DES INTÉGRALES DÉFINIES. ‘2Q

voudra, et que l’on fait infiniment petite pour passer aux intégrales précédentes. La première peut encore être considérée comme la limite de l’une ou 1 autre de celles-ci .

pr a x* r t/ïc

8 cos .axdx=—e

qui s’accordent aussi à donner zéro pour valeur de cette intégrale, à la limite ou 1 on suppose la quantité g infiniment petite, en exceptant toujours le cas où l’on aurait

A cause de cette exception, si les intégrales que nous citons pour exemples, sont comprises sous d’autres signes j, relatifs à a, il faudra avoir soin de les remplacer par celles dont elles sont les limites. Ainsi, en désignant par t a> et F a deux fonctions données de a, si Ion a

fFa^f^ïos.axdx^da, JF'a sm.axdx) da,

1 faudra prendre

/ gY ad a Çt

'a Y' ad a

et ne faire la constante g infiniment petite qu’après avoir effectué les intégrations relatives à a, lorsque leurs limites comprendront a=o. Soit, par exemple ,

Ftf=cos.(3, F'<z=sin.a;

CALCUL NUMERIQUE

et intégrons depuis a =—co jusqu’à a=oo. Nous aurons ■ne—s pour la valeur commune aux deux intégrales, laquelle se réduira a ir, a la limite ou la quantité g est infiniment petite. On peut vérifier que * est, en effet, la véritable valeur de chaque intégrale double, en effectuant les intégrations dans un ordre inverse, c’est-à-dire, en commençant par a et et finissant par ce qui n’est sujet à aucune difficulté; ou bien encore, en intégrant d’abord par rapport à ar, entre des valeurs indéterminées de cette variable, qu’on ne fera infinies qu’après l’intégration relative à a.

i°. On ne doit pas faire usage de la formule (6), quand la fonction^» passe une ou plusieurs fois par l’infini, entre les limites de lintégration. Le principe qui en est la base, et l’équation (2) dont nous l’avons déduite, supposent essentiellement que y# est toujours une quantité finie. Si cependant cette fonction devenait infinie à raison d’un diviseur dont l’exposant serait moindre que l’unité, il serait facile de le faire disparaître par un changement de variable. Supposons, par exemple,

a étant une constante comprise entre les limites de l’intégration , k un exposant > o et < 1, et Far une fonction qui ne devient pas infinie : on fera alors

(x — a) l ~ / ‘= r , (1 —k)(x—àf k dx = dy;

d où l’on conclura

DES INTEGRALES DEFINIES.

F'y étant aussi une fonction qui ne deviendra pas infinie, ce qui permettra d’appliquer la formule (6) à l’intégrale relative à la nouvelle variable jr.

Généralement, une intégrale f fxdx cesse de représente

ter la somme des valeurs réelles de la différentielle, comprises depuis x=o jusqu’à x — c, lorsque fx devienfrinfinie dans cet intervalle. Ainsi, l’on a , par exemple ,

r c dx | a — c Ç c dx i i

J 0 ^ — ° g ' « 7 J Q yx — af~a a — c ’

et si l’on suppose a > o et < c, la première valeur est imaginaire, et la seconde négative, tandis que la première différentielle est toujours réelle, et la seconde toujours positive. Mais dans ces sortes de cas, si l’on fait passer la variable, entre les limites données, par des valeurs imaginaires qui ne rendent plus fx infinie, on pourra considérer de nouveau l’intégrale ^ fxdx, commua somme des valeurs imaginaires de fxdx. Dans les exemples précédants, il faudra faire

#=7c(i —cos.z-t-sin.zl/^ 7 ), Ja? = 7c(sin.z h- cos.si/-1),

et intégrer depuis z — o jusqu’à z=(a/î-h i)^> n étant un nombre entier quelconque, afin de ne pas changer les limites données x = o et x=^c. Les intégrales definies ne changeront pas non plus; mais les fonctions de z, comprises sous

les signes f, ne devenant pas infinies, chaque intégrale sera

■CALCUL NUMERIQUE

maintenant la somme des valeurs de la différentielle; et ces valeurs étant imaginaires, cela explique comment leur somme peut être imaginaire dans un cas et négative dans l’autre.

Il y a aussi des intégrales dans lesquelles la fonction Jx passe une infinité de fois par l’infini, et qu’on peut encore admettre dans l’analyse en les considérant comme les limites d’autres intégrales qui n’ont pas cet inconvénient. C’est dans cette classe qu’on doit ranger celles dont M. Bidone a donné les valeurs dans les Mémoires de Turin pour l’année 1812(1).

3 °. Lorsque fx renferme un radical, il devra conserver le même signe, ou plus généralement, avoir pour facteur la même racine de l’unité, dans toute l’étendue de l’intégration; et de cette manière , l’intégrale aura le même nombre de valeurs différentes, réelles ou imaginaires, dont le radical sera susceptible. Si le radical passe du réel a l’imaginaire, les signes dont il sera affecté dans ces deux périodes de valeurs, n’auront pas de dépendance mutuelle, et la valeur de l’intégrale sera nécessairement ambiguë,c’est-à-dire, qu’après avoir donné un signe déterminé à la partie réelle, on pourra supposer indifféremment que la partie imaginaire soit multipliée par -h l/-1 ou par —: il est inutile d’insister sur cette circonstance qu’il suffit d’avoir indiquée. Lorsque le radical sera constamment réel entre les limites de l’intégration, la nécessité d’un signe constant, sera une condition essentielle qui influera sur l’expression de l’intégrale définie. Pour en donner un exemple connu, considérons l’intégrale :

W Voyez aussi sur ce point les Exercices de calcul intégral , tome II, page 125.

DES INTÉGRALES DEFINIES.

sin. xdx

Yy i — 2 a cos. x 4-

dans laquelle a est une constante positive ; et convenons de regarder le radical contenu sous le signe J, comme une quantité positive dans toute retendue de l’intégration. Il faudra prendre pour sa valeur, i 4- cl h. la limite et i —a

ou a — i à la limite a?=o, selon qu’on aura a < i ou a > i. D’après cela , on trouve ces deux expressions différentes :

sin .xdx

- 2 a cos. x 4- a *