aussi, et la série (f) se réduit à son premier terme. C’est donc de ce terme que dépendent les effets magnétiques des plaques aimantées par l’influence de forces invariables ; par conséquent on pourra le supprimer comme étant insensible dans les substances que nous voulons considérer, et réduire en même temps la quantité i -+- aq a lunité dans les équations précédentes. Cela étant, faisons
et généralement
Ank
4 TC k —
multiplions les équations précédentes par puis met¬
tons-y successivement à la place de a ses valeurs et
4”* q U i répondent à <|/£ et Y t; soit dans le premier cas:
/j-4^ + ^ 3 =^, ig)
Pi—Apip—zp'+izp'P'—Sp'—pgi, ]
etc. ;
et dans le second :
P<+P'=Pg» 1
p I +2p l p+p'=pg\, (h)
p 3 -h 2/7,/? H"/?/ + 3 P^' "h/? 4 =Pg' 3,
etc. ;
on conclura de 1 équation (/) :
3 p /dF t d*F t
^ \Tzk\dt dt'
d'Ft d*Ft
■g.—, - g>~âF - +etc -
, , x 3p sdFt , rf’F'f , rf’F'f „ N
^ ^ 4-tcæC gt dt' + &'dt' & 3 dt * +etc ')’
en supposant qu’on ait
et désignant toujours par et ["^"J ? les valeurs de^
qui répondent à x—b et x —— b.
Si les coefficients i ,g\, g;, £* 3 , etc., et i ,g\, g'>,g' 3 , etc., forment deux progressions géométriques, et que l’on représente le rapport d’un terme à celui qui le précède, par g dans la première progression et par g dans la seconde, les valeurs de \t et <|/£ seront la même chose que :
ir.kJ o
Il f x
d JlîpiÛ e - z dz,
dt
ül±Lz£±le~ z dz- Tt e az>
e désignant la base de logarithmes népériens : c’est ce qu’on vérifiera sans peine, soit par des intégrations par parties, soit en développant suivant les puissances de g et #', et effectuant ensuite les intégrations relatives à z. Mais quelles que soient les quantités , # 2 , etc., g\ etc., nous pourrons toujours employer ces formules pour exprimer d’une manière simple, les valeurs de <]>£ et <j/ 1, pourvu que l’on convienne de remplacer dans leurs développements selon les puissances de g et g\ les puissances quelconques g " et#'", par g n et#'„, c’est-à-dire, les exposants des indéterminées g et g' par des indices inférieurs qui leur soient égaux. Ces expressions seront surtout utiles, pour faciliter les intégrations dans lesquelles et y t se trouveront engagées, lorsqu’elles pourront s’effectuer sans donner des valeurs particulières à g et g ; ce qui permettra de ne développer les résultats suivant les puissances de g et #', et de n’y remplacer les exposants par des indices inférieurs, qu’après ces intégrations.
(3a) Ces valeurs de <j, £ et <|/ t et l’équation (c) dont elles dérivent, ne seront exactes qu’à la limite ou l’épaisseur de la plaque serait infiniment petite : dans la réalité, cette épaisseur ne pourra être que très-petite, et ces valeurs ne seront qu’approchées. Si l’on en veut calculer de plus exactes, on ajoutera aux formules (t), de nouveaux termes et y't;
puis on substituera dans l’équation (&), les valeurs de (^- 7 ^ et [â'] ^ en résulteront. La partie de X qui répondra à
ces nouveaux termes, pourra se calculer dans l’hypothèse d’une épaisseur infiniment petite ; on la trouvera , par l’analyse du n° 27 , égale à 2 tc et la seconde valeur appro-
chée de X, sera de la forme :
X, étant une quantité connue. Au moyen de cette valeur et de l’équation (a), on déterminera les inconnues <j \ t t et t; d’où l’on conclura une troisième valeur approchée de X, et ensuite de nouveaux termes t et a ajouter aux formules (*). En continuant ainsi, on obtiendra, par la méthodedes approximations successives, des valeurs de et <|/ t, exprimées par des séries dont les premiers termes seront les formules «J, et les autres auront pour facteurs, les puissances b, b\ Z> 3 , etc., indépendamment de la quantité b que renfermeront F t et F't, c'est-à-dire, par des séries telles que
—A Z» A, -t- b* A,+ b 3 A 3 etc.,
^ ' t = A' -+- b A / -f- b 1 A/ ■+- Z> 3 A3 -f- etc. 5
A, A,, A a , etc., A', A/, A/, etc., étant des quantités connues qui renfermeront la demi-épaisseur b, provenant des videurs données de F' t et F t.
Les premiers termes A et A' sont les seconds membres des équations (î). J’ai aussi forme les seconds termes b A, et b A/; mais je n’en donne point ici les expressions à cause de leur complication, et de la longueur des calculs qu’il faudrait faire pour les réduire en nombres dans chaque cas particulier. Il convient toutefois d’observer que le coefficient A/ s’évanouit comme A', quand b= o, eu sorte quen s’en tenant au premier terme de la valeur de ^ t , la partie négligée a b 2 pour facteur, tandis quen s arrêtant au premier terme de la valeur de tyt, la partie négligée a seulement pour facteur la première puissance de l’épaisseur.
( 33 ) Supposons maintenant qu’il s’agisse de déterminer l’action de la plaque tournante que nous considérons, sur un système de particules magnétiques, situées en dehors et données de position. Soit U la somme de ces particules, positives ou négatives, divisées par leurs distances respectives au point de la plaque dont les coordonnées sont x,y, z, ou qui répond aux trois variables x, r et u. Cette quantité U ne serait autre chose que la fonction V, si ces particules étaient les centres des forces extérieures qui ont produit l’aimantation de la plaque, et qu’il fût question de calculer la réaction quelles en éprouvent. Dans tous les cas, U sera une fonction donnée de x, r e t m; et nous représenterons par U, et U a , ses valeurs relatives à x = b et x== — b, ou aux deux faces de la plaque. D’après ce qu’on a vu précédemment (n° 26), la quantitéQ donnée par l’équation (i3), et relative aux points extérieurs, aura pour expression :
Q '*/ n L ( u ‘Gt£) ~ u - [à ]) rdrdu >
ou, ce qui est la même chose,
7/ / (U. H- U,)«| • ’trdrdu + -l / (U,— U,)tytrdrdu.
Comme la différence U, — U 2 s’évanouit avec b, il en résulte qu’en substituant dans cette formule, les valeurs de t et ty't auxquelles nous nous sommes arrêtés et qui sont données par les équations ($), la partie négligée dans chacune des deux intégrales dont elle se compose, aura pour facteur le carré de b. La substitution faite, on aura
«-Kca >^>^>
■(U, — U,) ^ dt ^ j e Z dzdrdu.
Si h, h\h\ sont les trois coordonnées parallèles aux axes des x, y, z, de l’un des points extérieurs, les trois composantes parallèles aux mêmes axes, de l’action de la plaque sur ce point, seront, d’après les équations (3) :
dQ dQ dQ
dh ’ dh' ’ dh " »
en ne faisant varier, suivant la remarque du n° 17, que les h , h', h'\ qui entreront dans U I et U a . Soit l la perpendiculaire abaissée du même point sur l’axe des x, et ^ l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des x, z , de sorte qu’on ait
4 '=/sin. A" = /cos. <|j.
Si l’on remplace ces coordonnées horizontales K et h'\ par les variables / et ^, on aura
dQ__frdQ /SdQ dQ__ h „dQ ,, dQ dl l l dh” d^ dh’~~ n dh
d’où l’on peut conclure que les composantes horizontales seront aussi
dQ dQ
dl 1 /dtp ’
la première tendant à augmenter la distance l, et la seconde l’angle Le moment de l’action de la plaque sur le même
point, rapporté à son axe de rotation, sera — ^2.
On ne pourra faire usage de ces formules, que quand la plaque sera formée de cuivre, ou de toute autre matière trèspeu susceptible d’aimantation sous l’influence de forces constantes; que son épaisseur sera très-petite, soit par rapport à son diamètre, soit relativement aux distances à son plan, des centres de forces extérieures et des points sur lesquels elle réagit ; et qu. enfin, ces différents points seront assez éloignés des bords de la plaque, pour que l’influence des bords soit insensible.
§■ vt-
Action d'une plaque tournante sur une aiguille parallèle.
( 34 ) Supposons qu’on ait placé au-dessus de la plaque que nous venons de considérer, une aiguille horizontale aimantée de manière que la distribution des deux fluides y soit permanente, et ne puisse être changée par l’action résultante de la rotation de la plaque. Nous regarderons le fluide libre comme concentré à chacun de ses pôles ; supposition qui n’est; pas rigoureusement exacte, mais dont on diminuera l’erreur en prenant, pour chaque pôle, le centre d’inertie de la portion de fluide que l’on y réunit. En calculant dans cette hypothèse l’action et la réaction de l’aiguille et de la plaqué, l’erreur que l’on commettra sera du même ordre de grandeur que le carré de la petite portion d’aiguille sur laquelle s’étend le fluide libre, divisé par le carré de sa distance à la plaque ; ainsi pour l’exactitude des calculs, il faudra que cette distance soit toujours tres-grande, eu egard a celle de chaque pôle à l’extrémité correspondante de 1 aiguille. • Nous supposerons aussi les deux pôles également éloignés
du point de suspension de l’aiguille, et ce point situé dans le prolongement de Taxe de rotation de la plaque, ce qui rendra possibles sous forme finie, les intégrations relatives à r et u, indiquées dans les formules dont nous allons faire l’application.
Cela posé, les axes des coordonnées étant les memes que précédemment, désignons par h la hauteur de l’aiguille au-dessus du plan des j, z; par l la distance de chacun de ses pôles à son point de suspension , ou à peu près sa demi-longueur; par (a la quantité de fluide boréal réunie à* son pôle sud, et conséquemment par —la quantité de fluide austral concentrée à son pôle nord ; par l’angle compris au bout du temps t, entre la partie de l’aiguille qui aboutit au premier pôle, et une droite menée par son point de suspension suivant la direction des z positives; par conséquent, par ^-f-r l’angle compris au même instant, entre cette droite et la partie de l’aiguille qui aboutit au pôle nord. Le carré de la distance du pôle sud au point M de la plaque qui répond aux coordonnées x, r et u, aura pour expression :
(h — x)' l 3 — 2 r / cos. {nt -+- u — <}>)-+- ;
le carré de la distance du pôle nord au même point, s’en déduira en y mettant -t- x à la place de ^ ; si donc nous conservons la notation du n° 25 , et que nous fassions,
nt -\-u —
la fonction V relative à ces deux centres de forces sera V = (/./(A — #,r,/,cos. 'i;) — [i/(/i——cos. v).
Les points de la plaque seront, en outre, soumis à l’in-
fluence du magnétisme terrestre ; mais nous ferons abstraction des termes de V qui en résulteraient, parce qu’ils disparaîtraient, comme il est aisé de s’en assurer, dans les différences partielles de la quantité Q, d’oii dépend l’action extérieure de la plaque ; ce qui tient à ce que nous avons supposé son diamètre infini, et n’aurait plus lieu si l’cn voulait avoir égard à l’influence de ses bords. Nous supposerons qu’aucune autre force n’agisse sur la plaque,et qu’il soit question de déterminer sa réaction sur les deux pôles de l’aiguille, auquel cas les deux fonctions U et V auront la même valeur.
( 35 ) Désignons encore par 1 * le moment d’inertie de l’aiguille, rapporté à l’axe vertical passant par son point de suspension. Lorsqu’elle ne sera soumise qu’à l’action de la terre, on aura
\ -jft = — 2 m p./sin. <|>,
pour l’équation de son mouvement horizontal ; m étant une constante positive, telle que le produit m [x soit, abstraction faite du signe, la composante horizontale de cette action sur chacun des deux pôles. En appelant G la durée de chacune des petites oscillations de l’aiguille, de part et d’autre du méridien magnétique, on en conclura, d’après la théorie ordinaire du pendule,
