AT AC

il vient dR cosa— adR cos a; + bd R cosB, + cd R cos y, + R cos « da + Rcosf,db+Rcosy:de,

dR cosB— a dR cosa, + b'dR cosB, + c'dR cosy, +R cos & da’ + Rcos£; db + R cosy: dc’,

dR cosy = a”dR cosa, + b’dR cosB, + c'AR cosy, + R cos a, da” + RcosB,db"—+ R cosy, dc”.

Multipliant respectivement par a, a', a” et ajoutant,

adR cos « + a'dR cos6 + a’dR cosy — dR cos + R cos, (adb + a'db'+ «"db”")+R cosy, (adc + a’ dc! + a”de”) = dR cos, + (cosB, cosy, — cos y; cosu:) RO dE,

et de même

bdR cosa + b'dR cosB + b’dR cosy = dR cosB.+ (cosy: cosÀ — cos cosy.) RO dO, cdR cosa+ c'dR cosB + c’dR cosy = dRcosy, +(cosacosu— cosBcosA)RO 6.

Multipliant les trois dernières par &, b, c et ajoutant, on trouvera, par un artifice que nous avons fait plusieurs fois,

T:= adR cosa + bdR cos6,+cdR cos y, = dR cosa—(cosB cosy —cosycos u)QRd6.

Assemblons tous les termes que nous venons de trouver, il vient

dR cos « — {cos 8 cosy — cos y cosu) ROdO +(y—n)dcosy —(z—6) dcosu = cosp(a’dX,+ b'dY, + c’dZ;) — cosv (a dX, + b'd'Y;+ c'dZ,).

Or on a

dn =RQ cosGd0, dé=RQ cosyd8, donc cos y dn — cos pu dé —(cos y cos 6 — cosucos y) RO dO,

et l'équation ci-dessus se met sous la forme

dR cos «— cosvdn+cosudé+(n—y)dcosy—(£—z)dcosu — cos u(a’dX;+ b'dY + c'dZ;)— cosy (a dX; + b'AY + c'dZ,).

On aura également S

dRcosB— cos dé + cosydE+(E—z)dcosÀ—(E — x)dcos» — cosy(adX,+ bdY, + cdZ,;) — cos À (a’dX,+ b'dY,+ c'dZ:),

dR cos y — cos dE — cos kdn +(EË—x)dcosÀ—(n—7y)d cos À — cos À(a'dX,+ b'dY,+ c'dZ,) — cos p(adX,+ bdY, + ca).

De ces trois équations et des équations (23;), je tire les trois suivantes :

cosydY—cosudZ=cosy(a'dX,+b'dY;+c'dZ;)—cosp(a"dX;+b"dY;+c"d2;), (38){ cosAdZ—cosydX=cos}(a’dX;,+b"dY,+c"d7,)—cosy(adX;, +bdY,+ cd2Z,), cosudX—cosdY=—cosu{adX, + bdY;+ cdZ,)—cosA(a' dX,+b'dY,+c'd2;);

elles prouvent que les deux équations (34) et (35) ne représentent qu'un plan, et que, par conséquent, les deux surfaces (3;) et (3,) se touchent à chaque instant tout le long de la génératrice commune.

Désignant par L, M, N, L,, M,, N,, les cosinus des angles que font les normales aux surfaces (2;) et (3,,) au point considéré, avec les axes respectifs, on aura

/ ds sin® cos L —cosydY— cos .dZ, ds sino cos M— cosAdZ — cosydX, ds sino cos N — cosudX— cos AdY,

(39) ds, sin o, cos L — cos y(a' dX,+b'dY,+c'dZ,)— cosu(a"dX,+ b"dY,+c"dZ,),

ds, sin @, cos M — cos? (a”dX,+b"dY,+c"dZ,)—cosy (adX,+ bdY,+ cdZ;), | ds, sine, cos N =cosu(adX, +bdY, +cdZ,) — eosà (a dX,+b'dY,+c'a7,),

d’où (40) ds sin o — ds, sinv,, et si de plus