E. PREZ-REYNIER

DER ETS MU EEE TEE RES RTE V1 D PNR ES GE RER EN MT SE ET ee 2 de 10. PARIS. — IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS, SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Rue de Seine-Saint-Germain, 10, près l’Institut.

Lin dur ge le fait 1 ER

Svidinte ab AS

Dans un Mémoire inséré dans le Journal de Mathématiques pures et appliquees, 1"° série, t.IX, M. Bertrand a démontré que si deux courbes tracées sur une surface se coupent normalement, leurs secondes courbures géodésiques, aux points de leurs intersections, sont égales et de signes contraires. Le théorème de Monge, relatif aux lignes de courbure, en est, on le sait, une conséquence immédiate. Si, dans le théorème de M. Bertrand, on ajoute l'équation d’Euler, on a à peu près tout ce qu’il y a de plus remarquable et de plus général dans la théorie des surfaces.

Le premier est lié à la surface elle-même d’une manière plus intime, parce qu’il suppose son existence; il doit être placé en première ligne.

Quelque temps après la publication du travail de M. Bertrand, M. Ossian Bonnet a publié un Mémoire, devenu depuis classique; on y trouve, en effet, méthodiquement réuni tout ce qu’on connaissait jusqu'alors sur cette matière; les différents théorèmes sont démontrés avec une remarquable simplicité.

La thèse que j'ose présenter ici se rapporte aux deux Mémoires que je viens de citer.

Les résultats nouveaux sont peu nombreux, et, à vrai dire, je n’ai à mentionner que la méthode simple et directe, quelques applications intéressantes des théorèmes de M. Bertrand et d’Euler, et enfin une relation importante entre les courbures principales et leurs variations; cette relation, assez compliquée d’ailleurs, se rapporte à tout déplacement infiniment petit

(4) effectué sur la surface; elle est donc générale; en l’appliquant aux lignes de courbure, on trouve la première série des formules bien connues de M. Lamé.

L’angle de deux génératrices, voisines de la développable circonscrite à une surface suivant une courbe quelconque, doit, ce me semble, jouer un rôle fort important dans la théorie des surfaces. La valeur de la courbure géodésique, dont la considération est due à M. Liouville, est donnée d’une manière simple, en fonction de l'angle dont je viens de parler, et de l'angle que fait l'arc considéré avec la direction conjuguée. En égalant cette expression à zéro, on a pour les lignes géodésiques une équation dont l’interprétation géométrique n’est pas sans intérêt.

Considérons une surface quelconque (2), et traçons une ligne 7m, mm... ; menons par les points mr, m,,... les normales à la surface mO, m,0,,... (fig. 1); appelons d9 l'angle de deux normales consécutives et £d6 leur

Fig. 1.

plus courte distance OK : la droite KB est parallèle à Om, et le point B se trouve sur le plan tangent à la surface (Z) au point », en sorte que la

ligne mB est parallèle à OK; désignons par I l'angle ME et nous aurons

m,B = BK tang d0 = mB tangl;

posant | mO = BK — R,

OP 20 7 1e np i/ic

lire ie ni Col