DUT
c’est-à-dire si l’on rapporte les surfaces (2;) et (Z,,) au même système des coordonnées, on aura ds = d5s;;
il s'ensuit que les surfaces en question s'appliquent l’une sur l’autre sans extension ni rétrécissement.
On aurait pu démontrer ce théorème dès le commencement, mais en
(67) entrant ensuite dans les détails on serait obligé d'établir toutes les formules qui précèdent; voici la démonstration indépendante de ces formules :
Considérons un mouvement régi par l'équation (6). Soient À, A4, deux génératrices voisines sur la surface mobile, et y, Aj leurs correspondantes sur la surface fixe.
[y a eu un moment où la génératrice À, a coincidé avec la génératrice A}, et la surface X,, a tourné autour de (A,,, À); immédiatement après ce moment, la génératrice A}, a coincidé avec la génératrice A}, et la surface (3,,) a tourné autour de (A! A); mais pour qu'elle commence à tourner autour de (An, A), il faut qu'elle cesse de tourner autour de (A,,, À); il s'ensuit qu'à l'instant compris entre les deux rotations les génératrices A,, A» coincidaient exactement avec les génératrices A, Af; on déduit de là : |
1° Que l'angle de deux génératrices infiniment voisines de la surface est égal à l'angle de deux génératrices correspondantes de la surface >;
2° Que les plus courtes distances de ces génératrices sont égales, et il en est de même de deux surfaces réciproques ;
3° Que les surfaces 27, 2, 8e touchent à chaque instant tout le long d’une même génératrice ; 4° Que ces surfaces s’appliquent l’une sur l’autre.
Je vais démontrer encore que les valeurs de (æ, y, z), (x,, y,, 2,), qui vérifient l'équation
dx'+ dy + dz'= dx? + dy!+ dz!,
vérifient aussi les équations (r) quand l'équation (6) existe. En effet, différentions les équations (1), il vient
dx = dé + adx, + bdy; + cdz, + xida + y, db + zde, dy = d'n + a'dx; + b'dy,+ c'dz, + x, da + y,db' + z,de", dz = dé + a"dx;+ b'dy,+ c'dz,+ xida" + y,db" + z,de”.
Mulüpliant par cos), cos, cos y, ajoutant et ayant égard aux équations (6), (12), (33), on trouve
cos dx + cos pdy + cosydz = (a cos À + a cosu + 4” cos y) dæ,
+(b cos + b'cos + b' cos y) dy+(e cos À + c' cos p + c” cos v) dz; = COS v, dx, + cos p dyi + cos v,dz;; de là | | ds cos @ = ds,cos p,, donc, etc.
On voit, d'après ce qui précède, quels sont les éléments qui varient pendant la déformation.
Une surface réglée est complétement déterminée quand on connait :
1° La plus courte distance da, des génératrices voisines;
2° Leur angle d0;
3 Les éléments analogues d0°, dax de sa surface réciproque.
En effet, prenons un point O sur une droite A, par ce point élevons une perpendiculaire sur À, et prenons sur cette perpendiculaire une longueur 00,= da,; par le point O, menons une droite A, faisant un angle dô avec À, et par le même point prenons sur A, une distance 0,0, égale à du; menons enfin O,K perpendiculaire à 0,0, et faisant un angle d9® avec 00; en continuant ainsi de proche en proche, on construira toute la surface, mais si un des quatre éléments que nous avons mentionnés était inconnu, la construction précédente ne pourrait pas se faire, et la surface serait indéterminée.
Des éléments da, da,, d9, 40°, les trois premiers restent invariables pendant la déformation; le quatrième, en ayant égard à ce que nous avons dit sur l'équation (18), reste complétement indéterminé.
La marche à suivre, pour déterminer une surface réglée applicable à une surface réglée donnée, est, d’après ce qui précède, évidente.
Supposons qu'on se donne la surface fixe, on aura par cela même Îles cosinus cos À, cos 4, cos en fonction de 8; on se donnera ensuite arbitrairement C0s À, COSU,, cos v,, et au moyen des simples différentiations on déterminera cos}, cos L°..., cos À°..., cosu®...; remplaçant ces valeurs dans les équations (17), on aura a, b, e,.… en fonction de; la surface fixe fera encore connaître cos &, cos B, cos y, et par conséquent cos &,, cos f,, cos 74. Ayant toutes ces valeurs, on peut procéder à l'intégration des équations (6), (9); ces équations, en éliminant R, donnent
DÉIREUN eodé Cosæ CosB cosy cos À dE + cos udn + cos y dë — 0.
Après avoir déterminé £, n, 6 en fonction de 9, on remplacera a, b, c,.., æ, y, 2, €, n, & dans les équations (1) ou dans les équations (3,), et l'on aura ainsi les équations de la surface cherchée; si l’on remplace dans (2,), il faut déterminer d'avance R; voici sa valeur :
dE? dr df:
2 de Rg ” dë6f Gis
am | dé
( 69 ) Ligne de striction, surface réciproque de (5,,). — L'équation
(R cos «+ z, cos Lu 9,008 ») cos A+ (R cos B, + x, cos v,— 2, cos À) cos tn
+ (R cos y. + yicos À — x, c0s y) cos y! = o
représente le plan tangent au point central O de la surface (3,,). On s’assurera aussi aisément que l'équation
(dR cosB,+ x, d cosy, — z,d cosA,) cosu? + (dR cosa + z,dcospi—y,dcosy,) cos!
+ (dR cosy. + ydcosÀ— xd cosu)cosyi= 0
représente un plan passant par le point central O et perpendiculaire à Ja génératrice; ces deux équations représentent, par conséquent, la ligne sur laquelle se mesure la plus courte distance de deux génératrices voisines, c'est-à-dire la surface réciproque. Si l’on joint à ces équations les (5,,), on aura la ligne de striction de la surface (3,,).
Contour apparent de la surface (3,,) relativement à l'origine mobile, — Multiplions les équations (3,) par æ,,y,, 3, et ajoutons,. il vient
æ\ COS œi + Yi COS: + 3, COS y, = 0,
Cette équation représente un plan passant par l'origine et l'axe instantané; l'enveloppe de ce plan sera le cône circonserit à la surface (Z,); on a ainsi
x, dcosa + id cos + zdcosyi= 0.
En éliminant 8 entre les deux dernières équations, on aura l'équation du cône circonscrit ; elle représentera aussi le contour apparent.
Nous allons appliquer les résultats précédents à quelques cas simples.
Et d’abord cherchons la surface à plan directeur applicable à l’hyperboloide de révolution. Cet exemple a été déjà donné par M. Ossian Bonnet, et je ne l'aurais pas donné de nouveau, s’il n’était pas susceptible d’une géné ralisation. #
Les équations de la surface sont
æ, = R cos y — vsin 9 sin v, 7 = R sin v+wvsin 9 cos v, Zi + V.CUS 0
R est le rayon du cercle de gorge et + l’angle constant des génératrices
rectilignes avec l’axe de l’hyperboloïde. De ces équations, on tire
cosk ——sinpsinv, cos Li = —cosu, cos À! = cos 9 sin u,
COS fu — Sin pCOSv, cos M}=——sinu, cosp}—— cos cos v. COS y, — COSY, rosN= dE cos y! — sin 9, d®— 0, dO—sinpdu, d60=cose du,
et pour la surface cherchée,
EE
cos À = cos{vsine), cos} —o, cos L'— — sin(usino), cosu— sin(using), cosu—o, cosM— cos(u sine), COS y = 0, cos = +, COS N?—= 0: Re:
Les valeurs de a, b, c,.…, se calculent sans la moindre difficulté : on trouve
: ET” 4 ; e: st cad . : 203 "1 . * ü ; & —— sin 9 sin y cos (v sin 9) + cos v sin (v sin @), b — sin cos cos (v sin ©) + sin v sin (v sin 9), j cz :cospcos(vsinop), … 4 n h
a = —sin 9 sin v sin (v sin p)— cos v cos(v sin®), <a oo b=. Hs deu Ant sie v cos (v sin ®), | 4 fe (pit HSADT pi jus +9 AUS
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In l’hyperboloïde, décrit une ligne droite. Les équations de la surface cherchée sont 3—=tangp——R0O+(,, R+(x+A)sin0—(y—B)cos0.
On reconnait sans peine que toutes les génératrices touchent un cylindre de révolution; la courbe de contact ou la ligne de striction de la surface est donnée par les équations
æ=—Rsin0+A,
yY= Rcos0 +B,
jus Rouge tang ©
Voici maintenant la généralisation dont j'ai parlé plus haut.
Considérons un cylindre droit (P) (Æg. 1) à section orthogonale quelconque (S), et traçons sur ce cylindre une hélice AB, faisant un angle g=mm,pavec les génératrices rectilignes.
La surface réglée à plan directeur, dont les génératrices perpendiculaires aux génératrices du cylindre la touchent suivant l’hélice AB, est applicable sur la surface gauche dont les génératrices touchent le cylindre suivant une section orthogonale (S) et font un angle + avec ses génératrices droites. Pour le démontrer, partageons l’hélice AB et la section orthogonale S en
parties égales, Mhis ==. , = MM, —=.;.=4ds,
et menons par tous les points #m,,..., MM,,.... les génératrices de deux surfaces dont 1l vient d’être question: il est évident que la plus courte distance de deux génératrices voisines de la surface gauche qui touchent le cylindre (S) suivant est
M% = ds cos o ;
l'élément analogue pour l’autre surface sera aussi
m, p = ds cos ©.
La plus courte distance des génératrices de leurs réciproques seront, pour la première surface, Mk — dssino,
et pour la seconde également mp = ds sin ©.
Il reste à démontrer que les angles des génératrices voisines, pris respectivement dans l’une et dans l’autre surface, sont égaux.
Appelons p le rayon de courbure de la section orthogonale (S); il est évident que l'angle des génératrices voisines dans la surface qui touche le cylindre suivant l’hélice, est d0 = cs :
Or, si l’on mène par le point R, intersection de deux tangentes, aux points M, M, de la section orthogonale (S), deux droites parallèles aux deux génératrices MN, M,N, de la première surface, on verra, sans difficulté, que leur
angle est également
FLE
Il s'ensuit que les deux surfaces dont nous parlons s'appliquent dans toutes leurs parties.
Courbes décrites par les différents points du système. — 11 suffit de remplacer dans les équations (1) a, b,c,.... £,n, €, par leurs valeurs en fonction de 6, puis d'éliminer cette variable; les équations résultant de l'élimination représenteront les courbes décrites par les points (æ,,ÿ4, 2).
Avant de passer à un autre exemple, je remarquerai que les formules données pour la surface gauche de révolution restent les mêmes, toutes les fois que la surface donnée étant à plan directeur, la déformée admet pour cône directeur un cône de révolution. Du reste, on peut éliminer complétement de la question les neuf cosinus, a, b,c,..., et les remplacer par trois variables indépendantes seulement; ces variables sont, comme on sait, l’angle que fait l'axe de z fixe avec l’axe de z, mobile, l’angle des deux plans æy, æ, z,, et enfin l’angle que fait la trace du plan æ, y, mobile axecl’axe Ox fixe : ensuite, au lieu de se donner le cône directeur de la surface cherchée, on se donnera deux relations entre les trois variables que je viens de mentionner.
Conoides. — Les équations de ces surfaces sont
Vi =tang0.x:, A F (0).
Les génératrices de la surface déformée seront évidemment perpendiculaires aux plans osculateurs de sa ligne de striction ; la seconde courbure de cette ligne sera par conséquent
I Lhatid
T7 F(6) da
Le s\ I . ’
Si l’on se donne encore la première courbure cette ligne sera complétement déterminée et la surface déformée sera le lieu de ses binormales. On peut se donner la condition
es K = const.
Alors, comme l’a démontré M. Bertrand, la courbe ligne de striction de la surface déformée sera une hélice tracée sur un cylindre à section orthogonale arbitraire. La surface déformée admettra dans ce cas un cône directeur de révolution.
La perpendiculaire au plan, passant par l’axe instantané et l’origine mobile fera avec les axes mobiles des angles dont les cosinus sont
cos ——sin0, cosB,—cosé, cosy —=0,
et avec les axes fixes cos &« — — sin V1 + K°6,
cos B ——cos V1 + K°6, COS y — 0,
d’où, en ayant égard aux équations (9)
— — sin V1 + K°0,
d = cos ÿ1 + K°6, d
(CEA Les valeurs de Q et R sont évidemment
0e R=z—F(6), donc Êe 2 CD Ces équations représentent la développante de la section orthogonale du cylindre sur laquelle on doit tracer l’hélice, ligne de striction de la surface déformée. En voici un exemple particulier :
Posons
an La
To KE (0)cosV + K°0.
Lppni ed — 2 F(0)sinyr + K 0,
F(8)= A6, on aura
RE Ca 0 sin Vi + K° 0 + tee cos VER ) + const., K Vi+K V1 + K!
A —— I CHiEs E= — - 0 cos V1 + K? 0 — ——— sin VI 0) + constante. ; Re V Vi+K?
Elles représentent, comme l’on sait, une développante de cercle.
Les trois axes mobiles engendrent, pendant le mouvement, trois surfaces gauches, dont l'intersection commune est la courbe décrite par l’origine. On peut déterminer le mouvement de manière que les surfaces engendrées par les axes Ox,, Oy, soient réciproques l’une de l’autre, celle qui est engendrée en Oz, étant dès lors le lieu des normales centrales. Désignons à cet effet par dm, dm, les angles infiniment petits que font Ox,, Oy, avec leurs positions infiniment voisines, et par dn l'angle analogue pour Oz,; nous devons avoir
dn° = dm’ + dm, et d’après les équations (21),
da + da" + da"= (q + r?)d0?, db? + db"? + db" —(p° + r')d0?, de? + de’? + dc”! = (p° + qg°)d6?;
(K) r—0,...dm=q00, 04m = pd0.
La première fait voir que l’axe instantané doit être constamment parallèle au plan des x, , y,; mais, d’un autre côté, il doit se trouver sur un plan perpendiculaire à la courbe décrite par l’origine : donc la surface à déformer est un conoïde dont la ligne de striction est l’axe de Oz,. Un plan perpendiculaire à la ligne de striction de la surface engendrée par l’axe O x, fait
(75) avec Ox, Oy, des angles dont les cosinus sont
da, do?
COSÂA—= ————, COSU—= — Vda+ da:
Vda + da:
Ce sont les cosinus des angles que fait l’axe instantané avec Ox,, Oy,. Les équations (K) donnent aussi
dm dm?
COS À — Os Vdm? + dm? Vdm: + dm?
done da: Se dm. da dm
press CEE 1% He Fi. ?
Vdæ+ da Vdm+dm Vdæ+da Vdm'+ dm?
équivalant toutes deux à d'adm = d'a dm.
Nous avons déjà rencontré cette équation dans le premier Mémoire. Elle fait voir que la ligne de striction de la surface engendrée par Ox, ou O y, est une ligne de courbure.
D’après ce qui précède, il est facile d'indiquer le mode de génération des surfaces réglées dont les lignes de striction sont aussi des lignes de courbure.
Faisons rouler un conoïde quelconque sur une surface réglée applicable sur le conoïde; une génératrice quelconque engendrera une surface dont la ligne de striction sera aussi ligne de courbure.
Variation de la courbure pendant la déformaunon.—Soit AB (fig. 2) une ligne tracée sur la surface réglée (3,); p, p,, p: les angles que la tangente DT fait
Fig. 2.
avec les axes, et ® l’angle sous lequel AB coupe les génératrices rectilignes de la surface. On doit avoir
COS À COS p + COS lu COS pi + COS 1 COS F1 = COS P,
(76 } et, en dant
cos À, PER + cos pd COS pi + COS vd cos p, + cos p d cos À + prit cos À à + cos pd cosy, = — sin ® d®.
DR étant la direction du rayon de courbure, le trièdre DRGC donne & ds dise cos Àd COS p + cos pd COS p + COS y d COS Pr — fs cos k — F sin ® sin ®;
g est l'angle que fait la direction du rayon de courbure avec la normale à la surface au point considéré. Désignons enfin par 1 l’inelinaison du plan tangent au point D sur le plan tangent au point central O, on aura :
cos æ d cos À + cos Bd cos pu + COS y d cos = - sin ® sin I 46. à
Remplaçant ces valeurs dans la formule précédente, on trouve
7 dO d® x (q) | FRERE A : | < Le Pour les lignes géodésiques, on a | pri 2 . ? sin 9 —0 1 Fi D: pour la ligne de striction, E cu | e ê Sin 0; 4 et pour les trajectoires de ne rectilignes à je 46110 0ue.0ù 4
Te.
Il s’ensuit 0 si une ligne quelconque, tracée sur la surface réglée (2, ), jouit de deux quelconques des propriétés mentionnées ci-dessus, elle pis — aussi de la troisième. Ce théorème est dù à M. Ossian Bonnet. Fo : L'équation DES de ses in ie RE
