PR ES DS
et observant que l'angle 46 est infiniment petit, on aura R tang I = =:
Cette formule est due à M. Chasles, et elle fait voir que les normales à une surface gauche, tout le long d’une même génératrice, formentun paraboloïide hyperbolique.
Le triangle Brm, donne encore mm = ds = mB + mB—(840) + (Rd), ou bien
ds?
SDS: cu
Les deux formules que nous venons d'établir équivalent aux deux suivantes :
ds ds
(x) R= sil, B= 75 cos1.
Désignons maintenant par (Av), (Xopov) les angles que font avec les axes les droites mA, OK, nous aurons
3 de = dy ds 4 | cos re 0$p 7e + COS» 2:
see Le De IE [cos De Pur tu et Us Ce OS 1;
différentiant, il vient
PR +de HR RE (3) NS de FT ds ds
7 dé ds do ds dé ds
le 0
(Se dx : dcosu dy dcosv ge de ds
dcosk dx dcosu dy dcosn dz\d0 er de dd dd did
d9, est l’angle (OÉ, OK,), c’est-à-dire l'angle de deux génératrices voi-
(6) sines de la surface réciproque (*) de celle qui est formée par les normales n A, mÀ,,.…..; pour abréger nous appellerons celle-ci (K) et sa réciproque (T). Soit p le rayon de courbure au point 2, on aura
dx \ ? dy\ ? dz\ 21; p L\æ/T\a Rem À
on sait que ce rayon fait avec les axes des angles dont les cosinus sont
dx dy dz d re d =: d ra Pas PE AS Mods té d cos À d cos À Il ; à quant aux quantités P CRE der RARES oo représentent, comme on
sait, les cosinus que font avec les axes les droites 00’, 0,0, ,..., KK, K,K,,..., ou les normales centrales de la surface (K) et de sa réciproque. On aura, par conséquent, en désignant par + l’angle que fait le rayon de courbure au point », avec la normale mA,
a aT 4€ COS LC 35 OS) e = © cosce ds TP Genus MT ER 28
dcos dx dcosyu dy, dcosy dz
# — dôse À d8 De Ed PES 05 À as Prec ) =“ sinosin] COS À Fr Lo k DA + Sr inosini, dcosh dx dcos us dr , deosw dr :
dede M0 di ERP À
La troisième de ces relations s'obtient en ayant égard au trièdre dont les arêtes sont le rayon de courbure au point m, et les deux droites mA, OK. Quant aux trois autres, elles ne présentent pas la moindre difficulté. È Remplacant les valeurs (4) dans les équations (3), j'obtiens i AE a sin EF, p ds
3 | REA 5 pe
(*) D’après M. Bour, nous appelons surface réciproque de (K) la surface formée par toutes les plus courtes distances des génératrices consécutives de (K). ,
