COS

<p = nt-h l

«sin.A « a sin. a A 7

k'ec os. A . h' e a (i -h cos. a A)

«sin.A

sin. a X

qui comprennent les six constantes arbitraires n, e, c, L ( 4 ) Maintenant pour avoir égard aux forces perturbatrices, et étendre cette solution aux équations (i) et (2) qui les contiennent, nous emploîrons la méthode connue de la variation des constantes arbitraires. Les formules qui expriment leurs variations, renferment deux fonctions que nous représenterons par ü. et T, dont la première prise avec un signe contraire, sera l’intégrale de la somme des force perturba-

l4 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT DE LA TERRE

trices, multipliées chacune par l’élément de sa direction, et la seconde désignera la demi-somme des forces vives de tous les points du sphéroïde. On y regarde comme une fonction donnée de t et des constantes arbitraires, et T comme une fonction aussi donnée des variables indépendantes qui fixent la position du mobile à chaque instant, et de leurs différentielles par rapport à t. Dans le cas actuel, ces variables sont les trois angles 9 , <[> et 9 ; en faisant donc

dt ~

. .dû do ,

on supposera qu’on ait exprimé T sous la forme :

T = fonct.(0, ^,9,0',<|/, 9').

Cela étant, faisons

dT y dT d T

dÿ dÿ — *'

de sorte que £, 71 et w soient, ainsi que 0 et 9 des fonctions données de t et des six constantes n, c, e, \ , l. Dé¬

signons pardeux de ces constantes; et soit

, f d^d\ d^ d^ d§ djn d§ d’D

V’f ] ~~dfdf df’ df^~ df df df df

d<% d(à d<p d là

+ Tjdf~drdf'’ 1 '

notation d’après laquelle on aura

Les formules d’où dépendent les différentielles des constantes arbitraires devenues variables, seront de la forme *.

-2j.dt={f,n)dn + {fe)de + (fc)dc + (f,\)d\

+ (fig)dg + (fil)dl. ( 6 )

On y mettra successivement n,e y c,\,g, l, à la place de f, ce qui donnera six équations linéaires, d’où l’on tirera les valeurs des six différentielles de ces constantes. Il existe d’autres formules inverses de celle-ci, qui donnent immédiatement les valeurs de ces différentielles au moyen des différences partielles de Cl par rapport à ces mêmes constantes, mais pour lesquelles le calcul des coefficients serait moins facile que celui des quantités que nous désignons par C ff)- On sait, au reste, que ces quantités doivent être des constantes absolues ou des fonctions d’une ou plusieurs des six arbitraires, qui ne renferment pas le temps explicitement ; et c’est, en effet, ce qu’on va vérifier par le calcul de leurs valeurs.

( 5 ) A un instant quelconque, soit r, la distance d’un point quelconque du sphéroïde à l’axe instantané de rotation , et z, ses trois coordonnées parallèles aux axes principaux du plus petit, du moyen et du plus grand moment d’inertie. A cause que les cosinus des angles que fait l’axe de rotation

avec ces trois droites, sont respectivement g , |, g » on aura

tZi

TJ •

D’ailleurs en désignant par dm l’élément différentiel de la masse, et intégrant dans toute l’étendue du sphéroïde, nous aurons aussi à cause des axes principaux :

Jipc* +y, 2 )dm==C, J{z; + x I ')dm=B, JiyS-h z, 2 )dm= A;

au moyen de quoi, nous conclurons de 1 équation precedente :

/ 'Ïr^dm—Ap 2 -h B q 2 -t- C r 2 ;

or, cette intégrale exprime évidemment la somme des forces vives de tous les points du sphéroïde; nous aurons donc pour la demi-somme

T=±Ap 2 +' 7 Bq 2 + '-Cr 2 .

D’après les équations (i), on a

yp=z<j/sin.8sin.<p—G'cos.ç,

2 = <|/sin.6cos.9 h- G'sin.9, r=( p' — <|<cos.&';

si donc on difïérentie T par rapport à <|/, 8 ' et 9 ', il en résultera

£ = A/>sin.Gsin.<p + B<7sin. 8cos. 9—C/’cos.6, 7)=B^sin. 9 — A p cos. 9,

et en substituant dans ces formules, à la place de p, q , r, 8, et 9, leurs valeurs données par les équations (4), on aura celles de » et w dont on a besoin, c’est-à-dire en fonctions de t, n , e, c> \,g et l.

La substitution faite, et en négligeant toujours les puissances de e supérieures au carré, on trouve

S = — Crccos.x + — B )l ‘- cos ^

— C ek' H-

2 CA'e 2 cos.>.

/i sin.X

a = — v -— -*——cos. 2.ab(nt-\-c).

On peut remarquer que la quantité £ est elle-même une constante arbitraire; ce qui tient à ce que \dt exprime la somme des projections sur le plan perpendiculaire à l’axe du plus grand moment d’inertie C, des aires décrites pendant l’instant d t par toutes les molécules de sphéroïde, multipliées par leurs masses respectives.

(6) Il faut donc mettre ces valeurs de £, n et to, et celles de ^ , 0 et <p dans l’équation ( 5 ) pour en déduire les valeurs d ) relatives aux six constantes prises deux à deux. Mais quoique nous ayons tenu compte jusqu’ici des quantités du second ordre par rapport à e, les différences partielles de £, yi, etc. relatives à cette quantité, et par conséquent les valeurs de (n , e), (c, e), etc. qui en dépendent, ne seront exactes qu’aux quantités près de cet ordra exclusivement ; c’est pourquoi nous nous bornerons à ce degré d’approximation pour toutes les valeurs de (/•,/'), c’est-à-dire, que nous rejeterons dans ces valeurs les termes dépendants du carré et des puissances supérieures dee; ce qui en rendra le calcul plus facile.

On trouve alors neuf de ces quantités égales a zéro, savoir,

("• é) = o , (re, c) = o, {n , \) = o, (e, X) =o, (c, \)= o,(c,g) = o, (c , l) = o, (>, /)= o, (g, l) = o ;

et pour les autres, il vient

{n,g) = Ccos.X,

l8 MÉMOIRE SUR LE MOUVEMENT DE LA TERRE

(X,g‘) =— Cn sin.X.

(7) Au moyen de ces résultats, 1 équation (6) donne :

^f=Cc6s.X dg— Cdl,

^dt= ^=^§^ (edl—edc—ecos.y.dg),

i te £zi=!) erfe)

de n G

r dt= — C n sin. X dg,

i n ^ j (C — A) (C—B)cos.X j ^ 7

-dt= —Ccos .\dn -4---^-7;— L - ede -+- Crcsin.Wx,

«Li 1

-d tz=Gdn-

d’où l’on tire réciproquement

j / dci dn\ dt dn = {lTc + 7ï) c>

eue— de (G— A)(C— B) ’ j dn Cndt daedt

eac — ^ ( C __ A ) (C —B) Ta ~C

Jmt dn dt dn cos Xdt ^ dg C n sin. X dl Cn sin. X ’

1 __ dn dt

g d\ C n sin.X ’

,1 rfnCrcsin.X dçidt

dX cos Xdt dn C

D’après les valeurs de 0, et 9 que l’on devra mettre dans cette quantité sera une fonction de n y nt-\- c et nt+l;

si donc on désigne pour un moment par la partie de

la différence partielle, relative aux n non comprises dans nt + c ou nt-\- 1 , sa valeur entière sera

do /a?n\

du V dnj

et en vertu des équations précédentes, on aura

dl 4 - tdn = -

d 0 Qitidt ~ ~de (C- A) (C — B) do cos.\dt / dci\dt ~ dl C/isin.X \dn) G

J J v do Cndt /'«UN edt

e(dc + tdn) — — ~j- e ^ c ^ (C —B) “c" ’

J. ^ j do cos.\dt / dci\ dt

dl -t- 1dn = — ^ CÏÏÏÎÏÏ3 — \25 ) C •

Il en résulte que si l’on remplace c et respectivement par c—Jtdn et l — f*tdn, et si l’on fait attention qu’on a identiquement

nt — Jtdn—Jndt,

la quantité a se changera en une fonction (kn,c+ Jndt

/4- j'ndt , et les différentielles des nouvelles quantités c et l

seront toujours données par la troisième et lp, sixième équation (7), dans lesquelles les différences partielles relatives à n se rapporteront seulement à cette variable en dehors du

signe J', en sorte que si nous faisons

J'n dt — pi,

elles seront prises en regardant la quantité comme con-

stante , ce qui en simplifiera l’expression. En même temps nous aurons

dg ^ dg dg .

de dl d\ l 7

et la première équation (7) deviendra

j dg dt zo\

On pourra aussi transformer plusieurs des quantités n , e, c, X,g-, l en d’autres, et exprimer les différentielles de celles-ci au moyen de différences partielles de Cl qui s’y rapportent. Soit, par exemple ,

esin .abc-=zf i ecos. abc'—f'\

on en conclura

df=s\n.abcde -+- abecos.abcdc, df = eos .abcde — abesxn.ab c de >

d g f dg f'dg

de e df + e df' ’ d g » d g j d g

dï= ah Sdf- ah fdf-’

et d’après la deuxième et la troisième équation (7) , on aura pour les remplacer :

j,. dg C ndt dg abf'dt \

df'XKab ~df C 5 |

1 w dg Çindt dg abfdt ( 9 )

~-~dfÂB^b + d7i~~(r~ ’ J

en observant que

(C—A) (C—B) = ABæ’ b\

Ces différentes formules, jointes aux équations ( 4 ), renferment la solution demandée des équations (i)et (2). Nous allons développer les conséquences qui en résultent, soit relativement aux pôles et à la vitesse de rotation de la terre, soit par rapport au mouvement de ses axes principaux autour de son centre de gravité. Ces formules conviendraient aussi au mouvement de rotation de la lune, troublé par l’action de la terre; mais on n’en déduirait par les mêmes conséquences que pour le sphéroïde terrestre, parce que dans le cas de la lune, il existe un rapport commensurable, le rapport d’égalité, entre le moyen mouvement de rotation et le moyen mouvement du centre de la force perturbatrice.