OU

la première ayant lieu dans le cas de a < i, et la seconde dans le cas de a > i ; et si l’on différentie cette intégrale par rapport à a, on aura, dans les memes cas, cet autre exemple :

/»* (a — coa.x)ùn-xdx ou = £ .

J o (i— *acos.x-\-a 3 ) »

Tl est à remarquer que si l’on fait a= i, les deux valeurs de la première intégrale sont égales, mais non pas celles de la seconde. Dans ce cas particulier, la dernière intégrale a pour valeurs zéro ou 2, selon qu’auparavant on regardait a comme plus petit, ou comme plus grand que 1 unité. Ce paradoxe tient à ce que les deux valeurs que 1 on détermine de cette manière, sont celles qui répondent à la différence 1 —a infiniment petite, positive ou négative, et qu’à cette limite, un changement infiniment petit dans la valeur de 1— a, suffît pour produire un changement brusque dans

34 CALCUL NUMERIQUE DES INTEGRALES DEFINIES, celle de l’intégrale dont il est question. Dans le cas où l’ on aurait rigoureusement a = i,la valeur de cette intégrale serait la moyenne des deux valeurs précédentes, ou égale à l’unité; et, en effet, on a, dans cette hypothèse,

(a — cos.ar )sin. xdx

i —a a cos. x -+- a*)~*

Au reste, il existe beaucoup d’autres intégrales définies, renfermant, comme celle-ci, une constante sous le signe^

qui ont des valeurs différentes, selon que cette constante est positive ou négative, bien quelle puisse être infiniment petite. C’est ainsi qu’on a, par exemple,

selon que la constante a est > o, =o, ou < o.