Mémoire sur le mouvement de la terre autour de son centre de gravite. Par M. Poisson

L une des plus fécondes méthodes d’analyse que les géomètres aient imaginées, est sans contredit celle qui consiste à faire varier les constantes arbitraires, comprises dans les intégrales des équations différentielles, soit pour en déduire les solutions particulières, soit pour étendre ces intégrales à d’autres équations. Dans la théorie des perturbations des planètes , cette méthode se trouve indiquée par l’observation même, au moins en ce qui concerne les inégalités séculaires; car les constantes arbitraires sont alors les éléments du mouvement elliptique, et d’après l’observation, ces éléments changent de siècle en siècle, excepté le grand axe qui reste invariable quand on fait abstraction des inégalités dépendantes de la configuration des planètes. Ces éléments sont au nombre de six : Euler a donné le premier des expressions différentielles de cinq d’entre eux, dans la pièce qui remporta le prix de notre ancienne Académie pour l’année 1766; mais ce n’est que vingt-cinq ans plus tard que la question a ete

traitée d’une manière directe et sous son véritable point de vue, par Lagrange qui a déduit les différentielles des six éléments elliptiques, du même principe auquel il avait ramené peu (Le temps auparavant les solutions particulières des équations différentielles et l’intégration des équations linéaires qui contiennent un dernier terme indépendant de la variable principale. La matière semblait épuisée, lorsque cette importante théorie reçut dans ces derniers temps une extension et un perfectionnement auxquels on était loin de s’attendre. Lagrange etLaplace ont donné, en 1808, les différentielles des éléments elliptiques au moyen des différences partielles de la fonction perturbatrice prises par rapport aux éléments dont il s’agit et multipliées par des fonctions de ces éléments qui ne renferment pas le temps explicitement. Je n’ai pas besoin de rappeler l’avantage de cette heureuse transformation, surtout pour le calcul des inégalités séculaires, des équations à longues périodes et de celles qui dépendent d’une cause spéciale, comme les inégalités du mouvement de la lune, dues à la forme de la terre. En suivant la direction de son génie qui lui faisait saisir dans les résultats particuliers , ce qu’il était utile de généraliser, Lagrange étendit ses recherches au mouvement d’un système quelconque de corps, sollicité par des forces que l’on 11’aurait pas considérées dans une première approximation ; et il parvint à des formules qui expriment les différences partielles d’une fonction de ces forces, qu’on peut encore appeler la fonction perturbatrice, au moyen des différentielles des constantes primitives, multipliées par des fonctions de ces constantes. J’ai ensuite obtenu des formules inverses de celles-ci, qui donnent immédiatement les différentielles des constantes

arbitraires au moyen des différences partielles de la fonction perturbatrice, et dont les coefficients sont aussi des fonctions qui ne contiennent pas le temps d’une manière explicite. L’application que j’en ai faite successivement aux perturbations du mouvement d’un point attiré vers un centre fixe suivant une loi quelconque, et à celles du mouvement de rotation d’un corps solide, m’a conduit à des formules identiques pour ces deux problèmes si différents l’un de l’autre ; de sorte que les constantes analogues dans les deux questions, ont la meme expression différentielle; résultat singulier que l’on peut considérer comme un théorème de mécanique. Ces deux questions comprennent toute l’astronomie : à la première se rapportent le mouvement des planètes , et celui de leurs satellites et des comètes ; à la seconde, le mouvement de la terre sur elle-même, troublé par l’action du soleil et de la lune, et la libration de notre satellite. Mais quoique ces deux problèmes de la translation et de la rotation des corps célestes, puissent ainsi dépendre d’équations semblables, les solutions qu’on en a données jusqu’à présent ne sont pas les mêmes; et c’est à faire disparaître cette différence que je me suis attaché dans ce nouveau Mémoire. Si l’on excepte une inégalité à longue période qui paraît affecter la longitude moyenne de la lune, mais dont l’existence n’est pas encore bien constatée, toutes les circonstances du mouvement des astres et de la terre que les observations ont fait connaître, les géomètres, et particulièrement l’auteur de la Mécanique céleste, en ont déterminé les iois et la cause d’après le principe de la gravitation universelle. Il ne reste guère maintenant qu’à simplifier les méthodes qu’ils ont employées; et c’est, en effet, les rendre plus simples et

les perfectionner que de les ramener autant qu’il est possible à l’uniformité.

Dans le cas du mouvement des planètes autour du soleil, la petitesse des excentricités et des inclinaisons de leurs orbites, permet de développer la fonction perturbatrice en une série de sinus des multiples de leurs moyens mouvements; or, on peut donner une forme semblable à cette fonction relative au mouvement de rotation de la terre, en observant que la terre tourne à très-peu près autour d’un de ses axes principaux, et considérant l’amplitude des oscillations des pôles de rotation a sa surface, comme une très-petite constante arbitraire dont, on aura à déterminer les variations dues aux forces perturbatrices. Cela étant, si l’on compare les six éléments arbitraires du mouvement de la terre autour de son centre de gravité, aux six éléments du mouvement elliptique, on aura d’une part cette amplitude et la longitude géographique de l’axe de rotation à une époque déterminée, qui répondront à l’excentricité de l’orbite et à la longitude du périhélie; ensuite l’inclinaison de l’équateur et la longitude de son nœud sur l’écliptique, quantités analogues à l’inclinaison et à la longitude du nœud de 1 orbite; enfin, la vitesse angulaire de rotation et la longitude géographique à l’origine du temps, d’une droite tracée dans le plan de l’équateur, qui remplaceront le moyen mouvement ou le grand axe dont il se déduit, et ce qu’on appelle, dans la théorie des planètes, la longitude moyenne de lepoque. C’est sous ce point de vue que je vais envisager la question qui fait l’objet de mon Mémoire.

Equations du mouvement de la terre autour de son centre dç gravité.

(i) Le mouvement d’un corps solide autour d’un de ses points est complètement déterminé, lorsque l’on connaît à chaque instant la position de ses trois axes principaux pas- 4 sant par ce point, celle de l’axe instantané de rotation par rapport à ces trois droites, et la vitesse de rotation du corps autour de cet axe. Nous distinguerons entre eux les axes principaux de la terre qui se coupent à son centre de gravité, par la grandeur des moments d’inertie qui s’y rapportent, et que nous représenterons par A,B,C, en supposant A le plus petit et C le plus grand. Cela étant, menons arbitrairement par le centre de gravité un plan fixe et une droite fixe, tracée dans ce plan ; au bout d’un temps t quelconque, soit 6 l’inclinaison du plan des axes des deux moments A et B sur le plan fixe, <J> l’angle compris entre l’intersection de ces deux plans et la droite fixe, et <p l’angle que fait l’axe du plus petit moment A avec cette intersection ; ces deux derniers angles pouvant s’étendre depuis zéro jusqu’à quatre angles droits, et le premier seulement depuis zéro jusqu’à deux droits; et celui-ci étant toujours l’angle dièdre formé par les deux autres. Ces trois angles ô, et <p seront des fonctions de t; et quand leurs valeurs seront connues, la position des trois axes principaux, et, par conséquent, celle du sphéroïde, le seront aussi.

Au bout du même temps t désignons par 8 la vitesse an-

gulaire de rotation, commune à tous les points de la terre, et par p, q, r, ses composantes relatives aux trois axes principaux ; de sorte qu’on ait

8 2 =p' -hq 2 + r 2 ,

et que les rapports

expriment les cosinus des angles que l’axe instantané de rotation fait avec les axes principaux du plus petit, du moyen et du plus grand moment d’inertie. Les trois quantités/?, q, r, seront aussi des fonctions de t; et l’on aura encre ces inconnues et les précédentes, les équations

rdt=dy — cos. Gcfy,

q dt-=^s\w.§ cos. <%dty sin. <pc/0, (r)

pdt= sin.Osin.' <p dty — cos. ©c/0,

qui ne dépendent pas des forces appliquées au mobile, et résultent uniquement de ce que tous ses points forment un système invariable. Nous ne rappellerons pas l’analyse qui y conduit d’après cette considération ; nous ferons seulement remarquer que r étant la vitesse de rotation autour de l’axe du plus petit moment, rdt est l’angle décrit pendant l’instant dt par tous les points de la terre, parallèlement au plan de ses deux autres axes principaux; cet angle serait d^ si l’intersection de ce plan avec le plan fixe demeurait immobile; mais cette intersection décrivant un angle d ^ sur le plan fixe, dont la projection sur le plan mobile est cos. il

en résulte, en ayant égard au sens de l’accroissement des

angles t|* et <p, que rdt est l’excès de cLy sur cos. 6^^; ce qui donne la première équation (i).

Soient encore M, M', M", les sommes des moments des forces qui agissent sur tous les points de la terre, rapportés respectivement aux axes du plus grand, du moyen et du plus petit moment d’inertie; nous aurons ces trois autres équations :

Cdr+ (B— A)pqdt—Mdt, \

Bdq-h(A — C)prdt=M'dt , J (2)

Adp -4- (C — B) qrdt — Wdt, )

qu’il faudra joindre aux précédentes.

Le problème consistera donc à intégrer ces six équations différentielles du premier ordre, pour en déduire les valeurs des six inconnues p, q, r, ô, <|/ et 9 en fonctions de t et de pareil nombre de constantes arbitraires; ce qui sera possible par des approximations successives, fondées sur la petitesse des forces perturbatrices de la terre dans son mouvement de rotation. Nous n’irons pas au-delà, dans ce Mémoire, des quantités du second ordre par rapport à ces forces. En les négligeant tout-à-fait dans une première approximation, les équations (2) se réduiront à

Cdr -+- (B— A)pqdt=o,

BJ<7-t-(A— C)prdt—o , ( 3 )

A dp -h (C — B) <7r^* = o.

(2) On sait intégrer les équations (1) et ( 3 ) sous forme finie, au moyen de deux intégrales définies; mais dans la question qui nous occupe, il vaudra mieux employer des

intégrales approchées de ces équations, qui nous permettront d’exprimer explicitement les inconnues en fonctions du temps, ce qui ne serait pas possible d’après leurs intégrales exactes. Cette approximation sera fondée sur ce fait que les déplacements des pôles de rotation de la terre à sa surface sont très-petits, puisque les observations n’ont pu jusqu’à présent les rendre sensibles. Cela ne peut avoir lieu qu’autant que l’axe de rotation s’écarte très-peu de l’un des axes principaux, qui doit être celui du plus grand moment d’inertie, à cause que la terré est un sphéroïde aplati sur ses pôles. Il en résulte que les variables p et q sont trèspetites par rapport à r ; en négligeant leur produit, la première équation ( 3 ) donne d’abord

dr~o, r—n;

n étant une constante arbitraire, qui représentera à- très-peu près la vitesse de rotation de la terre. Nous la supposerons positive, ce qui est permis, et revient à dire que l’angle 9 est compté dans le sens de la rotation, l’inclinaison 6 étant moindre qu’un angle droit : l’angle ^ se compte en sens contraire à partir de la ligne fixe qui en est l’origine. Si l’on substitue n à la place de r dans les deux autres équations (3),

11 vient

B dq — (C — A)npdt—o ,

A dp + (C — lï)nq dt=o.

En intégrant celles-ci, faisant pour abréger,

et désignant par e et c les deux constantes arbitraires, nous

AUTOUR DE SON CENTRE DE GRAVITE. Il

aurons

p=aes\n.ab(nt c),

<? =—b ecos.ab(nt -b c).

Les quantités a et b étant réelles par hypothèse, il suffira et il sera nécessaire que la constante e soit très-petite pour que chacune des variables/; et q le soitausri, comme nous lavons supposé.

Je substitue ces valeurs de p et q dans la première équation ( 3 ), d’où je déduis ensuite (B — A)e a

r— n — cos. 2 ab(nt-bc),

Cette seconde valeur de r étant substituée à son tour dans les deux dernières équations ( 3 ), on en déduira de nouvelles valeurs de p et q, plus approchées que les précédentes, et en continuant ainsi, il est évident qu’on obtiendra des valeurs de p, q y r, ordonnées suivant les puissances de e. On voit aussi que les valeurs de p et q ns contiendront que des puissances impaires, et celle de r des puissances paires; si donc nous négligeons le cube et les puissances supérieures de e y il faudra s’arrêter aux valeurs de p, q y r, que nous venons d’écrire.

( 3 ) Après les avoir substituées dans les équations (i), on en déduit

cos. iab{nt -f- c)dt -f- cos.8

dü = — [£sin. <pcos.ab(nt -h c) -b a cos. vs\n.ab(nt cj\edt y sin.Gfi?<j> = — [&cos.çcos.<z6(rc t-bc )—asin.çsin.a&(/2f + c)\edt.

En négligeant la quantité e, et désignant par *, g et / trois constantes arbitraires, on aura d’abord

0=^, tyz=g> <p =z7lt-t~l.

Si l’on tient compte de la première puissance de e, que l’on ait égard aux valeurs de a et &, et que l’on fasse, pour abréger,

~ cos. (n t -h V) cos. a b (n t H- c)— ^ sin. (n t + /) sin. a b (n t + c)=k,

H sin. (n t -+- 1 ) cos. a b {n t + c) H- ^ cos. (nt + l) sin. a b (ji t -h c) = k',

on trouvera, dans cette seconde approximation,

= fl t H- l

k‘ e cos. X «sin.^

n sinA ’

Soient ensuite £0, et $9, les parties de 6, 4» et <p qui dépendent du carré de e; en faisant, encore pour abréger,

g~-|[B(C—A) A(C— B)][i — cos.o.(nt + l)cos.2.ab (nt + cj\ — C(B — A) [cos. z{nt + l )—cos. 2.ab(nt -+-c)\

2 AB ab sin. 2 (nt q- 1 ) sin. 2 a b (nt -t- c) j = h,

j[B(C — A) + A(G — B)] sin. 2 (nt H- l)cos.2ab(nt-+ c ) G (B — A) sin. 2 (n t -t- V)

2 AB<3#cos.2(rc£ + /)sin. 2ab(nt + c)\ =h',

on trouvera facilement

. he'cos.'k

/i’sin.X *

(aC—-A—B) e*t

a h' e* cos. 1

«’sin.’X 1 h' g 3 (i +cos. 3 X) rc a sin. a >.

AUTOUR DE SON CENTRE DE GRAVITE. l 3

Il est évident quen continuant ces approximations successives, on formera des valeurs de 6, et 9 en séries ordonnées suivant les puissances de e : nous nous arrêterons, comme plus haut, au carré inclusivement; mais afin que n soit la seule constante multipliée par t, nous comprendrons le premier terme de &<p dans le terme ni de <p, ou, autrement dit,

nous mettrons n — à la place de n; ce qui mo-

difîera les valeurs de r et <p, et ne changera rien à celles de p t q, 0 et ^, puisqu’on néglige les puissances de c supérieures à la seconde. De cette manière, la solution complète des six équations (1) et ( 3 ) sera exprimée par ces formules :

p — aesiu. a b (n t 4- c), q = — b e cos. a b{nt -h c),

„rc__ (2C-A-B) g

4«c he^cos.y.

rrsin.A 7

k'e 2 A'e’cos. A