CHAPITRE PREMIER

IV«nvelleB numnleH générales exprimant le» flérommiloii* d'Hne pièce Oéclile, dont la ligne moyenne eHt une coarbe plane. — Réclproelté de» déplacements,

g 1«. — Hypothèses .

Nous admettrons que les sections normales ù la ligne moyenne,

planes avant la flexion, restent planes après, et nous supposerons

établie la formule connue :

qui résulte immédiatement de cette hypothèse.

Nous admettrons également le principe de la superposition des effets élastiques des forces extérieures, et, comme corollaire, celui de la proportionnalité des forces et des déformRtions correspondantes. ''

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§ 2. — Définitions.

Les différentes espèces de liaisons auxquelles une poutre, droite ou courbe, peut être soumise, sont les suivantes :

1" Un point de la poutre, pris dans le plan de flexion, est assujetti à demeurer sur une droite de ce plan : c'est le cas du repos libre ;

2" Un point est assujetti à rester entièrement fixe : c'est le cas d'une articulation;

3" Une section est astreinte à conserver une position invariable : c'est le cas d'un encastremmt.

La flexion étant plane, le nombre des conditions générales d'équilibre se réduit à trois, qui se traduisent par deux équations de projection et une équation de moments.

On reconnaît facilement que les forces de liaison, ou réactions, sont calculables par ces équations, dans les deux hypothèses suivantes :

1" Système de liaisons A" 4. — Un point de la poutre est assujetti à rester entièrement fixe, tandis qu'un autre point est astreint à demeurer sur une droite donnée du plan de flexion ;

2" Système de liaisons N" 2. — Une section est assujettie à conserver une position invariable.

Dès qu'une liaison vient s'ajouter à celles de l'un ou de l'autre système, les forces équivalant aux liaisons ne sont plus indépendantes des déformations élastiques. Mais si l'on remplace cette liaison supplémentaire par la force capable d'en tenir lieu, les autres liaisons redeviennent indépendantes des déformations et les forces correspondantes sont alors calculables par les équations générales d'équilibre.

Nous appellerons les liaisons des systèmes N°^ 1 et 2 liaisons indépendantes de l'élasticité. Toute liaison supplémentaire sera dite dépendante de l'élasticité ou surabondante,

§ a. — Travail accompli pendant la déformation.

Sur une pièce supposée sans poids., astreinte ou non à des liaisons surabondantes, appliquons des forces quelconques, situées

dans le plan de la ligne moyenne. Imaginons que, partant de la valeur initiale zéro, les intensités de ces forces aillent en croissant progressivement jusqu'à des valeurs fmales données; les forces intérieures développées dans la pièce croîtront en même temps, de la valeur zéro jusqu'à des valeurs correspondant à l'état d'équilibre définitif.

Pendant ce mouvement, les forces extérieures directement appliquées et les forces intérieures ont accompli des travaux dont la somme est nulle en vertu du principe des forces vives, puisque les molécules sont parties de l'état de repos pour parvenir à un nouvel état de repos et que les travaux des forces de liaison sont nuls en raison de la nature purement géométrique de ces liaisons.

Calculons en premier lieu les travaux des forces intérieures.

Soient à un instant donné, pendant la déformation, RdS, R,dS, les composantes perpendiculaire et parallèle à la section M N, de la force intérieure agissant sur un élément superficiel dS situé à une distance v du centre de gravité de cette section ((>g. 4).

Évaluons d'abord le travail des efforts longitudinaux R rfS.

Appelons ds l'épaisseur de la tranche infiniment petite MNPQ, mesurée avant toute déformation ; c'est aussi la longueur de la fibre pm de section transversale dS.

A l'instant considéré, cette longueur s'est accrue d'une quantité a (rfs), liée à la valeur de R correspondante par la formule connue :

a(rfs)

dans laquelle E désigne le coefficient d'élasticité de la matière dans le sens longitudinal des fibres.

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La flexion continuant, R s'accroît de sa différentielle dRy tandis que l'allongement A(rfs) s'accroît de sa différentielle cl[i(ds)]; il en résulte pour la ûhte pm de section dS, un travail élémeotaire exprimé par :

R dS X d[x(ds)] ^RdSxd{^ds\ = B.dsi^ ds

= ^^dSd.

Pour la flexion complète, c'est-à-dire depuis l'instant où R part de la valeur zéro, jusqu'au moment où il atteint la valeur finale R, le travail a pour expression :

Four passer de là au travail développé dans toute la tranche

M N P Q, il suffit de remplacer R par sa valeur — = ^-, et

d'inlégrer la fonction obtenue dans toute l'étendue de la section, ce qui donne :

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