J O J — OO
+ f f* (Â-—A')»sin.’T(«—+
I l8 MÉMOIRE SUR LA THEORIE
Or, a cause de k — k—o.b, si l’on négligé les puissances de b supérieures à la première, ou seulement supérieures à son carré, la seconde intégrale que renferme cette équation aura pour valeur :
-yf.(r,r);
de plus, si l’on développe suivant les puissances de b, en s’arrêtant au premier terme, il vient
} l ;•__ 24^Y^asin.7(o) — J)
d - oc* sin.*Ÿ (w—</) -hjr % +-y*)* —4^’ a’sin.’|(xû—»')] T l’équation précédente deviendra donc
ç,(Æ ,k )—~ y t (k' ,k}=z/ib*(G — ~r?*C t-ï y)>
en faisant, pour un moment,
[(Y a -f-a’sin. a
Y«jr a sin. a -i( (0 —<ùQ dj dy'
T (“—a/) + r'+y ' 4 X «.* sir». 3 7 (û, — </)}*
La valeur de cette dernière intégrale s’obtiendra comme celle de la quantité H du n® 3 y , et l’on aura
q 7 :asin.*^( w — M ')
2 4 Y* (y* + a* sin.* i (<0 — à'*) f 9
laquelle valeur étant jointe à celle de <p, (7,7) donnera
Ainsi, les intégrales relatives à r et u que contient l’équation ( s ), ne renfermeront que des termes de la forme :
dont l'expression sera
3 Tt b y « sin .* ^ ( m — co * )
(y a H-a* sin. a i( w —
en négligeant toujours les puissances de b supérieures à la seconde.
(48) D’après ce résultat, on trouvera sans difficulté que l’équation (.*) devient
Sf/'tp d. f °° f Y
yasin. s ?(* — t'—g'z)
et il ne restera plus quà développer par rapport à g et §' dont on remplacera les puissances par les quantités g t , g 3 , etc., gïigJi etc., du n°3i, et à faire t’=t après la différentiation relative à f.On obtiendra, comme dans le cas précédent, une série ordonnée suivant les puissances paires de n, et commençant par son carré. En s’arrêtant au premier terme, il vient
da. 4 y 4
Cette différence partielle de Q, prise avec un signe contraire , exprime la composante suivant le prolongement du rayon a, de la réaction de la plaque sur le pôle qui répond à ce rayon et à la hauteur y. Les expériences relatives à la composante verticale ayant fait voir que p t — ^yp’est
une quantité positive, il en résulte que la valeur de
l’est aussi, et que ce pôle sera attiré vers Taxe de rotation de la plaque. L’observation a prouvé, en effet, que la composante centrale est attractive jusqu’à une certaine distance des bords de la plaque; et quant au changement de signe que M. Arago a remarqué dans cette force, lorsqu’on s’approche suffisamment des bords, il ne peut pas être compris dans la formule précédente qui suppose la plaque indéfiniment étendue. La composante centrale et la composante verticale sont, l’une et l’autre, proportionnelles au carré de la vitesse de rotation n, tandis que la troisième composante perpendiculaire au plan des deu^ autres, c’est-à-dire, la force qui fait tourner l’aiguille horizontale, est seulement proportionnelle à la première puissance de n , en réduisant sa valeur à son premier terme (n° ^6). Le rapport de la première à la seconde force est indépendant de la matière et de la vitesse de la plaque; il ne dépend que de la position du point auquel elles sont appliquées, et sa valeur est - 2 L , abstraction
faite du signe : au contraire, le rapport de la seconde à la troisième force serait à peu près indépendant de cette position, et, pour une même plaque, proportionnel à la vitesse n , pourvu quelle ne fût pas très-considérable.
(49) Au moyen des équations (f) et (w), la valeur de ü .devient
QU.'* bï'OL/l * / , , w , .
fl = r 2><5 - (p t — -p 2 ) (j y COS. vi -f- aSin.yj).
Je la substitue dans l’équation (q ), dont j’égale à zéro le second membre; et en ayant égard à la valeur de y/ 2 du n° 45, il vient
sin.(vj— i) =
9 bc ,2 a n 2 ( p t — 1 p 2 ) sin.y 2 y 5 \/ sin. 2 / cos . 2 ê -h cos. 2 y
[7 y COS. Y) + aSin.Yi];
équation qui servira à déterminer, dans un azimut quelconque , l’angle n correspondant à la position d’équilibre de l’aiguille d’inclinaison, apres qu’on y aura mis à la place de a et y leurs valeurs en fonctions de cette inconnue (n° 44)- L’angle ■/)— z’sera la déviation de l’aiguille produite par l’action de la plaque tournante; quand elle sera peu considérable, on résoudra par approximation l’équation précédente, en mettant i au lieu de n dans son second membre, et prenant dans le premier l’angle » — i à la place de son sinus. L’angle i étant don né par l’équation tang.f=tang.y cos. 6 du n° 45, sera de même signe que cos. € ; et comme l’azimut € ' se compte du sud au nord,à partir du méridien magnétique qui passe par l’axe de rotation de la plaque, et s’étend depuis zéro jusqu’à 2 it, il s’ensuit que si l’on conçoit par cet axe un plan perpendiculaire au méridien, l’angle i sera positif au sud de ce plan et négatif au nord. De ce changement de signe, il résulte qu’outre le centre de la plaque, il y aura dans chaque azimut une seconde projection du pôle nord, qui répondra à une valeur négative de i, et pour laquelle la déviation de l’aiguille sera nulle : le rayon a de ce point se déterminera en égalant à zéro, le facteur de sin.(n— i) compris entre des crochets, ce qui donnera
a = — 7 y cot. 13 = — 7 Y cot *y sec * £•
Au-delà de ce point, du côté du midi, la déviation de l’aiguille sera positive, et son effet sera de rapprocher du centre de la plaque, la projection du pôle nord ; en-deçà, du côté
du nord, elle sera négative, et ce pôle, éloigné du centre.
(5o) Maintenant supposons l’aiguille en mouvement, et cherchons à déterminer l’influence de la plaque tournante ou en repos, sur ses oscillations; mais pour ne pas compliquer les calculs, arrêtons-nous, dans le développement des formules (r) et (j) par rapport à g et g ', au premier terme de chaque série qui en sera , dans ce cas, la partie indépendante de ces deux quantités. Supprimons donc g* et g' dans ces formules, ce qui permettra d’effectuer immédiatement les intégrations relatives à z.
L’équation (r) deviendra d’abord
3 p Z' 00 f^ d.FtF't
ir 'J 0 J o dt
rcLrdu.
Faisons passer la différentiation relative a t, en dehors du signe JJ; puis au lieu de l’angle u, employons la variable v dans l’intégration : à cause de v= nt -\-u — 6, on aura d r v = du, et les limites relatives à v seront toujours v — o et v — zt!. Mettons de plus pour F* et F't leurs valeurs; nous aurons
— (y + ^) î y 6 (y + r, a y cos. v)]rdrdu.
En substituant de même les valeurs de F t, F' t >-
do. 1 d a. 1
dans la formule (s) , et réduisant, on trouve
ia3
jv-'yf
doc
r cos. a>) ^ [ (y—&)/ 6 (y — b,r,»,cos.v)
— (y + b)/‘( r + b,r,a,COS.v)]rdrdu
&,r,a, cos.^)
— / 6 (Y + è,r,a,cos.'u)](a — rcos.v)r dr du.
On pourra , dans la première intégrale, faire passer le facteur a — r cos. v sous la différentielle relative à t, en le remplaçant par a'— r cos. v\ oc et v' e'tant, comme précédemment , les valeurs de a et v relatives à une constante f' qu’on fera égale à t après la différentiation. On fera sortir ensuite cette différentielle hors du signe JJ, puis on substituera la variable v à l’angle u. D’ailleurs on a identiquement a ' r cos. v' = a' — rcos.v cos. n (t — £')—rsin.'i>sin.rc(£—£');
la partie de l’intégrale qui comprendra le dernier terme de ce facteur, sera nulle entre les limites v= o,v= ; et comme il est indifférent de faire t'=t dans cos. n{t — t ') avant ou après la différentiation, on voit qu’il suffira de remplacer a par a'; en sorte que l’on aura
— ( 1 + by\i + b,r,x,cos.'v)]('L'—rcos,.'v)rdrdu^
J”f Q ’ CAr—* » r ’“i' cos - v )
—/ 6 (y +6 , r,a,cos.T>)](a— rcos.v) rdrdu.
Les intégrales doubles que ces formules renferment peu-
vent s’obtenir sous forme finie par les règles ordinaires. En effet, on a
rjr __
J o (y a H-a* + r a — a ar cos. v)* 2 (y 2 4 -a 2 sin. 2 2 /)
a cos. 2 ; f a cos. v \
H- - arc (tan g. ==-— - ■ -
2 (y* + a * sin . 2 v)~* ^ ^ 'y a + cc'sin.’vj ’
en intégrant par partie, il vient
- a - cos - w " , r a *
,a 4-a* sin . 2 -v) • ' l/y^a’sin.W y* (y*+a“ sin. 1 v)
acos. 2 >*£
(y 3 -+- a* sin. 2 a;)
on aura donc
rcc r 2r: rdrdv r
i/o i/ o (y 1 4-a 1 +r* 2 oc,cos. v)* y 7 ’
d’où l’on conclut, en différentiant successivement par rapport à y et a, et ayant égard à la notation du n° 25 :
y -'OO z* 2 ^
/ f s (t,r,*,cos.v')rdrdv=— : ,
/ oo / 27r
/ /^ 6 (yî r i«i cos. v ) (a — rcos.v)rdrdv = o. o ^ o
Or, au moyen de ces résultats, et d’après les valeurs de a et y en fonctions de », les équations (y) et (x) deviendront
^Y i6‘ dt\(y — bf (y 4-^)V 4y 4 ^ ? 17^ Sln ‘ V!,
__ 3[a 7 > d. ( g'—.q a'—a ^ 9 fi.' 2 £/'rf»
16 dt \(y — by (y4 -^) 3 ) ~~ 8 y 4 P ~dt C0S * T ‘ ’
lu biagnetisme en mouyêment. ia5
en négligeant les puissances de b Nous aurons par conséquent
supérieures au carre.
ou/ a Æ/ ,a /I a ■ , x dy
-ÏL—( r cos.'„ +sin.^)/> Tt ;
valeur que l’on substituera dans l’équation (q) qui servira ensuite à déterminer l’angle ti en fonction de t, ou la direction de l’aiguille à chaque instant.
(5i) La valeur de y sera indépendante de la vitesse n de la plaque, parce que l’on a négligé dans les développements des formules (r) et (s) par rapport à g et g\ les termes dans lesquels cette vitesse entrerait, ce qui n’aurait lieu qu’à partir des premières puissances de g et g'. L’action de la plaque tournante influerait sur la position d’équilibre de Taiguille, et conséquemment sur la durée des petites oscillations de part et d’autre de cette position. Si la plaque est en repos, cette durée sera sensiblement indépendante de son action, qui n’influera plus que sur l’amplitude, comme dans le cas des oscillations de l’aiguille horizontale. Quelle que soit la quantité dont l’aiguille aura été écartée de sa position d’équilibre, on déterminera, comme dans le n° 4 a, la diminution d’amplitude de la première oscillation, pourvu quelle soit une partie peu considérable de l’écartement primitif. Ainsi, en désignant par i -h £ la valeur de 71 au bout du t, et supposant qu’on ait à l’origine du mouvement,
? = a et ^| = o, on tirera de l’équation Çq) :
9y.'* hî!' Ç d\ %
2V 1 J V dt ’
'îrë— yr(cos.$ — cos.«)i
en faisant, pour abréger,
? = ^ [7 cos. 3 (î + l) + sin. a (ï + 0]i
et l’intégrale contenue dans le second membre étant prise de manière quelle s’évanouisse quand f = o. Si l’on néglige cette intégrale dans une première approximation, on aura d’abord
x j/ 2 (cos. \ —cos. a)
Je substitue ensuite cette valeur de dt, sous le signe J ; il vient
de
( cos. £ — CO s. a) = f J* p 1/œsT^—cos .ad'i
Soit £=— a-h e, à la fin de la première oscillation, de sorte que e désigne la diminution d’amplitude demandée ; on aura a dt
en meme temps ^ = o, et par conséquent
cos. (a —e) — cos. a 1
g\L f 'bl ,% b'p /'“
9 X/' cos. £ — cos. ad\.
A cause de la petitesse supposée de e, on pourra étendre l’intégrale depuis l = a jusqu’à £==— a, ou bien en changer le signe et la prendre depuis £=—a jusqu’à \ = a; et si l’on néglige, en outre, le carré de e dans le premier membre de cette équation, on en conclura
c’est-à-dire, en mettant pour jt' a sa valeur précédente (n°45),
gn bl'c^psin.J 2 l/a 0'sin.a 1/sin * j cos. 2 g + cos.
= / <p i/cos. £ — cos. a i JJ — a
(52) Pour comparer cette diminution d’amplitude, à celle qui a lieu dans le cas des oscillations horizontales, supposons que l’aiguille dont il était question dans le n° 4 2 , soit la même que. celle que nous venons de considérer, ou du moins que les quantités /, c, p, relatives à la première aiguille, soient les mêmes que les quantités c\ [*', re¬
latives à la seconde ; supposons aussi l’élévation de l’aiguille horizontale au-dessus de la plaque, égale à la valeur moyenne de y que nous représenterons par A,, en sorte que A, soit l’élévation du pôle nord de l’aiguille inclinée dans sa position d’équilibre ; prenons enfin a pour l’angle dont l’aiguille horizontale a été écartée du méridien magnétique, et désignons par e, la diminution d’amplitude de sa première oscillation. D’après le n° 4^, on aura
tc l/7sin. B' r a y -=- iv.
e . = a — : - / 1/cos.Ç— cos. a ac,,
1 Qn'sin.a. J a
0 étant toujours la durée d’une petite oscillation de cette dernière aiguille soumise à l’action de la terre, dont la valeur sera (n° 35) ' .
On devra prendre, pour la valeur approchée du rapport que l’équation précédente renferme (n° 4o),
sin. V __ gbV c" p /
mais V étant, on général, très-grand par rapport à 4,, on pourra réduire à l’unité le facteur compris entre les parenthèses. D’ailleurs on a (n° 45.)
fi' — - — \ / sin -* Q . / sin.y
1/a m\L l l' * cos. 6 y sin. 2 y cos. 1 6 +cos.* y ’
et de ces différentes formules, on conclura
sin. a y cos. a ë + cos. a y
^ p W^eos. Ç — cos. a
J V^cos. Ç—cos. a d\
Les intégrales contenues dans cette expression pourront toujours se calculer aussi exactement qu’on voudra. Il serait intéressant de comparer le résultat de ce calcul, au rapport de e à e x donné par l’observation. Si l’amplitude des oscillations est très-petite , le facteur <p pourra être regardé comme constant, et l’on aura à très-peu près
=icos.-* 4 - sin. 3 i*= J-t cos ; a g sin -V ;
sm.*/ cos. t> + cos. a y
d’où il résultera
e ( i 4- 2 cos. a 6sin. a y) v/sin TJ
£ — ^ 1 2 (sin. a y cos.*ê4- cos,*y) *
valeur qui ne variera plus, dans un même lieu, qu’avec 1 azimut de l’aiguille d’inclinaison. Si elle est située successivement dans le plan du méridien magnétique et dans un plan perpendiculaire, et qu’on prenne, comme à Paris,
DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. ia 9
/=22° pour le complément de l’inclinaison magnétique, on aura dans le premier cas
8 = 78, (i + 2 sin.*y) \/ sin.y = (o, 3697)8,, et dans le second,
e =7 e, ( l + tang.’y ) 1/tang.ÿ = (0,3919)8,;
ce qui montre que les oscillations de l’aiguille inclinée diminueront , toutes choses d’ailleurs égalés, moins rapidement que celles de l’aiguille horizontale.
( 53 ) Nous nous sommes bornés à considérer le cas d’une plaque très-mince; mais en terminant ce Mémoire, nous ajouterons qu’on pourrait aussi résoudre l’équation ( a ) du n° 26, dans le cas opposé où l’épaisseur de la plaque serait très-grande, et considérée comme infinie, de même que son étendue dans le sens horizontal. En supposant toujours les centres des forces extérieures situes au-dessus de la plaque, et conservant les notations précédentes, l'équation (i 3 ) du n° 16 sera simplement, dans ce dernier cas,
Q =*/°°/ u -(ë ) rdrdu -
Il suffira donc de connaître la valeur de Celle de l’in¬
tégrale X, contenue dans l’équation (<z), sera donnée par 1,équation (c) en y supprimant . En la substituant dans
cette équation et faisant x—b, on aura, pour déterminer ( S) ’ une équation comprise dans l’équation (J), où l’on pren-
MÉMOIRE SUR LA THEORIE, etc.
dra pour a . Si donc on fait
on en conclura, comme dans le n° 3 i, qu’après un temps très-court, la valeur de sera exprimée par la formule :
\Tx)—JïJ - di - e dz >
pourvu qu’on la développe suivant les puissances de g ", que l’on remplace ensuite leurs exposants par des indices inférieurs , et quon prenne pour g!\g" ,g x ", etc., les valeurs données par ces équations :
etc.,
qui remplacent les équations (g) ou (h) du n° cité. Au lieu de l’équation (Æ),on aura donc, dans le cas d’une plaque trèsépaisse ,
Q=^/ o f o f o ü, rfF (L-g. z) e 2 rdzdrdu;
et en partant de cette expression de Q, on résoudra sans difficulté tous les problèmes relatifs à une aiguille inclinée ou horizontale , dont nous nous sommes occupés dans ce § et dans le précédent.
