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DU RANG DR8 7 ANMÉES DE lit MOIS DITES EUBOLISMIQUES DANS LE GTCLC, BT DE LA PLACE DU 13' MOIS.

81. Pour le cbs du cycle même de Melon, où lo soleil el la lune commençaient leur mouvement au même instant, VArt de vérifier a commencé son susdit article comme il suit : ■ L'année lunaire commune n'étant que de 354 ■> jours tandis que l'année solaire commune en a 365, il se B trouve par là que celle-ci surpasse l'autre de 11 jours ,

■ ce qui, au bout de 3 ans, fail 33 jours; d'où retranchant » 30 pour faire le mois intercalaire, il ne resle que 3 jours » qu'on ajoute aux 11 de l'année suivante, etc. (relran- 1 chant toujours 30 quand on le peut, pour le mois iatera calaire). •

Or, si l'on effectue le calcul qu'il indique , on trouve que ce sont les années 3, 6, 9, tl, 14, 17el 19 qui doivenl recevoir un 13' mois de 30 jours, mais le même auteur continue:

> Nous remarquerons seulement ici que le cycle lu-

■ naire des Juifs retardant de 3 ans sur le nOIre, la lune » dut avoir 3 jours au commencement de la 1" année de * ce cycle; elle en eut 14 À la fin de cette même année, A

» quoi si l'on ajoute 22 pour les 2 années suivantes , on » aura 36 jours , etc. , » et en retranchant toujours 30 quand ou le peut, le calcul le conduit aux 7 embolismiques 3, 6, 8, 11, 14, 17, 19(*); les 6 premières colonnes de notre 8« tableau donnent ces différentes opérations ; et Tauleur termine comme il suit :

« On voit que les 7 embolismiques doivent être dans » l'ordre marqué ci-dessus', et qu'ainsi cet ordre n'est pas » arbitraire; mais il faut prendre garde que, pour la régula larité du calcul, le dernier mois inlercalaire ne doit » avoir que 29 jours, afin que des 32 qu'on trouve à la fin » de la 19< année, il en reste 3 pour recommencer le cy- B cle, toujours sur le même pied^ qui est de compter que » la lune a 3 jours au commencement de la 1^ année. »

82. Hais le calcul de VArt de vérifier nous parait singulier, car il néglige les fractions de jour qui, répétées, doivent changer l'heure et même le jour des N. L. ; il commence l'ère au 3* jour de la lune et c'est au 3« 2^ 504«** : il prend 1 1 jours pour la différence de l'année lunaire de 12 lunaisons à Tannée solaire, et ce n'est que lOi 21^ 204"^^; le mois lunaire n'est pas de 30 jours, mais de 29. 12. 793 : faisons donc le calcul exact et voyons s'il apportera quelque changement dansl e rang des embolismiques.

Formons ligne par ligne le 9« tableau comme il suit , pour les jours et fractions complètes , et analogues au tableau précédent.

(*) Ce sont les mêmes années que dans Meton, d'après Petau (p. 393) et Bailly (p. 224), quoique son cycle ait commencé par une N. L., celle du 16 juillet de 432 ay. J.-C. ; mais ses mois n'étaient pas alternativement pleins et caves comme ici. Francœur indique pour première embolismique de Méton Tannée 2 dans sa Théorie du calendrier (p. 264), et 3 dans son Uranographie (p. Vli); la Notice Terquem (xxil) porte 2 comme la Théorie du calendrier ; les autres années sont 5, 8, 11, 43, \6 et 19.

1'* colonne : les 19 années hébraïques de 1 à 19;

2« colonne : an 1'^ jour de chaque année hébraïque réelle, le temps écoulé de la N. L., pour la i'* année hébraïque 3. 5. 204.

3« colonne : excédant constant , S , de Tannée solaire exacte sur Tannée hébraïque de V2 lunaisons 10. 21. 204.

4<' colonne : après les 12 premières lunaisons de Tannée, le temps écoulé dé la

i3« lunaison ; à la fin de la l'* année 14. 2. 408.

b^ colonne : i 3* lunaison exacte à £youter à Tan H quand on le peut, c'est-à-dire quand le temps écoulé de la 4* colonne est > que la lunaison.

6* colonne : après les 12. ou 13«* lunaisons de Tannée, temps écoulé de la N. L.. 14. 2. 408.

Cettel^Migneélanl remplie, passonsàla2* année hébraïque : 2« colonne, report de la 6* 14. 2. 408.

3« colonne 4- 10. 21. 204.

4« colonne 24. 23. 612.

6« colonne : temps écoulé au delà de la

2« année hébraïque 24. 23. 612.

3« ligue : pour 3« année hébraïque :

2« colonne : report de la 6* 24. 23. 612".

3* colonne + 10. 21.- 204.

4' colonne : temps écoulé après 12 lunais. 35. 20. 816.

5'' colonne: ce lemps élant de plusd'une lunaison, on sgoute la 13^ lunaison à Tannée hébraïque, ou Ton relranche la lunaisoA de la A* colonne, ci 29. 12. 793.

6* colonne : le lemps écoulé après la 13*

lunaison n*est pi us que de 6. 8. 23.

On continuera ensuite, ligne par ligne, el Ton trouvera qu'il faut ajouter une 13* lunaison aux 6*, 8», 11* et 14« aunées liébraïques désignées ci-dessus par V Art de vérifier. Mais à la 16« année, on trouvera dans la 4^ colonne : 29, 16, 583 > 29, 12, 793 ; on doit donc aussi ajouter là une 13Munaison, ce qui réduira le temps excédaul 13 lunaisons àO. 3. 870; pour la 17« année la 4* colonne ne sera plus que de il. 0. 1074 ; et pour la 19^ année, la 4« colonne sera 32. 19. 402 > 29. 12. 793 ; on doit donc ajouter une 13" lunaison conrimo dans le calcul de VArL de vérifier et la 6* colonne sera encore de 3 6. 689 ; nnais, comme VArl de vérifier l'a dit ci-dessus, il faut recommencer le Cycle hébraïque toujours sur le môme pied qui est de compter que la lune a 3. 5. 504 au commencement de la 1^* année ; el en effet on retrouve bien ce retard en relranchant de la 6» colonne Texcédant solaire cyclique ou 0. 1. 485.

Nous croyons donc que la lune ayant réellement h l'origine de l'ère: 3J 5^ 204^*», ce serait la 16« que nous nommerons Embolismique astronomique cl non la 17* année qui devrait être embolismique, et nous sommes étonné do ne trouver ce fait signalé nulle part. D'un autre côté, nous lisons dans la notice Terquenty art. xxiii, et sans explication : « Dans chaque cycle, on est convenu » de rendre embolismiques les 7 années suivantes.... (les 7 » de Y Art de vérifier) » el cette phrase suppose que la position des 7 années indiquées dans VArt de vérifier et admise généralement, ne résulte pas de calculs rigoureux, el nous fait penser que notre calcul pourrait bien donner la véritable année; et par conséquent la 16«.

Nous expliquons comme il suit le choix de la 17« année :

Lors de la réforme du calendrier, on aura bien vu que les calculs de conversion seraient basés sur la position de la L. à l'origine el les excédants solaires annuels, el l'on a dû faire un tableau d'essai conforme aux 6 colonnes

de noire 8« tableau. Hais on aura vu aussi que la suppressioD des 5^ 204<^, qui simplifiail beaucoup les calculs, ne changeait que Tuue des enibolismiques, el Ton aura adopté cette suppression qui fait qu'en retranchant 3j de chaque terme, on a une progression par différence crois* santé de 10 21. 204 dont on retranche la lunaison quand on le peut.

Si Ton continuait le tableau sans placer après r= 16 le 13* mois, que Ton réserverait pour Tannée suivanle, on aurait pour r==17 : 29. 16. 5834-10.21. 204=40. 13. 787> 29. 12. 793. Plaçant alors le 13* mois, ci —29.12 793 on retrouverait pour r=18. 11. 0.1074 comme dans le tableau.

83. Puisque, dans les 2 hypothèses de 3i et de 3. 5. 204. pour la position primitive de la L. chacune des 7 embolismiques a sa place fixe dans le cycle, il doit y avoir une relation constante enire le rang de Tannée embolismique dans les 19 années^ et le rang de la dite année dans les 7 embolismiques ; nous allons chercher cette relation, en commençant par le 9' tableau, le plus compliqué.

Formons une V colonne dont chaque ligne soit la somme de 2 nombres: 1* du nombre constant 3. 5. 204, el 2« d'un terme de la progression par différence croissanle de iO. 21. 204, cette différence étant le T' terme même; celte colonne équivaudra donc à ce qu'aurait été la 4* si Ton n'en avait pas retranché 29. 12. 793 dans chaque ligne d'embolismique.

Maintenant faisons à part les 7 premiers multiples de la lunaison 29. 12.793, et plaçons dans une 8* colonne chacun d'eux vis-à-vis le nombre de la 7* colonne immédiatement plus grand; le 1*' multiple se trouvera placé vis-à'Vis la 3*" ligne, 3&J, etc., année embolismique; le 2* vis— à-vis la 6* ligne, 681, etc., année embolismique; et en continuant, on verra que les. 5 autres multiples se

trouveront également placés vis-à-vis une année embolismique.

Nommons C la constante 3. 5. 204; 5 Texcédant solaire annuel : 10. 21. 204; Lia lunaison, el 6 le rang d'une année embolismique; chaque terme de la V colonne sera C + r S, et Ton aura toujours, pour chaque ligne embolismique , C + rS immédiatement > L X e, d'où e

> — en sous-enlendant toujours le mot immédiate-

ment. C'est une formule analogue à celle que nous avons trouvée à l'art. 38 de la 1'* partie de ce mémoire sur lo * Calendrier musulman^ pour ]ei^ années Kébices musulmanes. Dansrhypolhèse de la lune au 3* jour, exacte à Torigine, la formule du rang des emboli^miques se simplifle et de-

v,enl e < -^^ •

Dans chacune de ces deux formules, donnons successivement à r les valeurs de 1 à 19 et voyons le résultat; pour cela prolongeons chacun des deux tableaux do 5 colonnes :

9' colonne : la répétition de la i'*.

•lO* colonne : le rang des 7 années embolismiques entre elles, en répétant ce chiffre jusqu'à Tembolismique suivante.

11* colonne : le rang des 12 années communes entre elles.

12' colonne : le nombre entier de la 7* : 3 -f- 11 r ou C + rS

13* colonne : le quotient entier de la 12* colonne divisée par 30 ou par 29. 12. 793. Pour avoir e il n'est pas nécessaire de considérer les heures et chelakim , ce qui allongerait beaucoup la division ; on peut voir qu'il sufTil de diviser l'entier par 29. Le quotient entier, 1° ou reproduit la 10* colonne ou le rang de Tembolismique, si r ré-

pond à une année erpbolismique; ou 2® si r n'y répond pas, reproduit le rang de Tembolismique antérieure : les deux formules ne sont donc réellement que curieuses. .

La fractiou qui suivrait rentier de la i3' colonne nous est inutile.

On aurait une formule pour la 11' colonne en remarquant qu*en nommant £'le rang des i 2 années communes entre elles, on a toujours r = K -}- e, d'où K = r — e ; et

C + rS ^, f C-|-rS\ a cause de e< — j , onaK = r — e> (r )

Pour le cas de 3J à Torigine, cette formule devient très-

simple : K > — ~r — ; mais pour le cas de 31 5*> 204, elle

devient compliquée et, au reste, leur emploi ne serait que curieux.

AuXrt manière de trouver les Emholismiques,

Dans la Correspondance astronomique du baron de Zach (an 1824, xV vol., n<> 4, p. 827), sur la formule de Gauss pour déterminer la Pâque des Juifs, on trouve Texpression

( " ) ^^ Ciccolini, à la page 330, dit :

« Cependant, il me semble qu'elle (la formule) pourrait â être simplifiée davantage si, au lieu d'y employer l'ex-

» pression ( " — j comme il l'a fait, on y employait

«celle-ci f — -- — j car» comme celle-là donne le

» nombre des années communes, celle-ci donne celui des » embolismiquesou bissextiles contenues dans le nombre » À (du millésime bébraîque). »

La lettre r placée ea bas comme ci-dessus, à haùletir du dénominateur, signiQe qu'il ne faut considérer que le reste de la division indiquée; mais pour que les deux susdites expressions conduisent aux rangs des années communes et des embolii^miques, nous allons voir qu'il ne faut considérer que le quotient, et les écrire :

Et d'abord, comme le millésime A devient élevé, simplifions ces expressions en faisant ; A = 19 C -h R, C exprimant les cycles écoulés et R le rang de A dans le cycle du rang C -h 1 ; les deux expressions deviendront :

et comme chaque cycle a 12 années communes et 7 embolismiques, les entiers 12 G et 7 C expriment respectivement le nombre des années communes et des années embolismiques contenues dans les C cycles écoulés : voyons maintenant ce qu'exprimeront les quantités

( Ï9 )q «* (~Î9~")q, ^^"^ ^® dernier cycle.

Donnons successivement à R les valeurs de 1 à 19 et formons le double tableau suivant :

let6

Valeurs de

Projçression par différence croissante dcî-|.

113 er.

6 et i

c r t^ cr

Si — «

as û

Valeurs de

Progression par différence croissante!

de jy.

ipmes

La colonne (4, 5) dont le 1" terme est i + ff , est une progression par diflFérence croissante de {^, el par conséquent chacun de ses termes est bien donné par 1 + H + (R-l)i2 19 + 10 + 12 R— 12 12R + 17 „

lier, colonne 4, exprime bien le nombre des années communes comprises dans les R années du cycle; dans les 10 ou les 11 premières années du cycle, par exemple, il y a bien 7 années communes.

La colonne 5 des fractions que nous désignerons en général par —, el dont le !•» lerrne est ff, est aussi une pro-

gression par différence croissante de jr , m élanl

0 ou 1 selon le cas; et Ton doit remarquer que pour les 7 embolismiques, et pour elles seules, on a : a > 11, et que le nonibre suivant est moindre que celui de Tembolismique. Cette remarque nous servira lors de la démonstration de la formule de Gauss.

7R-f-l Dans la colonne des valeurs de — 7;; — , l'entier, ou co-

lonne 9 , exprime bien le nombre des années embolismiques comprises dans les R années; dans les 8, 9 ou 10 premières années du cycle, par exemple, il y a bien 3 années embolismiques.

On retrouve donc bien dans les colonnes 4 et 9 la place des 7 embolismiques : les 3«, 6«, | 8% 11*, 14«, 17« 1 el 19« années.

La colonne 10 est, à partir de la 4* ligne el en remontant à la l''' et passant de là à la 19% la même que la b^; chaque terme de la colonne (9, 10) est bien donné par 04. • 4.rR n ^ 8 + 7R-7 7R-H

Les fractions des colonnes 5 et 10 sont inutiles ici, mais nous avons retrouvé la colonne 5 dans la recherche do la démonstration de la formule de Gauss pour les Pâques hébraïques, démonstration que nous publierons peut-être plus tard.

De la place du moM intercalaire dans t année.

85. Dans les années embolismiques ou de 13 mois, le mois intercalaire de 30 jours n'est pas placé : ou le dernier de Tannée religieuse ou le dernier de Tannée civile lunaire, comme cela semblerait naturel, à Timitalion des jours ajouléa ou épagomènes des Egyptiens, qui terminent Tan-

née. Munster el Pelau, par leur lablc commune des Fêtes légales et les annuaires, nous montrent qu'il est placé le 6* de Tannée civile lunaire, el conserve le nom à'Adardw 6* mois ordinaire, el qu'il est suivi d'un nouveau mois : 2* Adar ou Yéadar (c'est-à-dire encore Adar), de 29 jours, comme TAdar de l'année ordinaire. Mais nous donnerons au mois embolismîque (Adar T') le n» 5" bis pour ne pas changer le numéro des autres mois.

Les autres auteurs que nous allons citer le placent autrement dans le nouveau calendrier et Tannée civile actuelle; mais cela peut se rapporter aussi à l'ancien calendrier puisque les mois étaient les mêmes.

VArt de vérifier ne nous paraît pas très clair à ce sujet, car on y lit (p. 84) : « Dans les 7 autres, il y en a pareille-

» ment 5 qui n'ont que 29 jours, savoir et Adar, mais

» celui-ci en a 30 dans les années bissextiles (0 solaires. •

Et plus loin : « Outre les 12 mois dont nous venons de » parler, les Juifs en ont un 13"* qu'ils nomment Vé-Adar » ou le 2* Adar qui, comme on a vu ci-devant, est le » 12* (*) de leur année légale ; et ils se servent, à peu près » comme nous, de ce 13" mois (^) intercalaire pour ra- » mener de temps en temps les années lunaires aux an- » nées solaires. »

Schœll et Champollion, par inadvertance, mais naturellement, placent le mois intercalaire k la fin de Tannée religieuse. Scbœll ([, p. 15) dit : « Ils sgoutent à ce mois » (d'Adar, lorsque- la moisson n'est pas mûre) un 13* mois » de 30 jours, appelé Ve-Adar (2* Adar). »

(*) Ce mot de bissextile est souvent employé, mais improprement, pour embolismique,

(') II faut nécessairement lire : le 15' : â moins qu'on ne veuille rappeler qu*il se nomme Adar, le i2o ordinairement !

f) On voit ce l3o mois lunaire dans le placement des nombres épactaux le long des i 2 mois du Calendrier lunaire perpétuel.

EtCbampollion, page 140, dans la même circonstance . « Les Juifs ajoutaient alors un mois de plus ou Adar 2% » de 30 jours, pour compenser ce retard. »

A propos de ce placement du mois intercalaire après le 5"* mois (et nous rappelons le b" bis) et non après le 6* mois, comme il eût semblé naturel de le faire, Nesselmann (^ dit (p. 52) :

« So ist das eine Caprice âhnlicb der christlichen wel- 9 che nicht den 29 sondern den 24 Februar, aïs Scbalttag » bezeicbnet. »

(C'est un caprice pareil à celui des chrétiens qui désignent non le 29, mais le 24 février, comme jour bissextile). Mais ce reproche aux chrétiens est bien extraordinaire de la part d'un homme instruit , car il ne pouvait pas ignorer que ce n'était pas eux qui avaient placé ainsi le jour bissextile, mais Jules César, et par un motif bien fondé, celui de ne pas changer les noms de date de plusieurs jours de février, antérieurs (*).

(^) Auteur dont nous parlerons longuement dans notre chapitre xix. (*) Voir les additions à notre article 12.