A"—B")rsin.MCOS. (nt + v
dans le premier cas, et dans le second :
K^ 3 —B£ 3 )rcos.w 4 -(A'æ 3 —B'6 3 )rsin.usin.(n t+v)
+ (A "a 3 —B"& 3 )rsin. uQos.(ut+ <y)] ;
ou bien en remettant les coordonnées x, y, z, du point M à la place de leurs valeurs :
Q=l|%A-B)*+(A'B') r +(A"-F') z ], Q = T^[.(. Aa '—' Ëb3 ) x + (& a *—'B'b l )y + (A:'a l —'&"b 1 )z}.
Le temps n’entrant pas dans ces formules, il en résulte que, passé les premiers moments de la rotation, dont nous avons fait abstraction, l’action de la sphère tournante sur un point donné sera constante en grandeur et en direction.
De plus, la première valeur de Q étant linéaire par rapport à x, y, z y cela montre que cette action sera la même pour tous les points de l’espace intérieur. Quant aux points extérieurs, les composantes parallèles aux axes des x, y, z f déterminées par les équations ( 3 ), auront pour expressions :
x =-lÿ[^A« 3 -Bè J j - 3 (AV~B'^
Y=—ITT [(AV-B 'b’) (i -iQ 3 (Aa J -B^
Z = “TrT [(A'V-B"i 3 ) (, —~)—3(Aa 3 —Bè 3 )^ 2
Ces forces varieront avec les coordonnées du point M sur lequel elles agissent, suivant les mêmes lois, soit que la sphère creuse soit en repos, ou qu’elle soit en mouvement; et l’on pourra ramener immédiatement le second cas au premier, en changeant convenablement les composantes perpendiculaires à l’axe de rotation, de la force qui produit l’aimantation.
En effet, supposons qu’on arrête le mouvement delà sphère, ou qu’on fasse n = o , et qu’en même temps on substitue des forces m , et m aJ aux forces m' et m" para Hèles aux axes desjet z ; les valeurs de A et B ne seront pas changées, et celles de A', B', A", B", qui se rapportent à ce nouvel état, seront respec-
tivement A-^-, B A — , B—; par conséquent, on aura
3 rn^ 3 m f ocy 3m a a:z~\
Zmr 3 l
4r£(Aa 3 — B£ 3 )
3r*\ 3 mxy 3w,y2l
3 mr 3
4ir*(Aa a — B£ a )
3 z * \ 3 mx z 3 ni t yz 1
3 ni r 3
Or, on fera coïncider ces formules avec les précédentes, en prenant
(Aa>—B£ 3 )^ = AV —B’6% (Aa’—B£’)^=A'V—B"A\
pour déterminer m t et m t ; ou bien, en mettant pour A et B leurs valeurs :
Jc j ( i -f- k t ) (g 3 — b*)a 3 m, (i-i-JcJa 3 —2 k*b 3
celles de A', B', A", B", e'tant toujours tirées des équations (17).
(22) Pour appliquer ces formules à des exemples simples, supposons d’abord la sphère tournante, entièrement pleine. Nous aurons b = o; et les équations (17) donneront
A' = (N' - 4 - q)m' + N m\ A"=(N' + q)m"— Ntt*' ;
d’où l’on conclura, en ayant égard à ce que Jc t représente,
Ce sont les forces parallèles aux axes des y et 2, qu’il faut ajouter à m’ et m pour ramener la sphère tournante au cas où elle serait en repos. Or, on voit quelles équivalent à deux autres forces parallèles au plan des y, z , l’une ayant la même direction que la résultante de m et rri \ et pour
valeur N [/m'-i -ni —^ p autre perpendiculaire à cette résultante
et égale à
N \/rrï'-+. m "'
Si l’on considère la petitesse des
valeurs de x dans les intégrales N et N ', et si la vitesse n n’est pas extrêmement grande, on pourra développer sin./i#
et cos. n x sous les signes J, en séries convergentes suivant les
puissances de nx; et en négligeant le cube et les puissances supérieures, on aura simplement
-n jxf'xdx , N‘ =— ^n l j'x'f'xdx;
DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 5y
où l’on voit que N' sera très-petite par rapport à N, et par conséquent aussi la première force additive relativement à la seconde. Donc, pour ramener une sphère tournante au cas du repos, il suffira d’ajouter aux forces qui produisent son état d’aimantation, une force à très-peu près normale au plan de leur résultante et de l’axe de rotation.
Ce résultat s’accorde avec la proposition que M. P. Barlow a énoncée, et qu’il a conclue de ses expériences sur l’action d’une sphère de fer fondu, de huit pouces anglais de diamètre, à laquelle il avait imprimé une vitesse de rotation de 720 tours par minute (1). Selon cette proposition, la force additive serait exactement normale au plan dont nous parlons ; il en faut donc conclure que malgré la grandeur de la vitesse employée, le rapport de N' à N est encore insensible dans le fer fondu ; ce qui suppose que la décomposition du fluide neutre s’y fait dans un temps x , extrêmement court, et tel que l’arc nx décrit dans ce temps avec une vitesse d’une circonférence par cinquième de seconde, n’a pas néanmoins une grandeur sensible ; circonstance qui n’empêche pas que l’intégrale N n’ait une valeur comparable à la quantité^, à cause que les valeurs variables de fx peuvent être extrêmement grandes par rapport à sa valeur finale (n° 9).
Quant au sens dans lequel la sphère tournante exerce son action, pour le fixer clairement, supposons, avec le même physicien, qu’on ait neutralisé les composantes horizontales m et m' du magnétisme terrestre, au moyen de deux aimants convenablement placés; et considérons cette action sur un
( 1 ) Transactions philosophiques, année i8a5, deuxième partie.
point M appartenant à l’axe des y, Nous aurons alors m — o,
rà'=o,a?=o,:z=b; par conséquent
A'=N/ra", = +
et ensuite
v v rj 4 7ï ^(N / +q)m" a 3
/\. - û • Jl - 3 3 | " 1 0 3 *
7 or or 3
D’après les expériences sur l’action des plaques tournantes, l’intégrale N est positive dans toutes les substances ; la force Y l’est donc aussi, c’est-à-dire qu’elle tendra à éloigner du centre de la sphère, les particules boréales situées du côté des j positives, et à en rapprocher celles qui tombent du côté des y négatives. Si donc on a placé sur l’axe desjr, le point de suspension d’une boussole rendue indifférente au magnétisme terrestre dans les directions horizontales, comme la sphère que noufc considérons, l’action de cette sphère tournante la dirigera suivant cette droite; et son pôle sud, où est concentré le fluide boréal, s’éloignera ou s’approchera de la sphère, selon que l’aiguille sera placée du côté des y positives ou du côté opposé, c’est-à-dire, selon qu’en tournant, la partie supérieure de la sphère s’approchera ou s’éloignera de l’aiguille : résultat entièrement conforme à ce que M. P. Barlovv a trouvé par l’expérience.
Observons encore que si la quantité N' n’est pas absolument nulle, la force Z dépendra de la rotation de la sphère; en sorte que si l’aiguille était équilibrée et parfaitement horizontale avant que le mouvement ait commencé, elle prendra une petite inclinaison due à l’action de la sphère tournante; et la grandeur et le sens de cette inclinaison, s’il est possible de l’observer, feront connaître la grandeur et le signe de N'.
(a 3 ) En faisant n= o, et par suite N=o et N'=o, les formules du n° 21 se rapporteront à 1 action de la sphere en repos, et elles deviendront (1) :
3 m'xy 3w"æz]
3 m xy 3 m"y z ~|
3 mxz ^m r yz~\
iphère est entièrement pleine. Dans le cas contraire
il y faudra remplacer le facteur k x par la quantité :
L’expérience a prouvé que la valeur de k . relative à la matière du fer est très-peu différente de l’unité; doù il résulte que cette quantité est aussi à très-peu près égale a un, excepté lorsque l’épaisseur a — b est nulle ou très-petite. En général, l’action d’une sphère creuse, de fer et en repos, est donc à peu près indépendante de son épaisseur, et égale a celle d une sphère pleine, de la même matière et de même diamètre : ii n 5 y a d’exception que quand l’épaisseur est une certaine fraction du rayon, d’autant plus petite que la différence 1— k , est moins considérable. C’est, en effet, ce que M. P. Barlow
(1) Ces formules sont les mômes que celles du n° 9 de mon second Mémoire sur le magnétisme ; en observant que a, 6, y, sont égaux et de signes contraires à ; remplaçant k par k et faisant attention
qu’ici les forces X, Y, Z, sont censées agir sur une particule boréale, et, dans ce Mémoire, sur une particule australe.
avait conclu de 1 expérience avant que je l’eusse déduit de la théorie dans mon premier Mémoire sur cette matière. Mais on verra tout-a-1 heure que ce résultat singulier ne subsiste plus dans le cas d une sphère en mouvement.
Si Ion place au point M, le point de suspension d’une boussole horizontale, dont la longueur soit très-petite par rapport à sa distance à la sphère, l’action de ce corps sera à peu près la même en tous les points de cette aiguille, qui se dirigera, par conséquent, suivant la résultante de cette action et de celle de la terre. En menant donc, par le point M , un axe parallèle à celui des x positives, et désignant par £ , l’ an gle compris entre cette droite et la partie de l’aiguille qui aboutit à son pôle sud, où est concentré le fluide boréal , nous aurons
tang. £
De même, s’il s’agit d’une aiguille d’inclinaison dont le point de suspension soit placé au point M, dont la longueur soit aussi très-petite par rapport à son éloignement de la sphère, et, enfin, dont le plan dans lequel elle peut tourner, passe Par centre de ce corps, elle se dirigera dans ce plan, suivant la résultante des forces horizontales l/X J +Y 3 et \ et des forces verticales Z et m". Si donc on désigne par y l’angle que fait la partie de cette aiguille qui aboutit au pôle sud, avec la verticale tirée de bas en haut par son point de suspension, on aura
tang. © =
On rendra ces formules plus exactes, en leur faisant subir
DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 6t
des corrections relatives, soit aux longueurs des aiguilles, soit à leur action sur la sphère.
En désignant par l la demi-longueur de la première aiguille, et supposant qu’elle soit maintenue horizontale malgré l’action de la sphère,' z sera l’ordonnée verticale commune à tousses points, et #±Zcos.e,j±/sin.e, les coordonnées horizontales de ses deux pôles. On aura donc les composantes horizontales de l’action de la sphère en chacun de ces deux points, en substituant ces coordonnées à la placede x ety dans les expressions de X et Y. Nous prendrons ensuite pour ces forces les demi-sommes des valeurs relatives aux deux extrémités de l’aiguille ; et en négligeant les puissances de l supérieures au cube, ces valeurs moyennes seront
i fd' X . a- a. 7, . a* 2L , .
cos * £ + 2 ~rzzn .* sin.ecos.e+^5—-/’sin
dxdy d'Y
dy
d'Y Jt d'Y 7l . d"
JT ' 1 C0S ' e+2 ^^ sin -‘ cos ' e + Tÿ
/’sin
qu’il faudra mettre au lieu de X et Y dans l’expression de tang. e. Soit aussi V la demi-longueur de l’aiguille d’inclinaison, u la distance de son point de suspension à l’axe des z, \ l’azimut de son plan, en sorte qu’on ait
x—ucos.l, j=wsin.X;
désignons par U la force horizontale \/ÇL -h m)' +(Y + m’f ; on trouvera, en négligeant la quatrième puissance de que les forces Z et U doivent être remplacées dans tang. <p par
rj i /«* Z i, . d* Z j, . d % Li 7 , \
Z + cos - f +2 dJdH l sin ? cos •?+ sin.’yj,
ii , * f d * U j, d' U ,, . d 'U j, \
cos - s> n ?cos. ? + 7i:r /-sin.^
Appelons \k la quantité de fluide boréal, réunie au pôle sud de la première aiguille. Les composantes suivant les axes des#, jr, z, de l’action de ce pôle sur une particule boréale située au centre de la sphère, seront respectivement:
[ * ( X +1 cos. e) fx(jr+/sin.6) ^ z
en faisant, pour abréger,
p i = r*— 2.x /cos. e — 2yls\n. e 4-
On en déduira l’action du pôle nord, en y changeant les signes de et l. Nous supposerons le rayon de la sphère assez petit par rapport à l’éloignement de l’aiguille, pour qu’on puisse regarder l’action de chaque pôle comme constante dans toute son étendue, et la même pour tous ses points, que celle qui a lieu sur son centre. Il faudra alors ajouter aux composantes m, l’action de la terre, la somme
des composantes suivant chaque axe, provenant de l’action des deux pôles; et en négligeant le cube de l, on voit que les quantités m , m\ m'\ comprises dans les expressions de X et Y, devront être diminuées respectivement de
avant de substituer ces deux forces dans tang.e. On verra de même qu’avant de substituer les forces Z et U dans tang. 9 , il faudra diminuer les quantités m, m\ contenues dans
leurs expressions, de
apt//' r ■ 3-r (arcos.Xsin. ç -|- /sin. Xsin.Ç.-hscos. <p)l
-y cos.Xsin.9 H ---—-J >
oil'I'?. . 3 r tecos.Xsin.ç -hjsin.Xsin.cp H-£cos.<p )1
~£— sin.X sin. <p H ---p-J »
ou//' r 3 2 ('arcos.'Xsin. ç 4 -r s * n -^ s * n ? + z cos -?)l .
-p- [ cos * ? +- 7 ~ J ’
jx.' étant la quantité de fluide boréal, réunie au pôle sud de l’aiguille d’inclinaison. On déterminera, comme on sait, les valeurs de {i .l et ^ 1 que ces formules renferment, d’après les durées des oscillations des deux aiguilles, soumises a la seule action du magnétisme terrestre.
En ayant égard à ces diverses corrections, on pourra calculer avec une grande précision , les déviations d’une boussole horizontale et d’une aiguille d’inclinaison, dues à l’action d’une sphère en repos, aimantée par 1 influence de la terre, pourvu que les aiguilles ne soient pas très-rapprochées de la surface de ce corps. Une seule déviation observée suffira pour déterminer la valeur de la constante À*,, relative à la matière dont il est formé, et à son degré de chaleur.
Dans le cas d’une sphère en mouvement, il suffira, comme on l’a vu plus haut, de remplacer dans toutes ces formules, m’ etm" par m t et que l’on regardera comme des quantités inconnues, à raison désintégrâtes N et N quelles contiennent dans leurs expressions, et dont on déterminera, au moyen de deux déviations observées, les valeurs relatives à la matière et à la vitesse de la sphère tournante. Les valeurs de m l et m x feront connaître celles de N et N' qui répondent
a la même matière et la même vitesse; et tant que ni l’une ni l’autré ne changeront, on emploiera les mêmes valeurs de N et N , pour calculer, au moyen des formules precedentes , les déviations dues à des sphères d’un diamètre et dune épaisseur quelconques, et dans telles positions qu’on voudra de 1 aiguille aimantée. Lorsque la vitesse de rotation changera, on observera qu’en réduisant chacune des intégrales N et N' au premier terme de son développement, l’une est proportionnelle à la première puissance de cette vitesse, et 1 autre a son carre (n° 22), en sorte que leurs valeurs seront connues pour une rotation quelconque , quand elles auront été déterminées pour une vitesse particulière. Mais si l’on veut conserver plusieurs termes dans les développements de N et N', il sera toujours possible de déterminer leurs coefficients au moyen d’un pareil nombre de déviations observées, et correspondantes à des vitesses de rotation différentes. Tous ces calculs n’auront de difficulté que leur longueur ; et l’on pourra leur donner une précision au moins égale à celle que l’on peut attendre des observations.
(a 4 ) Il suffira d’un exemple particulier pour montrer que l’action d’une sphère tournante, dont le fer est la matière, n’est pas la même,comme celle d’une sphère immobile, quand elle est entièrement pleine, ou quelle renferme un espace vide dans son intérieur. Nous choisirons pour cela l’exemple dont le calcul est le plus facile, et, d%s cette vue, nous supposerons quon ait Nous ferons £,= 1 9 et nous néglige-
N'. On a, dans cette hypothèse,
rons
et en résolvant les équations (17), on trouve*
4^* A' *»'(3ir —p*)+A”i"p
où l’on a fait, pour abréger,
4tc£
Au moyen de ces valeurs, les formules du n° 21 deviennent
x = x --i^+F) [( m 'P - 3to ") ¥ : +> + 3 »')^],
Y=Y ' + ^( 3 +^) [( ra > — 3 "»")(«—^-) — 3 ( w > + 3to ') 7 ?] -
X t , Y,, Z„ étant les valeurs de X, Y, Z, qui auraient lieu dans le cas de la sphère immobile.
Maintenant supposons que la sphère soit entièrement pleine, son rayon a , la matière dont elle est formée et sa vitesse, restant les mêmes, et par conséquent aussi la quantité p. On aura toujours
En faisant b = o dans les équations (17), et observant qu’on
suppose k z = i* et N' = o,on en déduit
“Y A —ra , ^—À = m —pm'\
les formules du n°2i deviendront donc
v v jjT 1 •
