DÉDUITE DU MOUVEMENT D'UN SYSTÈME INVARIABLE
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La théorie de la déformation des surfaces réglées a été donnée par Minding et MM. Ossian Bonnet et Bour.
En partant de considérations complétement différentes, j'ai réussi à établir une nouvelle théorie.
Voici l’idée que j'ai développée :
Quand un système invariable est en mouvement, sous certaines conditions, il y a à chaque instant une suite de points dont la vitesse est nulle. Le lieu de ces points est une ligne droite, qu’on appelle axe instantané; les lieux de ces axes, dans l’espace fixe et dans le système mobile, forment deux surfaces réglées, applicables l’une sur l’autre, sans extension ni déchirure.
L'histoire de l'axe instantané a été faite par M. Chasles, avec une précision frappante, dans un beau Mémoire inséré dans les Comptes rendus de l’Academie, t. LI et LIL: je n’ai donc rien à dire sur cette partie. Mais en ce qui concerne l'importance du sujet, on me permettra de citer les lignes par lesquelles ce beau Mémoire se termine :
Je reviendrai dans d'autres communications sur ces matières, susceptibles d'applications nombreuses, même dans la théorie des courbes et des surfaces. el qui me paraissent devoir prendre un jour de l'importance dans la Géométrie générale. à bn Re
Je suis heureux d’avoir pu réaliser en partie les prévisions de l’illustre Géomètre.
Considérons un système d’axes rectangulaires en mouvement, et soient :
a, a’, a”,b,.., les cosinus des angles que font ces axes avec des axes fixes arbitrairement choisis! ;
£, n, &, les coordonnées de l’origine mobile relativement aux axes fixes :
(x, 715), (æyz), les coordonnées d’un point quelconque ; nous aurons à
chaque instant x=Ët+ra+ymb +zc,
(1) Fy=n+ad +yb +zc, z=6+aa+yb"+z,c!
Les cosinus @&, b,... vérifient, comme on sait, les relations suivantes
a+at+at=1:, a+ ab! +a"6"—=0, (2) bæbr+b"—=1, bc+bc +b"c"—0, c+c?+c=1, Céa+c'# +c'a =0o.
Les points dont les déplacements sont nuls à chaque instant sont donnés par les équations
DEAR de ni de + 2 de
d0 ! db ‘ dû ‘ 40 4 dn da! db' dc’ (3) 20 SD No PQ dû da’ db! dc”
Do 00 Ne + Te —
8 est une variable indépendante dont nous préciserons plus tard la signification.
Les équations (2) donnent ad + bb +ec —o, ad'a"+ b'b"+c'c"—0,
+ aa +b'b+c"c—o, et en différentiant,
Le ue SU Re d d0 d0 d9 dO d0
SE LA 3 LR es a ER *'LAS vs d0 dO d0 Fo d0 do 4 a da j CLS dc” , da db' dc
c! = EE Ty À Dane 7
QE EG NC ES Qu
(49 ) En ayant égard à ces équations on trouve aisément
a b C da dé de 0 WE dô dû db ra à (EURE A da’ db" de’ = Ke — d0 dû dd SUR Dr ADD LES 0:
a”! b’ ce’ da” db” de” : — ( [0] d0 d0 do | d'
mais on sait que
Dec (4) PIB CRE EE a! b’ c’ donc da db de d0 d0 dô da db! dc!
da’ db’ dc’ dû dû d6
Cette dernière équation fait voir que les équations (3) ne sont compatibles qu’autant que l’on a
: dE dn de (6) CSP De LCOSRE EE Gusy ee 6,
COS À, COSp., COsy étant proportionnels aux coefficients des éléments d’une même ligne verticale dans le développement du déterminant (5). On s’assurera aisément que À, p, v représentent les angles de l’axe instantané avec les axes fixes. L’équation (6) exprime donc que le déplacement de l’origine, ou d’un point quelconque du système en mouvement, doit être perpendiculaire à l'axe instantané.
Multiplions les équations (3) par a, a’, a”, et ajoutons : il vient dé db:S 208 460 2 db A TT + da do sd TER
de . der ae’. da , da! RUE + 2: ET da T)+2 (a+ a RP AA )=0:
les équations (2) donnent
HS NES UNS PRIT T Re Ts d0 d0 d0 d0 d0 d0 nd à op lee lot ee 5788 ART ha ce LUE LS dO d0 d0 dO d0 d6 à da ae da! Lbr da” F: de a de! » dc” 27 (7) d0 d0 d0 d0 d0 6) de 4 DER ER d0 dO de 6 db db' db" b T0 br HE" a 0, | ae RE EUR At ES d0 dO d0
L'équation précédente se mettra donc sous la forme
Gi Lu AP RER, 4 — 0) do dû PF EP Et) Cire
Désignons par R la distance de l'origine (Eng) à l'axe instantané, par &,, f5, 7: les angles que fait avec les axes mobiles la direction de son déplacement, et posons
(8) d=prger,
on aura, comme on sait,
dE , dn UC a ta ST Ie Re Aro
dé , dn HÉOLOS dE dn dé
f LÉCrOPE | ES LE AT (er PAR Tone 75 — CR COSY»
OR cosB,,
et l’équation précédente se mettra sous la forme
QR COS + Fi — 42 — 9; de même on aura à QR cosfi + pz — rx —0,
QR cos y: + qæi— pYi= 0.
Si l’on remplace à ces équations &,,ÿ,,3, par leurs valeurs en fonction de
(51) æyz, tirées des équations (1), on aura les équations de l'axe instantané par rapport aux axes fixes. Il vient
| OR cosa +r[b( (x—E)+b'(y—n)+b"(3—6)] —qie(x —E)+c(yr—n+c"(z—E6)]=0, OR cos Bi + p[c(x —E)+ c'(y—n) +e”(z—6)] (40/ — r[a(x—Ë)+a (y n)+a"(z2—6)]—=0, OR cos y + qgla(x —EË)+ a'(y—n)+a(2—6)] pit CAN De eh 0.
Désignons par &, B, y les angles du déplacement de l’origine avec les axes fixes, nous aurons
cosa — a COS a, + b cos, + c cosy:, (12) cos 8 — a’ cosa, + b' cosB, + c’ cos y:,
cos y — a” cos a + b”cosB, + c’ cosy.
Multipliant maintenant les équations (10) par a, b, c, et RRELTE il vient, après quelques simplifications évidentes,
RQ cosa + (2 — &)(pa' + qb'+rc')—(y—n)(pa"+qb"+rc")—= 0 RO cosB+(x—{C)(pa +qb + re )—(z —6)(pa + qb'+ re )— 0, RQ cosy +(y7—n)(pa”+ qb’+ rc") — (x —E)(pa + gb +re }—=o
Quuv) (A pv.) étant les angles que l’axe instantané fait avec les axes fixes et
mobiles, on à Qcosk=p, QcosÀ— ap +bq +er, Qcosm=g, Qcosu—ap+bq+c'r, Qcosv.=r, Qcos y —=a"p+b'q+ cr.
Remplaçant ces valeurs dans les équations de l’axe instantané, on les mettra sous la forme définitive que voici :
R cos a; + COS Yi — COS pu Zi — 0, (Zn) R cosf + cos À, — COST — 0, R COS y: + COS pu X, — COS À Vi 0.
Rcosa+(y —n)cosy — (z—C)cosup = o, (2) RcosB + (3 —E)cosA— (x —EË)cos v —0, R cos y +(æ —Ë)cosu —(y—n)cos À = 0.
Les trois premières se rapportent à la surface lieu des axes ; instantanés dans le système mobile, et les trois suivantes à la surface fixe.
(52) Pour abréger le langage nous dirons souvent la surface (3,,) ou (3) pour indiquer la surface représentée par les équations précédentes. rot On peut remarquer que les 1 tie (2») représentent une surface gauche quelconque, et toutes les fois qu’on aura en fonction d’une variable indépen-
dante les valeurs de cos}, cosp,.…cosæ,.….R, on pourra mettre les équations de la surface sous cette forme symétrique.
