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(43) Il s’ : . R R’ , S ensuIl que SI N est constant, N sera aussi constant, et ces deux rapports sont évidemment les mêmes que le rapport F — const. Les méridiennes
cherchées jouissent donc de la propriété suivante. Si l’on fait rouler une courbe, pour laquelle on a
R; — —= const.,
sur une ligne droite, l'enveloppe de son axe ou de sa directrice sera une courbe pour laquelle on aura
R, — Const. a me
D’après cela, l'enveloppe de la directrice d’une parabole est une chainette,
la directrice d’une chaïnette enveloppera un point, le point donnera un
cercle, un diamètre du cercle enveloppera une cycloïde, et ainsi de suite. Lignes géodésiques. — Leur équation générale est
dl d6, —=10:
Elle exprime que si l’on développe sur un plan la développable circonscrite suivant une ligne géodésique, cette ligne se transformera après le dévelop pement à une ligne droite. En effet, soit AB (fig. 7) la transformée de l'a-
Fig. 7.
rête de rebroussement, FG la transformée de la ligne géodésique : le triangle GDE donne |
I+ dI1+ d6, =1I, ou
Il y a une classe de surfaces pour lesquelles l'équation des lignes géodésiques se met sous une forme qui pourrait être utile dans certaines cireonstances; les deux systèmes (S), (S,) des lignes de courbure de ces surfaces sont planes, et les plans de l’un des systèmes (S,) sont parallèles ( /g. 8 ).
Fig. 8.
fs} PF
: | A he A
Désignons par À l’angle qu'une ligne quelconque CD tracée sur la surface fait avec les lignes (S,); par B, £, B” les angles que fait avec les axes la tangente à CD au point M, et par 7, y, y’ les angles de la tangente MT avec les mêmes axes; nous aurons
cosy” —0o, cos8 cosy + cosB’cosy — cosA.
L’axe de z est supposé perpendiculaire aux plans des lignes (S, ). Différentions la seconde des équations précédentes; il vient
(w) cosBdcosy+cos£’ dcosy'+ cosy dcosB + cosy’ dcosB— — sin A YA. On démontrera sans la moindre difficulté les équations suivantes :
cosB dcosy + cosB' dcosy —sinA cosuda, cosy dcosB + cosy’ dcosB’ —sinA sinodr;
da est l'angle de deux tangentes voisines analogues à MT, da est l'angle de contingence de la courbe CD, x est l’angle que fait le plan tangent au point M avec le plan des (xy); enfin + est l’angle du rayon de courbure avec la normale à la surface au point M. L’équation (w) prend la forme
et pour les lignes géodésiques
à dax dA COSU TE +
Cette équation s'intègre dans le cas us surfaces de révolution : l'intégrale a été donnée par Clairaut.
Vu et approuvé. |; - Le 26 novembre 1864.
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