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d’X, pr 2Y, 2, d0 fdX; da, dY: db". d2, de” re ds? "x ds? LS ds? ads. ‘ds, dû de. a0 | ds: 5)?

et en mulüpliant par a, a’, a” et ajoutant,

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et deux autres encore que ŸO1CI :

dx ta" di L SX: d7Z: TX — d0 e ds? #i ds! ee di Tee. (LE cos 7, — Te con) re dx, (Ode, d'P CR ARE de on ed Goes de di. D D Rob de Orona LAS 1 T ire = | — ES Æ cos L, (Se COS 7 CO ls} Hd, dZ, dX, I COS M (Te COST cos ») sn

/ d'X, E.cosN,— ee cos cos ) :

et les équations précédentes prendront la forme

dx d?Y d'Z'u "dx, da .

Re Von MER Nr Te —+ ) Fs 70 î er HO br ds Æ Q cos L, ds Sin ® dx d'Y 1227 = 2U8Y, dO .

2 = ! " co — —+ , a i ER 1»

(r) { b RQ LA b Le dr À Q cos M + sin ® c > + c! Re Æ Q cos N, sin ®,.

MES ls? ds? ds? ds,

Soient g, q, 2 les angles que fait avec les axes fixes une droite située sur le plan tangent à la surface et au point considéré: o, 6, © les angles de la même ligne avec les axes mobiles : multipliant les équations précédentes Par COSg, COSg,, CoSg:, ajoutant et ayant égard à la relation

cos q cos L, + cos qi cos M, + cos g, cos N, — 0,

on trouve PALAU" Nue az cos : + COS FX! 0 LR, ct : a me S Er FN C C : COS g: :

LS D Ga BGs ds? “! ds LÉCLSS

Désignons par p, p, les rayons de courbure des courbes considérées, et par v, v, les angles qu’elles font avec la ligne (pp, p:); l’équation précédente

se mettra sous la forme :

COSu Cosu,

p Pi

ce qui prouve que la projection de la courbure, d’une courbe quelconque tracée sur la surface, sur une droite située sur le plan tangent ne varie pas pendant la déformation.

La courbure géodésique ne varie pas non plus.

Élevons au carré les équations (r), et ajoutons, il vient

Û 5 2 d 0° Gi “ FE p° +—Q ds sin ®, | dors d?X, dY° dZ + ll ll Se 207 sin ®Ÿ, (cos L, HA? + cos M, Fes + cos N, se ) ;

et en appelant & l’angle du rayon de courbure avec la normale à la surface (3,,) au point considéré,

I EL) I ,d0? ‘he 1 d0 * (s) Ph dr Sin Pi Æ 20 27e sin di cos ç.

Pour les lignes géodésiques, on a

COSp—= 7,

édit à ne ii 55 fifi oh à

RÉ , elle s'applique aussi en section normale. Pour les lignes asymptotiques, on :

COS — 0, et l'équation (s) devient 1 ' CARE — = — + Q:—— sin’; p° Pi ds’

si de plus la ligne asymptotique coupait orthogonalement les génératrices rectilignes, on aurait

PSE, + 0: É CT Les angles des deux normales voisines, avant et après la déformation, sont liés par une relation analogue à (s); différentions pour cela les équations

cos L— a cos L, + b cos M, + c cos N,,

CosM — a’ cos L, + b’ cos M, + c’cos N,,

cos N — a” cosL, + b”’cosM, + c” cos N;:

il vient d'cos L=a dcos L;+b dcosM,+c dcos N,+ cos L,da + cosM, db +cosN,de , d cosM— a’ d cos L,+ b’ dcosM, + c' d'cos N,+ cos EL, da! + cos M, db" + cosN, de’, d cos N = a”d cos L, + b’dcos M, + c’d cos N,+ cos L, da” + cos M, db” + cos N, dc”.

Multipliant ces équations par aa’a” et ajoutant, on trouve comme précédemment

ad cos L + b’dcosM + a” d cos N = d ços L; H(cos v, cos M, — cos u, cos M) 0 d6, bd cos L + b'dcos M + b’d cos N = d cosM, (cos À cos N,— cos L, cos », }0 46, cd-cos L + c'd cos M + cd cosN = d'cosN, H(cos y. cos L, — cos à, cos M,)Q 456;

carrant et ajoutant,

df® = df?+Q:d0 + 2df,d0 Q cos V.

Nous avons posé

d'cos L?+ d'cos M? + d cos N° — df?,

d'cos L? + d'cos M? + dcos Ni — df;

( 80 ) 5 & cos V est déterminé par l’équation n.

dcosL, dcosM dcosN, D

CSV =] Go Li. cosMi, =. cos Nu

cos À, COS fu, cos | FL

- / / | ES > Élevant au carré et développant, on trouve 2 sin V = cos À dcos L cosy Loos M à 05 y ALES ARR | S Re SR Fe V est l'angle de la plus courte distance des normales voisines avec la géné- 3 ratrice rectiligne passant au point considéré. | EX , Vu et approuvé. KÈ Le 26 novembre 1864. De

Le Doyen DE LA FacuLTé Des SCIENCES, <a

s es MILNE EDWARDS. HER

Permis d'imprimer.

‘57e Le 26 noveinbre 1864. | | ee Le Vics-Recreur DE L'ACADÉMIE DE Pans, : s | =:

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