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(53) et de même

b dcosÀ b dcosps un deosy dcosu,

k& aan de. CSST CRE dcosA ,dcosu ,dcosy dcosy, DNS MA NUIT db

Ajoutant ces équations, après les avoir carrées, on obtient (14) d'cosk + d cosu? + d cosy? = d cos}? + dcos ui+ d'cosv?— de.

On voit que l’angle de deux génératrices voisines de la surface (2) est égal à l'angle de deux génératrices voisines de la surface (2;). C'est cet angle infiniment petit que je choisis pour variable indépendante, et je la conserverai jusqu'à la fin.

La perpendiculaire commune à deux génératrices voisines de la surface(>;) fait avec les axes fixes des angles dont les cosinus sont

d cosy dcosp COS} — cos pr T0 40 ”?

4 AE dcosà 1 20057 GR SN do ?

en OUT dcosu. dcosÀ RSS do do . de même, en désignant par À°,n°,v° les angles de cette droite avec les axes 4 mobiles, on aura | [ à dcosy, dcosp.

COS Àf — COS me or Lee 3 (15) COSU? — COS ee — OS EEE F dcosu: dcosx.

CES — = COSy? — COS À To COS — T7

Les quantités Le sont les cosinus des angles que fait la normale aux

deux surfaces au point central ; on a en effet

, dCosÀ , dos dcosn cosÀ! go +Cosu T0 “Gone == 0 d cos, dcosp dcos y,

cos À qu ecosunes res D PET OX OR TES

(54) Multiplions maintenant les équations (15) par a, b,c et ajoutons, il viendra

; dcosi 7 COM Ut deostu acosÀ° + bcosu? + ccosy! = | cos To b d'cosr, cos» T0 c RE DE dcosÀ , dcosu , 4 COS :

aCoSÀ + a COSu + 4 COSYy, AE do do , ; : deosÀ , dcosu , cosy — | bcosÀ+ b'cosu + b”cosy, Er (tee 76 ra re b n ; < ,dcosi dcos tr y, dcosy cCOSÀ + c'COSu + c'COSY, CT TEE dé ( Dim Lg COS COS COS»

ALU dcosA dcosu dcosy ak bise D eut a: b"54e K K, K;

Les quantités K, K,, K, vérifient les équations

aK + a’ K,+a’K;:—a, bK + D'K, + L'K;— b, cK+c'K, +c’K:—c; d’où K—1:, K;=0, K:—0; donc COSÀ COSp COSy dcos] dcosu dcosr d6 46-1000

acos}t + bcosu! + ccosvi —

dcosy cos ue Ë — Cou ge COSU TS == COS À =

Un calcul analogue à celui que je viens de faire donnera

VE 0 (4 0 NA H6) | cosu—a cos À? + b' cos ui + c’ COS v', | cosy = «”/cosà° + b'cosui + c”’cos vf.

(55) Posons maintenant Et — cosM’, 2e — cosM\, ARE — cos N°, ses ÆCOBN};,

les équations (12), (13), (16) se transforment évidemment aux suivantes :

| a —=cosÀcos À + cos L' cos L° + cos À° cos À’,

b — cosà cosu. + cos L' cos M} + cos À COS,

e —= cos À cosv, + cos L° cos N° + cos À cosv{,

a! = cosp.cos À, + cos M° cos L? + cosu°cos À?,

(17) b' — cosp.cosp.+ cos M° cos M} + cosu°cosu, c' — cos.cos », + cos M? cos N° + cos u°cos v;,

1 — cos y cosÀ, + cos N° cos L? + cos y’ cos À,

b'— cosy cosp. + cos N° cos M? + cos » cosu",

| c"— cosy cos », + cos N° cos N° + cos » cos 1.

Différentions les trois équations (16), il vient dcos X = a dcosà°+b dcosu? + e dcos y} + cos da + cosu: db + cos y! de,

1 d cosp= a’ d cos \f + b'dcospi+ c'd cos vi + cos À? da’ + cosu? db' + cos y! dc", d cos v= a”d cos X° + b’dcosp + c'd cos v} + cos}! da” + cos ui db” + cos y} de”.

Multipliant par a, a’, a”, et ajoutant, il vient

D. d'cosk + (rcosui— q cosvi)d6,

4 ad cos + a’ d cos p° + a” d cos — d cosA?+(cos mi cosy, —cosv!cosm)Q 6, ”

. d cosÀ + Q dcosÀ.

L On aura encore deux équations que voici :

bd cosk + bd cosu+ bd cosy = dcosp;EQd cosy, ed cos} + c'd cosu°+ c”d cosw= d cos vi + Qd cosy, ;

élevant au carré ces équations et ajoutant, on trouve

(dy —(d9°?+ (Qd0ÿ +20 (dcosyuid cos pi+ d cos}? d cosÀ, + d cosy; d cosy:).

Nous ayons posé (d cos} } + (d cosut} + (d cosy} — (d®), (dcosX}+ (dcosu?} + (d cosy°}— (46°.

On comprend que d0°, 46° représentent les angles des génératrices voisines des deux surfaces réciproques de (2m) et (3). Mais nous avons démontré dans le Mémoire précédent que

d.cosX; dcosh + d cos p° d'cos b—+ d'cos y? dcosy = d6° dr, donc

c’est l'équation que je devais établir.

J’observe que Q n’entre dans la question que comme une constante arbitraire; en effet, AVE équivaut à pdp + pdq + rdr —0,

et cette relation exprime que l’axe instantané est à chaque instant perpendiculaire à la normale au point central de la surface (3, ); par conséquent, elle ne peut pas être considérée comme une condition distincte. L’équation (18) nous sera fort utile dans la suite. Elle exprime qu'il est possible de choisir à volonté le cône directeur dé la surface déformée (Bou) Je passe aux éléments p, q, r,.…, a, b,c,.…… Je différentie les équations (>) : il vient

Ce ee D , ®b" dbda db'da db” da” dr PART Pod en fe ge ca de à 16°

b d’e he dc d?c" dbde db'dc' db”dc’ > 45

EAU ADS D dt AU TT QE =) ça, da L çn al, dade … da'de' L da’ de” dq.

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