Partie des recherches mathématiques

M. Marestier a tourné ses vues de ce côté ; il a commencé par recueillir les données relatives à cette position , à cette gran-r deur, à cette forme des principales parties, pour les bateaux le*

À l'institut. ,j plus estimés parmi ceux qu'on emploie aux États-Unis. Ensuite, ij a déduit des données fournies par l'expérience sur la vîtesse des mêmes bateaux, des rapports mathématiques qui peuvent servir de règle pratique aux constructeurs qui voudront exécuter d'une manière raisonnée des navires à vapeur.

Sans doute les lois mathématiques auxquelles sont assujéties et la marche du navire, et l'action de la vapeur, d'après l'élévation de sa température et la perte de forces due aux frottemens de toute espèce; ces lois, dis- je, ne sont pas encore assez exactement connues, pour espérer d'atteindre à des résultats parfaitement exacts dans l'évaluation des effets qui dépendent de ces lois. II n'y a pas seulement incertitude numérique plus ou moins étendue dans les valeurs finales auxquelles on arrive. L'incertitude s'étend sur les rapports mêmes qu'on essaie d'établir entre les quantités qu'on veut soumettre au calcul.

Néanmoins, en consultant avec soin l'expérience, on peut s'assurer, à posteriori, si les relations madiématiques auxquelles on s'est élevé par des hypothèses plausibles, s'éloignent ou se rapprochent des véritables résultats donnes par la nature et par les essais de l'art. On obtient alors des règles pratiques auxquelles on ne seroit jamais arrivé sans une théorie d'approximation. Telle est la marche qui doit guider les ingénieurs dans les parties de leur art où la science ne peut pas encore donner des solutions parfaitement rigoureuses. Telle est la marche que M. Marestier a dû suivre pour arriver aux résultats dont nous avons maintenant à rendre compte.

C'est ainsi qu'il a cherché les rapports qui doivent exister, ou du moins qu'on peut sans inconvénient regarder comme établis , entre la force des machines à vapeur, la grandeur des roues et de leurs aubes, et les dimensions principales du navire.

En partant de ces données prises sur dix bateaux dont il avoit observé la marche , il a comparé :

l6 RAPPORT

i .° La tension habituelle de la vapeur ; 2. 0 le nombre de tours faits par les roues, dans une minute; 3. 0 la vftesse du piston, correspondante à cette vitesse des roues; 4° 'e rapport de la surface d'une aube à celle d'un rectangle ayant la largeur du bateau pour base, et le tirant d'eau pour hauteur (1) ; 5. 0 l'espace parcouru, dans une seconde, par l'arête intérieure des aubes; vitesse qui doit être au moins aussi grande que celle du bateau , si l'on ne veut pas que la partie intérieure des aubes frappe le fluide dans un sens opposé à la marche du bateau ; 6.° la vitesse du bateau estimée, en mètres , durant une seconde, pour le calcul mathématique, et en nœuds, durant une heure, pour l'usage des marins; 7. 0 le nombre par lequel il faut multiplier la vîtesse du bateau, divisée par le nombre des doubles oscillations du piston, pour avoir le diamètre des aubes; 8.° le multiplicateur qui fait connoître le rapport de la vîtesse du navire avec la fonction suivante :

Le diamètre du cylindre de la machine multiplié par la racine carrée du produit de l'espace que le piston parcourt, et de la hauteur de la colonne de mercure que supporte la vapeur ; et ce résultat divisé par la racine carrée du produit de la largeur du bateau , de son tirant d'eau, et du diamètre des roues à aubes.

Par des calculs donnés dans les notes du premier Mémoire, M. Marestier arrive à plusieurs conclusions qu'on ne doit regarder, pour la plupart , que comme les expressions approchées des véritables lois qui nous sont encore inconnues. Nous citons en note l'énoncé des rapports approximatifs auquel l'auteur est parvenu (2).

(1 ) M. Marestier examine les avantages et les irteonvéniens des grandes et des petite* aubes, par rapport à la vitesse, &c.

( 2 ) i.° Le cube de la vitesse du bateau est plus petit que la force de la machine divisée par la résistance du baieau , et le cube de la vitesse moyenne des aubes est plus grand que

À l'institut. 17 Ce multiplicateur n'est pas un nombre constant ; il varie de 20,29 à 27,65 pour les bateaux que M. Marestier soumet à ses calculs.

La moyenne de tous les multiplicateurs, à l'exception d'un seul que M. Marestier rejette, parce qu'il n'est pas sûr de la vitesse du bateau qui lui correspond, cette moyenne, dis- je, égale 23,41- Cependant M. Marestier préfère le nombre 22 : es exemples mêmes auxquels il applique ce dernier multiplicateur , nous semblent démontrer qu'il vaudroit mieux employer le premier (1).

Il importe d'observer que le multiplicateur, cherché par M. Ma-

cette même quantité qui est la limite du cube de l'une et de l'autre vitesse, limite qui ne pourrait être atteinte que si les aubes étoient infinies.

2. * La vitesse du bateau est en raison directe de la racine cubique de la force de la machine, et en raison inverse de là racine cubique de la résistance du bateau et de la quantité 1 ■+- ~ ; la résistance du bateau étant représenté par b* , et celle des aubes par a*.

3. e Le rapport de la quantité i-h'-i déterminée pour un bateau, à la quantité analogue y/ 1 -+- , déterminée pour un autre bateau, différant peu de l'unité, la vitesse

d'un bateau est à peu prés proportionnelle à la racine cubique de la force de la machine, divisée par la racine cubique de la résistance du bateau.

4-° La vitesse d'un bateau est par sotte à peu prés égale à un coefficient constant, multiplié par la racine cubique du produit

De la hauteur de la colonne de mercure que la vapeur peut supporter,

Du carré du diamètre du piston ,

De la course du piston,

Et du nombre de fois qu'il s'élève en une minute.

Ce produit divisé par la racine cubique du produit de la largeur du bateau , Et de son tirant d'eau.

Ce dernier rapport conduit à la valeur que nous avons déjà donnée pour le multiplicattur de la simple vitesse.

(1 ) En appliquant le nombre 22 à la recherche de la vitesse du bateau à vapeur l'Africain , construit pour la marine française, M. Marestier trouve une vitesse trop foible de 0,04. En prenant 23 , 4 1 , on trouve une valeur qui ne diffère pas de 2 pour cent de la vitesse donnée par l'expérience.

Si l'on prenoit 22 pour valeur moyenne du multiplicateur, ainsi que M. Marestier l'a fait dans son Mémoire , on pourrait dans plusieurs cas n'avoir pas la véritable vitesse à un dixième prés ; c'est ce qui arrive , par exemple, au bateau la Virginie, pour lequel une vitesse

l8 RAPPORT

restier, dépend de la bonté des machines à vapeur, de l'engrenage plus ou moins bien exécuté pour la transmission des mouvemens, de la structure du navire, des formes mêmes et des proportions de la carène, &c. A mesure qu'on perfectionnera ces diverses parties, le multiplicateur de la vitesse augmentera de grandeur (i) , toutes choses égales d'ailleurs; mais cet accroissement même , constaté soigneusement par d'habiles ingénieurs , fera connoitre le progrès de l'art.

Poursuivons l'examen des rapports établis par M. Marestier, entre les divers élémens d'où dépend la marche des bateaux à vapeur.

Par une application fort simple de la méthode de maximis et mirùmis , il arrive à cette conclusion : la vitesse d'un bateau remontant un cours d'eau quelconque, doit être une fois et demie la vîtesse du courant , pour que la consommation de forces payées ( c'est-à-dire la consommation du combustible ) soit la moindre possible; mais presque toujours cette vîtesse est audessous de celle qu'il faut atteindre pour satisfaire aux besoins du commerce, et sur-touf aux besoins de la circulation des voyageurs.

Dans le cas où le bateau remonte avec une fois et demie la

de 3«",3 par seconde, exige un multiplicateur égal à 25 , 24. Alors 22 pris pour multiplicateur, donneroit pour vitesse un nombre trop foible de prés de 1 j pour cent.

En prenant 2j , 4 1 , pour multiplicateur, on trouveroit une vitesse qui ne serait trop foible que d'un peu moins de 8 pour cent.

Quant aux deux bateaux la Dtlawart et 1rs États-Unis qui donnent des multiplicateurs au-dessous de 22, il faudrait connoître si, dans les particularités de leurs formes, il n'y a lien d'extraordinaire qui puisse expliquer la foibiesse extrême de leurs multiplicateurs. Or, on voit dans les notes du Mémoire de M. Marestier qu'un de ces deux bateaux avoit les formes très-massives et peu favorables à la marche : il est probable qu'il existe une cause analogue pour l'autre bateau.

( 1 ) Peut-être que dans le Savannah, pour lequel le multiplicateur est fort supérieur à la valeur moyenne , il existe déjà des perfection ncmens qui n'existent pas dans les autres bateaux.

vîtesse du courant, il faut trois fois plus de force motrice, si cette force agit à bord, soit par une machine à vapeur, soit par un manège, qu'en se halant d'un point fixe comme le rivage.

Lorsque le courant est fort rapide, si la force dont on dispose est à bord, il devient avantageux de remonter en se halant du bord même, sur un cordage fixé à quelque point au-dessus du navire; mais s'il faut remonter quand le courant a peu de vîtesse, et dans tous les cas s'il faut descendre, on doit préférer l'emploi des roues à aubes mues par la force intérieure du bâtiment. Les caractères de ces modes d'action ont été reconnus par plusieurs mécaniciens qui ont fait usage du premier mode pour passer les ponts ou remonter des fleuves rapides, tandis qu'ils ont généralement préféré le second pour descendre les cours d'eau.

Les résultats que nous venons d énumérer ne sont qu'indiqués dans le corps du Mémoire. Tous les moyens de calcul sont rejetés dans une note : par ce moyen l'auteur a mis son mémoire à la portée des lecteurs qui ne sont pas versés dans les applications du calcul à l'effet des machines.

Il a pareillement rejeté dans une note les calculs nécessaires à la recherche approximative des effets des machines à simple et à haute pression, et des machines à rotation immédiate employées pour faire marcher les bateaux. Il reconnoît une grande économie de combustible dans l'emploi des machines à haute pression, et ne partage nullement les craintes qui les ont fait abandonner en Europe pour la navigation.

Suite des descriptions.

Après avoir exposé l'ensemble des résultats mathématiques auxquels est parvenu M. Marestier, nous allons le suivre dans ses descriptions des bateaux à vapeur exécutés en Amérique.

Il accompagne de détails de construction, de structure et d'installation , les plans parfaitement dessinés des bateaux, le Chancelier Livingston, navire de quatre cents tonneaux mu par une machine équivalente à la force de soixante chevaux; le Fulton, bateau remarquable en ce qu'il est le premier dont la carène n'ait pas un fond plat et horizontal ; le Washington; le Savannah qui porte trois mâts verticaux et qui a fait les voyages de New-York à Liverpool et à Pétérsbourg, en employant tour-à-tour la force de ses voiles et celle de sa machine ; enfin le Paragon, destiné par l'auteur à présenter le modèle d'un bateau à vapeur qui porte des voiles sur deux mâts verticaux.

M. Marestier décrit ensuite Jes bateaux à double carène employés, comme en Angleterre, au passage des rivières. La vaste plate-forme, établie sur les deux carènes et sur l'espace qui les sépare , espace où jouent les roues à aubes , rend ces bateaux très-commodes pour le passage des chevaux, des voitures, des bestiaux, &c; mais ces bateaux vont moins vite que s'ils n'avoient qu'une carène continue, dont la capacité fût égale à celle des deux carènes isolées. Quand ils sont près d'aborder le rivage, on change la direction du jeu des roues, et l'on amortit promptement la vitesse acquise en vertu de laquelle le bateau se briseroit contre les quais.

Aux États-Unis, on remplace quelquefois par un manège de chevaux la machine à vapeur des bateaux à double carène. L auteur décrit les communications de mouvement que ce système nécessite, i.° quand le plan du manège est horizontal; 2. 0 quand

À l'institut. 2 1

il est incliné. Dans ce dernier cas, ion tire sans doute un plus grand parti de la force des chevaux, mais on les fatigue beaucoup plus. M. Marestier observe avec justice que la première idée de faire avancer des bateaux par un manège a pris naissance dans notre patrie : c'est ce qu'on peut voir dans le recueil des machines approuvées par l'Académie pour l'année 1732.

La quatrième partie du premier Mémoire, l'une des plus importantes et la moins susceptible d'analyse, est consacrée à la description des machines à vapeur employées sur les bateaux d'Amérique.

M. Marestier donne d'abord les plans et la description d'une machine perfectionnée, à pression simple et à double effet, telle que la plupart de celles qu'on emploie maintenant à bord des bateaux américains.

Nous avons dit que la première machine , exécutée pour les bateaux de Fulton, fut construite par Watt et d'après son système, que d'abord on suivit aux États-Unis. Les Américains profitèrent ensuite des perfectionnemens imaginés, soit en Europe, soit dans leur propre contrée.

L'auteur donne les plans et la description d'une machine à haute pression , telle qu'il l'a trouvée à bord du bateau l'Etna, de Philadelphie. Les machines de ce genre ne sont que rarement employées pour des navires à vapeur. Elles ont été construites par Olivier Êvans, auquel on doit un bon traité sur ces machines qu'il a beaucoup perfectionnées : elles jouent, à bord des bateaux, par l'effet d'une vapeur dont la force élastique égale celle de dix atmosphères.

M. Marestier fait au sujet de ces machines une remarque trèsjudicieuse :

« Plusieurs auteurs, dit-il, ont calculé les effets de la vapeur qui se dilate; mais aucun, que je sache, n'a eu égard à l'abaissement de température qu'elle éprouve. Ils sont arrivés à des valeurs

de cet effet qui sont trop considérables, et que je crois inutile de rapporter. On ne parviendra à des résultats précis que lorsqu'on aura vérifié, à de hautes températures, les lois de la formation et de la dilatation des vapeurs , et reconnu celle que suit la force expansive , &c.

» Dans l'état actuel de nos connoissances, l'expérience seule, ajoute-t-ii avec raison , me paroît devoir déterminer la durée de l'introduction de la vapeur dans le cylindre. »

Pour calculer l'épaisseur de sa chaudière, Olivier Evans part de ce principe auquel parvint le géomètre Parent, ancien membre de l'Académie des sciences, et qu'on trouve consigné par Bélidor dans son architecture hydraulique : La pression normale exercée contre la paroi circulaire d'un tuyau cylindrique , par la vapeur contenue dans le tuyau, est à l'effort qui tend à déchirer cette paroi, tangentiellement au cercle qui marque son contour , comme la circonférence de ce tuyau est à son rayon.

En calculant, d'après ce principe et d'après des faits d'expérience , la force à laquelle une chaudière peut résister, M. Evans exige que cette résistance soit dix fois aussi grande que la force à laquelle elle devra s'opposer quand la machine exercera la haute pression de sa vapeur (i). Par conséquent, à moins d'une négligence extrême, il semble impossible que la force de la vapeur s'accroisse au-delà de ses limites ordinaires, jusqu'à décupler de valeur et devenir assez grande pour occasionner la rupture de la chaudière. Si de temps à autre, dit M. Marestier, on ouvre la soupape de sûreté pour s'assurer que rien ne l'empêche de jouer, on doit être sans inquiétude sur des machines qui, par leur légèreté, le peu d'emplacement qu'elles exigent, l'économie sur les frais d'établissement et sur la dépense du combustible, peuvent être utiles dans beaucoup d'occasions.

( i ) Le contour de* chaudière» e»t en fer forgé : le» baie» sont en fer coulé.

En 1 8 1 8 , M. Evans a soutenu, sans qu'on l'ait réfute , que toutes les chaudières de bateaux à vapeur qui ont crevé en Amérique, appartenoient à des machines à simple pression. La seule exception qu'on ait citée est celle du bateau la Constitution, qu'on avoit construite en s'écartant des principes établis par M. Evans.

Pour montrer l'effet des machines à haute pression, d'après le système de cet habile mécanicien, M. Marestier cite la machine établie à Philadelphie pour élever les eaux. En vingt-quatre heures elle élève à trente mètres plus de vingt mille tonneaux d'eau, et ne consomme que quarante- trois stères et demi de bois qu'on emploie directement au lieu de charbon fossile : elle n'a coûté que 1 23,000 francs, tandis qu'une machine ordinaire, exécutée pour produire les mêmes résultats, auroit coûté ( en Amérique ) 200,000 francs.

L'auteur compare les machines d'Evans à celles de Wolf, perfectionnées par M. Edwards. Les premières occupent moins de place, sont plus légères, n'ont à vaincre que le frottement d'un seul piston , enfin sont moins coûteuses et plus faciles à fabriquer; mais celles d'Edwards ont aussi des avantages qui leur sont propres : elles sont préférables quand il s'agit de produire un mouvement très-uniforme, &c.

Enfin, M. Marestier décrit une machine à vapeur qui communique immédiatement aux roues du bateau la rotation qu'elles doivent prendre, sans recourir à l'intermédiaire des mouvemens alternatifs d'un piston. Une machine de ce genre équivalente à la force de soixante chevaux, fut établie à bord du bateau la Surprise: c'est celle que M. Marestier décrit. Dans le jeu de cette machine, exécutée par M. Stiles, de Baltimore, la pression est quintuple de celle de l'atmosphère. On obtient un mouvement régulier de rotation sans avoir besoin, comme pour la machine d'Evans, d'employer un balancier; mais cet avantage est en partie compensé par l'inconvénient de ne pas profiter du développe -

ment de la force élastique de ia vapeur, réduite par degrés à de moindres termes avant qu'on la laisse échapper.

La machine de soixante chevaux, établie à bord de la Surprise, consomme en seize heures vingt-deux stères de bois. On assure qu'elle a fait, durant ce temps, parcourir cent vingt milles nautiques au bateau, et qu'il gagnoit de vitesse tous les bateaux qui, en 1817, existoient à Baltimore.

La machine et ses chaudières coûtent 66,000 francs, pour une force de soixante chevaux; et 44.000 francs, pour une force de trente chevaux : elle est plus simple , et susceptible de tenir dans un espace plus petit encore que les machines d'Evans.

Après avoir fait connoître les avantages respectifs de la structure des diverses espèces de machines à vapeur, M. Marestier décrit les différentes manières d'établir ces machines à bord des bateaux. Il finit, en donnant sur la construction et sur le service des chaudières, plusieurs résultats d'observation qui ne peuvent être que d'une grande utilité pour les praticiens.

Les Américains, depuis plusieurs années, ne font plus qu'en cuivre les chaudières qui doivent servir aux machines à vapeur ordinaires entretenues avec de l'eau de mer. Le dépôt de cette eau adhère peu au cuivre qui se gerce moins aisément que le fer, et qui est plus ductile. Lorsque les bateaux font de longs voyages, il faut chaque jour renouveler plusieurs fois par parties l'eau de la chaudière, afin d'empêcher qu'un sédiment trop abondant ne se précipite. On se contente, à la fin de chaque voyage, de nettoyer les bateaux qui ne font pas de trajets de plus de vingtquatre heures. Ce nombre d'heures suffit pour qu'il se forme un précipité dont l'épaisseur va jusqu'à un millimètre et demi. Comme ce sédiment est très-dur, on pourroit, dit l'auteur, par l'évaporisation de l'eau marine, à une certaine température, se procurer des empreintes assez solides.

Les notes du Mémoire dont nous venons de présenter l'analyse

contiennent des explications et des démonstrations que l'auteur n'a pas cru devoir donner dans le texte.

Une première note est consacrée aux bateaux à vapeur les plus remarquables que l'auteur a vus dans les différens ports, ou sur lesquels il a navigué. Il rapporte avec soin les vitesses qu'il a calculées lui même, soit d'après la durée totale ou partielle de leurs voyages , soit d'après le temps qu'ils ont mis à parcourir un espace égal à leur longueur.

Au sujet des bateaux de l'état de New -York, M. Marestier présente le tableau de la grande navigation intérieure que les Américains travaillent maintenant à compléter.

New-York est au fond d'une vaste baie, à l'extrémité d'une île située au milieu du fleuve Hudson. En partant d'Albany ou de New-York, quarante-six écluses élèveront les bateaux à cent vingt -huit mètres au-dessus de l'Hudson; en parcourant cent quatre-vingt-deux kilomètres, ils arriveront à Rome, descendront de là dans le bassin du Ténessée; remonteront au moyen de vingt-cinq écluses, puis entreront dans le lac Érié, à deux cent soixante-deux kilomètres du Ténessée : alors ils se trouveront élevés de cent soixante-douze mètres au-dessus de l'Hudson.

Des embranchemens du canal , formés par des rivières rendues navigables, conduiront au lac Ontario, séparé maintenant du lac Érié par la grande chute du Niagara , impraticable à la navigation.

Le seul bassin du Mississipi comprend une superficie égale à six fois celle de la France. Ce fleuve qui charie beaucoup de limon, a ses bords trop vaseux, il a des hausses et des baisses trop grandes pour qu'on puisse pratiquer sur ses bords des chemins de halage.

C'est d'ordinaire à force de rames et quelquefois en se haiant sur des points fixes au moyen d'un cordage tiré du bord, que les bateaux remontent le fleuve; ils ne peuvent guère avancer que de quatorze à quinze milles par jour, malgré le grand nombre

des mariniers et leur attention à naviguer dans les parties du fleuve où le courant a le moins de rapidité.

On croyoit que la vitesse du Mississipi étoit de trois nœuds et demi, tandis qu'elle n'est en> réalité ( terme moyen ) que de deux nœuds et demi. Cette erreur a fait qu'on a demandé des bateaux à vapeur qui pussent marcher fort vite afin de remonter le fleuve. Cette erreur fut donc favorable aux progrès de l'art, et fit faire des efforts de plus en plus grands pour obtenir de meilleurs bateaux marcheurs. Dès 1 8 1 1 , Fulton mérita d'obtenir le privilège exclusif qu'il obtint, en effet, de l'état de la Louisiane, pour naviguer sur ce fleuve avec des bateaux à vapeur.

Les bateaux employés en Amérique présentent beaucoup de variétés : la plupart ont deux roues sur les côtés; quelques-uns n'ont qu'une roue placée à l'arrière, comme pour les bateaux qui naviguent actuellement sur la Seine.

M. Marestier présente une liste des principaux bateaux à vapeur qui naviguent sur le Mississipi et sur les rivières qui se jettent dans ce fleuve, en accompagnant de notes explicatives le nom de chaque bateau sur lequel il a pu se procurer des renseignemens particuliers.

L'estimation de la vitesse des bateaux à vapeur, intéressante pour juger des effets de la machine, dépend de la durée des voyages et de la longueur des distances. M. Marestier discute ces distances, et cherche à déterminer les plus vraisemblables par-tout où il y a des différences dans les valeurs données par les marins ou les géographes. Il donne ensuite l'idée des calculs de Fulton pour déterminer les effets de la force de la vapeur appliquée à la navigation.

Trois notes fort remarquables, et dont nous avons déjà parlé, présentent les recherches nécessaires au calcul de l'effet des diverses espèces de machines à vapeur employées à bord des bateaux.

À l'institut. 27 La neuvième et dernière note offre la description de divers moyens imaginés, ou seulement exécutés par les Américains, pour remplacer l'action des rames par d'autres agens mécaniques.

Signé Sané, Biot, Poisson, et Charles Dupin, rapporteur.

L'Académie approuve le rapport et en adopte les conclusions.

Certifié conforme :

Le Secrétaire perpétuel pour les sciences mathématiques ,

Signé B. on Fourier.