Mémoire sur le calcul numerique des integrales definies. Par M. Poisson

Le calcul des intégrales définies est peut-être la partie de l’analyse dont les applications sont les plus nombreuses et les plus variées. Non-seulement elles comprennent la rectification des courbes, l’évaluation des surfaces et des solides, la détermination des centres de gravité, mais encore, la plupart des problèmes de mécanique ou de physique qui se résolvent par le calcul intégral ^conduisent à des expressions des inconnues en intégrales définies. Aussi, depuis liuler et surtout dans ces derniers temps, les géomètres se sont-ils beaucoup occupés d’étendre et de perfectionner cet important calcul. Dans le petit nombre de cas où l’intégrale générale est connue sous forme finie, on en déduit immédiatement lintégrale définie; dans d autres cas, beaucoup plus étendus, on parvient h trouver la valeur exacte de l une sans connaître celle de 1 autre; mais le plus souvent on est

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obligé de recourir aux méthodes d’approximation. Celles-ci consistent en des moyens particuliers à quelques intégrales, d’après lesquels on parvient à les faire dépendre les unes des autres et à les réduire en tables, ainsi que M. Legendre l’a pratiqué à l’égard des transcendantes elliptiques et de deux autres classes d’intégrales que notre confrère a nommées Eulériennes. Quelquefois aussi, on peut réduire la quantité soumise à l’intégration, en une série convergente dont les termes sont intégrables par les règles ordinaires. Mais quand toutes ces ressources manquent, on emploie un procédé général de calcul, fondé sur la nature même des intégrales, et que l’on appelle proprement la méthode des quadratures ; dénomination qui lui vient de ce que le problème est le même que celui de trouver l’aire d’une courbe plane, ou le côté du carré équivalent. C’est cette méthode, envisagée sous un nouveau point de vue, qui est l’objet principal de ce Mémoire.

(i) Une intégrale définie est la somme des valeurs de la différentielle, comprises entre les liniites de l’intégration, et supposées toutes infinin^it petites, ce qui ne souffre d’exception que quand le ctjsfficient différentiel devient infini entre ces limites. II en résulte que si l’on prend seulement un grand nombre de ces valeurs, et qu’on y remplace la différentielle de la variable par sa différence finie, on aura une valeur de l’intégrale, d’autant plus approchée que cette différence sera plus petite; et la méthode dont nous allons nous occuper, consiste à trouver, exactement ou par approximation, la correction qu’il faudra faire subir à ce premier résultat.

DES INTÉGRALES DEFINIES. 5

Nous supposerons les valeurs de la variable qui repondent aux deux limites de l’intégrale, égales et de signes contraires, ce qu’on peut toujours obtenir en augmentant ou diminuant la variable d’une quantité constante. Nous désignerons ces limites par =b a; et pour les indiquer en même temps que l’intégrale, nous emploierons la notation très-commode que M. Fourrier a proposée. Ainsi

désignera l’intégrale de fxdx, prise depuis x =— a jusqu’à x= a ; f x étant une fonction donnée qui ne devient pas infinie entre ces limites.

Partageons a en un nombre n de parties égales; soit w la grandeur de chacune d’elles,en sorte qu’on ait a= Ru ; faisons, pour abréger,

"./*( 71 <*> ) + — 71 co -f- Ci) ) Ci) -f- 2 Ci) ) -+-.

. f ( TL CD -- 2(i>) -J- Tl a)- ti) ) -t-/(n M ) = P„:

en remplaçant dx par o, on pourra prendre, d’après le principe précédent, wP„ pour la valeur approchée de notre intégrale; et si l’on désigne par Q„ la correction dont elle est susceptible, on aura exactement

I fxdX — wP« + Q«.

Au lieu de ne faire entrer dans P„, qu’une seule des deux valeurs extrêmes de fx, on a pris, pour la symétrie du calcul , la moitié de chacune d’elles ; ce qui est permis tant que

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la correction Q* n’est pas déterminée. Il s’agit maintenant de trouver la valeur inconnue de cette quantité, en fonction du nombre n , ou de la différence w.

(2) Pour y parvenir, je ferai usage de la formule :

f x =i~ a ,f f x ' dx '+ \ /Js7 cos. dx', ( 2 )

qui se trouve dans mon dernier Mémoire sur les intégrales définies, inséré dans le dix-neuvième cahier du journal de l’Ecole Polytechnique. Elle représente fx pour toutes les valeurs de Æ‘> — a et <a; à chacune des valeurs extrêmes x—zka, le second membre de cette équation est égal à la demi-somme des valeurs correspondantes dey#, c’est-àdire, qu’il faut joindre à lequation (2), celle-ci :

[/«*+/(—' a )]=-taf f x ' dx ' +l a[ [2 cos - '~ (a fl X) \fx dx'. J —a J —a>- 1

On représente, à l’ordinaire, par r le rapport de la circonférence au diamètre; i est un nombre entier et positif, et la somme

comprise sous les signes J', s’étend, comme l’indique la no-

tation 2 , à toutes les valeurs de i depuis i— 1 jusqu a

1 = oc . Mais avant d’employer ces équations, il convient de rappeler la démonstration que j’en ai donnée, en regardant chacune des séries périodiques quelles renferment, comme la limite d’une autre série convergente.

Soit donc a une quantité positive et moindre que l’unité.

DES INTÉGRALES DEFINIES.

Considérons l’expression

S x ' dx ' + 'af [2 “'COS. ~\fx dx';

le second membre de 1 équation (2) sera la valeur de X qui répond à la limite où la différence 1 — a est infiniment petite ; ainsi il s’agit de faire voir qu’à cette limite on a X —fx, pour x > —a et < a .

Or, en développant suivant les puissances de a, on a, en série convergente,

- 7 . 0 . cos. —-- + a’

= 1+22 a'COS.

ir:(x -~æ J ) .

on aura donc

r i Ç a ( i — o'^fx'dx'

J —a 1 — 2 a cos. —- ’

Le coefficient de dx' sous le signe intégral, devient infiniment petit en même temps que 1 — a , excepté pour les valeurs de x qui rendent cos. — ■ ~~* ^ infiniment peu différent de l’unité, et, par conséquent, le dénominateur aussi infiniment petit. Mais x étant > —<2 et < a, et la variable x ' ne sortant pas non plus de ces limites, cette circonstance ne peutavoir lieu que pour des valeurs de x '— x, infiniment petites, positives ou négatives; il suffira donc d’étendre l’intégrale aux valeurs de x' infiniment peu différentes de x; et dans cette étendue, on pourra considérer la fonction fx

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comme constante et égale à fx . Si donc on fait

et que l’on traite g et h comme des quantités infiniment petites , on aura pour la limite demandée :

/f Ç § dh ' aJ g •+=^‘

Comme cette dernière intégrale est infiniment petite, pour toute valeur finie de la variable, on pourra l’étendre à des valeurs de h aussi grandes que l’on voudra ; en désignant donc par £ une quantité positive et finie, dont la grandeur est arbitraire, et intégrant depuis h = —£ jusqu à h= -+- &, nous aurons

X=^arc.(tang. = |);

quantité qui se réduit à X=fx, à cause de g infiniment petit ; ce qu’il s’agissait de démontrer.

Dans le cas de x=a, on rendra cos. 77 ^ g X ^ infiniment

peu différent de l’unité , en supposant successivement x'=a + h et x' = —a -\- A, et traitant toujours h comme une variable infiniment petite; mais pour que x ne sorte pas des limites ±a, il faudra n’intégrer que depuis h — — $ jusqu’à h = o dans la première hypothèse, et depuis h= o jusqu’à h= + £ dans la seconde ; ce qui réduira chaque portion d’intégrale à la moitié de la valeur précédente. Alors on aura, dans ce cas,

DES INTÉGRALES INFINIES. g

pour la limite de X ; et l’on trouvera le même résultat dans le cas de.z = — a; ce qui coïncide avec l’équation ( 3 ).

( 3 ) Maintenant, pour faire de l’équation (a) l’usage que nous avons en vue, mettons-y nuà la placé de a \ puis donnons successivement h x, ces 2 n —1 valeurs équi-différentes :

— {n — i)w,^-(rc — 2)w... —to,o, -h «,. .( n —2)(û,(n— i)w,

poun lesquelles cette équation subsiste. En prenant la somme des résultats, et ajoutant la demi-somme des valeurs defx relatives k n = =t a, on en conclura

» p .= ;[/ Æ +/(- a )] + 2 " ~ ‘ f fx'dx