M» , N' \ = Y''''(eT + ës
car I vHS=l, j vdS=0, j dS=S.
Enfin, pour toute la poutre AB, le travail des efforts intérieurs longitudinaux a pour expression :
l'intégrale portant sur toute l'étendue de la poutre
DigiLizedbyGoOglc
On établit d'une manière analogue que le travail des efforts intérieurs R, dS, transversaux à la pièce, est donné par la formule :
dans laquelle T représente l'effort tranchant et G le coefficient d'élasticité de la matière dans le sens transversai aux fibres.
Le travail total des efforts intérieurs a finalement pour valeur absolue :
2 / l,EI "•" ES "
nw)
Si maintenant nous représentons par 6 le travail total des forces extérieures pendant la déformation, nous pouvons poser la formule fondamentale :
^-T / (-Ër + -Ës- + w)''^ = "'
ou
en remarquant que les forces intérieures étant résistantes, leur travail est négatif.
S 4. — Déplacement du point d'application d'une loroe extérieure, pendant la déformation.
En un point D de la poutre AB (fig. 2), appliquons une force extérieure, dont l'intensité, — ainsi qu'il a été dit plus haut, — est d'abord nulle et croît progressivement jusqu'à une Fig. 2.
Simite donnée.
JEn vertu du principe de la superposition, admis dès le début :
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f° Le déplacement DD' du point D est rectiligne ;
2" Il est, à chaque instant de la déformation, proportionnel à l'intensité F de la force extérieure au même instant, et il en est de même, par suite, de la projection DD" de ce déplacement sur la direction de la force F; en sorte qu'on peut poser :
DD" = i F, X étant un coefficient constant représentant la valeur de la projection du déplacement du point D, sous l'action d'une force de môme direction et du même sens que F, mais égale à l'unité.
Lorsqu'à partir de l'instant considéré, F s'accroît de sa différentielle dV, DD" s'accroît de sa différentielle: d(DD") = d(iF) = IdF, et le travail élémentaire accompli par F a pour expression : FxdF = XFdF.
Le travail total delà force F, depuis l'instant où elle commence à agir en parlant de la valeur zéro, jusqu'à l'instant où elle atteint la valeur F, est donné par la formule :
d'où, en verta de l'équation (1) :
= / lF(iF = -i XF';
quation (1) :
Or, X F est égal à la projection sur F du déplacement total du point D, sous l'action de la force F, projection que nous représenterons par l et qui, dès lors, est exprimée par :
(2 bis) l r=
— F / VeI ^" ES "^"GS"/ '
dans laquelle H, N, T sont les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants produits par la force F,
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s s. — Angl« décrit pendant la déformation par nne section à laquelle est appliqué on couple extérieur, dont l'axe est dirigé perpandloulairement au plan de la ligne moyenne.
Soit G l'intensité de ce couple qui, ayant à l'origine de la déformation la valeur zéro, crott jusqu'à une valeur finale que nous représenterons également par C.
L'angle DaD' (fig. 3) dont, à un instant donné, a tourné la section D, est proportionnel à la valeur de C j^ au même instant; de sorte qu'on peut poser : D aB' = y C, y étant un coefficient constant, représentant le déplacement angulaire de la section D sous l'action d'un couple de même sens que C, mais égal à l'unité.
Le travail élémentaire développé par le couple, lorsqu'il passe de la valeur C à celle C -\- dC, est ;
Cd(DaD') = Cd(TC)=: yCdC; et le travail total, depuis l'instant où le couple commence à agir, jusqu'à l'instant où il atteint la valeur finale G, est donné par la formule :
f vC* = -|-yC?;
d'où, en vertu de (1) :
(3) ïC'= /
Or, l'angle total g, dont le couple C a fait tourner la section D, est égal à Y C ; il est donc exprimé par la formule :
rail 1 / /M' , N" , T' \ ,
dans laquelle M, N, T représentent les moments fléchissants, tenaioDS longitudinales et efforts tranchants produits par le couple G.
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§ 6. — Déplacement d'nn point quelconque d'une poutre soumise en un de ses points à l'actioii d'une force extérieure, — Premier théorème de réciprocité .
Considérons d'abord deux forces appliquées en deux points (1) el (2i et dont les intensités, infiniment petites au début, croissent jusqu'à des valeurs finales données. Soient, à un instant déterminé, (!'), {2'), les positions des points (1) et (2); F,, Fj, les valeurs correspondantes des deux forces (fig. 4).
Le déplacement (1) (!') est la résultante des déplacements que prendrait le point (1 ) si les forces F, et Fj agissaient successivement sur la poutre (principe de la superposition desefl'ets élastiques); la projection (!) (l'')de ce chemin est donc la somme algébrique des projections de ces mêmes d<;p lacements. D'ailleurs, ces dernières projections sont proportionnelles aux intensités F, et F^ des forces à l'instant considéré. On peut donc poser :
où X,, Xj sont des coefficients ayant les significations suivantes :
A^ est le déplacement qu'une force égale à l'unité, de mèrae direction et de même sens que F^, imprimerait à son point d'application (1), ce déplacement étant estimé suivant la direction même de cette force.
Xj est le déplacement qu'une force égale à l'unité, appliquée au point (2) et ayant même direction et même sens que Fj, imprimerait au point (1) de la poutre, ce déplacement étant estimé suivant la direction de la force F,.
Il est bien entendu que les déplacements ^^,'^^ sont comptés positivement s'ils sont de même sens que F, , et négativement dans le cas contraire. ^
bvGoot^lc
Si on désigne par X^, X^, des coefficients (*) de même nature relatifs au point (2), on peut poser de même que précédemment :
(è) . (2.2") = >; F, + xl F,.
Les deux relations (a) et (b) s'appliquent à tout instant de la déformation.
Les travaux élémentaires produits par les forces P, et Fj , lorsquelles s'accroissent de leurs différentielles d¥,, dF.^, et que par suite les déplacements projetés (1.1"), (2.2") s'accroissent également de leurs différentielles ^(1.1"), (/(â.S"), ont pour expressions, aux inliniment petits du second ordre près :
F,d{iA") = F,{X[ dF, -f \l dF,) = x\ F, dF, + xj F, dF,. Pi<i{2.2'') = F, (ïj dF,-\-X^ dF,) = >.l F, dF, -|- xj F, dF^.
Le travail total accompli pendant toute la durée de la déformation, c'est-à-dire depuis l'instant où les forces partent d'une valeur initiale inûniment petite jusqu'à celui où elles atteignent les valeurs finales F, et F„ est l'intégrale de la somme des travaux élémentaires, prise entre les limites F, = F, = et F, = F„ F, = F.J ; ou :
= I l' F, JF, + / x; F, dF, + I \
F, dY,+ I >;F,(ir,
= -J i) F, 4 j- », F, + », / F, dF, -)- », / F, tJo,o kJo,o
L'intégration par partie donne;
/Fj (/F, - F, Fj — Jf, dF,.
Substituant dans l'expression de %'.
(c) ^=ix;F;-t-4x;Fj+x;F,F,-u(x;-x;) / f,<
(*) Le coe£ficient X porto touj ou i-s en indice le nunnîro ou la lettre qui désigne le point dont il représente le déplacement, et, en exposant, le numéro ou la lettre qui désigne le poiot d'application de la force d'intensité 1 produisant ce déplacement.
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Or, le travail des forces extérieures est également donné par la formole (1) :
'=1 j (ST + EB + Gsr-
dans laquelle M, N, T sont les moments fléchissants; -tensions longitudinales et efforts tranchants développés par les forces F, et Fj agissant simultanément.
Ce travail est donc indépendant de la toi de variation des forces extérieures pendant la déformation, c'est-à-dire de la manière dont ces forces sont passées de leurs valeurs initiales infiniment petites à leurs valeurs finales F, et F,, Or l'int^rale que renferme encore la formule (c) dépend nécessairement de cette loi de variation; il faut donc que cette intégrale disparaisse, — ce qui nécessite:
(d) {x\ — >.[) = 0, ou x] = X*.
En se rappelant ce que représentent X, et Xj.on peut traduire cette égalité comme suit ;
Premier théorème de BÉciPROcrrÉ. — Qu'tme pmtre soit, ou non, assujettie à des liaisons stirabondantes , si une force égale à l'unité, appliquée en un point (1), suivant une direction F„ imprime à un point (2) ufi déplacement dont la projection sur une direction F, a une txdeur de X , réciproquement, une force égale à l'unité, appliquée au point (2), suioant la direction F„ imprime au point (1) un déplacement dont kl projection X^ sur F, est égale à Xj.
"Les trois relations (c), (1) et (d) permettent d'écrire :
Gela posé, soient H„ N,, T,, les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants que produirait la force F, agissant seule; Mj, N,, T,, les mêmes éléments correspondant à la lorce Fj ; on a :
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De plus, la fonnule (2) du § 4 donne :
fa) j',', = j [Ëi + Ei + âïh.
, 1 / /M' nI ^<~jI \ËT + Es
, 1 / [m] nJ t|\
^■=¥j Iët + ES + G^r'-
Effectuant dans l'équation (e) les substitutions qu'autorisent les formules (f), (g), (k), il vient, après réductions:
Dans cette relation, faisons F, ^ 1 ; soient \x, v, s, tes valeurs que prennent alors Mj, Nj, T,; nous obtenons :
Or, X^F, est la projection sur la direction F^ du déplacement que prend le point (2) lorsque la force F, agit seule sur la poutre,; c'est la quantité cherchée que nous représenterons par l ; d'où :
(4 bis)
Cette formule exprime que, pour calculer le déplacement suivant une direction donnée, d'un point quelconque d'une poutre déformée par une force F,, on devra d'abord déterminer les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants M,, N„ T,, produits en chaque point de la poutre par la force F, ; puis appliquer au point dont on veut connaître le déplacement une force ausnliaire égale à l'unité et ayant la direction suivant laquelle on se propose d'évaluer le déplacement; calculer ensuite, en chaque point de la poutre, les moment fléchissant, tension longitudinale
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et effort tranchant auxiliaires ^, v, fl, correspondant à cette force; enfin, former l'intégrale indiquée ci-dessus, qu'on étendra d'une extrémité à l'autre de la poutre.
§ 7. — Déplacement d'un polat quelconque d'une poutre sounùse à l'action d'un couple agissant sur une section donnée.— Second théorème de réciprocité.
Soient D, la section d'application du couple (f.g. S), et (2) le point dont nous nous proposons d'évaluer le déplacement en pro-
jection sur une direction arbitrairement choisie A. Pour y parvenir, appliquons au point (2) une force ayant la direction A, et le sens suivant lequel les déplacements projetés sur A seront comptés positivement.
Sous l'action du couple et de la force ainsi définis, que nous supposerons agir avec des intensités allant en croissant depuis des valeurs initiales zéro, jusqu'à des valeurs données, les points (i) et (2) et les seclions correspondantes se déplacent.
Soient, à un instant quelconque de la déformation, C, l'intensité du couple. Fi celle de la force, (1') et (2) les positions des points (1) et (2), D;, D; celles des sections D, et Dj.
Le déplacement linéaire du point (2) et le déplacement angulaire de la section D, sont les résultantes des déplacements que prendraient respectivement ce point et cette section si le couple C, et la force F^ agissaient successivement sur la poutre. (Principe de -la superposition des effets élastiques.) Ces derniers déplace-
■izcdbïCooglc
ments sont proportionnels aux intensités des efforts, — forces ou couples, — qui les produisent. On peut donc écrire à l'instant considéré :
les coefficients i et -j- ayant les significations suivantes:
ij est le déplacement, en projection sur la direction A, qu'un couple égal à l'unité, appliqué en Dj, imprimerait au point (2) ;
\^ est le déplacement de même nature qu'imprimerait au même point, une force égale à l'unité, appliquée en (2) el ayant la direction de A, ou, ce qui est la- même chose, de Fj ;
Y, est le déplacement angulaire qu'un couple égal à l'unité, appliqué à la section Di, imprimerait à cette même section;
Y, est le déplacement de même -nature qu'imprimerait à la même section une force égale à l'unité, ayant la direction de A et appliquée en (2).
Les deux relations précédentes s'appliquent à tout instant de la déformation. Les travaux élémentaires produits par le couple et la force, lorsqu'ils passent des valeurs Cj et Fj à celles G, -|- dC,, Fj -j- dFj, ont pour expressions :
Fj(i(2.2') = xjF,rfC, 4- XjFjdFî, C, d[\),aD[) = y\C, dC^ + yJc, dF^.
Le travail total accompli pendant la durée de la déformation, depuis l'instant où le couple et la force ont des intensités nulles jusqu'à l'instant où ils atteignent respectivement les valeurs finales C, et Fj, est l'int^ale de la somme des travaux élémentaires prise entre les limites C, = Fj = et C, =: C„ F^ = F^, ou :
/*C„F, /^C„Fî
® = I ^! F; + â ïl c; + x; / F, dC. + \ c, dF,.
*Jo,0 K/0,0
L'intégration par partie donne :
JFj dC, — C, Fj —Je, dFj.
■izcdbïCooglc
D'où, en substituant :
(") ® = 5 ^IK +'tiA+ »;c,F, + (il - j;) / cjF,.
tJo,o Or, le travail des forces extérieures est également donné par la formule (1) :
dans laquelle M, N, T, sont les moments fléchissants, tensions longitudinales et eflbrts tranchants développés par le couple G, et la force F^ agissant simultanément.
Ce travail est donc indépendant de la loi suivant laquelle les efforts C, et Fj ont varié pendant la déformation, depuis leurs valeurs initiales zéro, jusqu'à leurs valeurs finales C, et F,. Or, l'intégrale que renferme encore la formule (c) dépend nécessairement de cette loi de variation ; il faut donc que cette intégrale disparaisse ; — ce qui nécessite :
Gette égalité se traduit immédiatement comme suit:
Second THÉoitËHE de réciprocité. — Qu'une poutre soit, ou non, assujettie à des liaisons surabondantes, si un couple égale à l'unité, appliqué à une section /), imprime à un point (2) un déplacement linéaire dont la projection sur une direction à a mw valeur >^, réciproquement, une force égale à l'unité, appliquée au point (2) suivant la direction A, imprime à la section Û, un déplacement angulaire (*) t,. précisément égal à A^.
Les trois relations (c), (I) et {d] permettent d'écrire:
2 / l,EI + ES"
D,j.,.db,Googlc
Cela posé, soient M„ N„ Tj, les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants que produirait le couple C, agissant seul; M», N„ Tj, les éléments similaires correspondant à la force F^; on a:
(f) M = M, -I- Mî ; N = N. + Nï ; T = T, + Ti.. De plus les formules (2) du § 4 et (3) du § 5 donnent :
Effectuant dans la formule (e) les substitutions qu'autorisent les relations (/), (g), (h), il vient, après réductions:
„, / Vm, , N,N, , T,T,\,
(juatiou, faisons Fj ^ 1 ; soient n, v, ilors H„ Ni, Tj ; nous obtenons ;
Dans cette équation, faisons Fj ^ 1 ; soient n, v, 6, les valeurs que prennent alors H„ N^, T^ ; nous obtenons ;
Or, >*C, est la projection, sur la direction A, du déplacement linéaire imprimé au point (2) par le couple C, agissant seul sur ta section D, ; c'est la quantité cherchée, que nous représenterons pai' l^; d'où :
{8 bis)
Les formules (4 bis) et (5 bis) expriment que, pour calculer le
déplacement suivant une direction donnée A, d'un point quel-
DigiLizedbyGoOglc
conque- d'une poutre défonnéc, soit par une fm-ce Fj, soit par un couple C,, appliqués à un point ou à une section quelconque, on devra d'abord déterminer les moments tléchissants, tensions longiludinaleg et efforts tranchants produits en chaque point de la ligne moyenne soit par la force F„ soit par le couple C„ puis appliquer au point dont on cherche le déplacement, une force auxiliaire égale à l'unité, dirigée suivant A, et évaluer, pour chaque point de la ligne moyenne, les moment fléchissant, tension longitudinale et efforl tranchant auxiliaires, correspondant à cette force, et enfin former les intégrales indiquées par les formules dont il s'agit.
g g. — PREMIÈRE FORMULE GÉNÉRALE. — Déplacement d'un point quelconque d'une poutre soumise à l'action simultanée de plu- BieuTB eUortB extérieurs, — lorces ou couples.
Soient F,, C^, Cj, F^, les forces et les couples agissant sur la
poutre; (M., N., T„), (M^, Nj, T^), (Mg, N,, T3), (M^, N,, T,), etc.. les moments fléchissants, tensions longitudinales et efl'orts tranchants produits en unpointquelconquede la poutre par chacun de ces efforts.
Le déplacement total, suivant une direction arbitrairement choisie, d'un point donné de la poutre est exprimé, en vertu des équations (ibis) et (5 bis) et du principe de superposition, par la formule :
^= / (-irf +¥s +G^)'^« + / ("ir+w+ifs)
= / f (M.-HM, + ...)^. (N.-f-N,-^...)v (T.-HT,-f-.)6 -1 / [ El + ES ^ GS J'"''
dans laquelle, ainsi qu'il a été dit plus haut, [n., v, 6 sont les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants auxiliaires correspondant à une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée au point dont on cherche le déplacement et ayant la direction suivant laquelle on veut évaluer ce déplacement, Si on désigne par M, N, T, les moments fléchissants, tensions
DigiLizedbyGoOglc
longitudinales et efforts tranchants produits par l'action simul'
tanée des efforts F,, C,, C,, F, , on a:
et l'expression du déplacement cherché devient :
= / (ËT + ËÎ + Gsr-
C'est la première formule fondamentale que nous nous proposions d'étïiblir.
§ 10. — Déplaoanwnt angnleire d'une section quelconque d'une poutre dittnmée par une force extérieure appliquée en un point donné.
Les formules (d) et {k) du § 7 donnent :
Si, dans cette relation, on fait C, ^ 1, et si l'on désigne par n, ï, 9, les valeurs correspondantes que prennent Mj, N,, T„ on obtient :
Le produit y^, représente précisément l'angle g dont on a tourné la section D^ {^. 5), pendant la déformation produite par la force Fj appliquée au point (2) ; on a donc :
D,j.,.db,Googlc
s 11. — Déplacement angulaire d'une section quelconque d'une poutre déformée par un couple extérieur, appliqué à une Béotien donnée. — Troisième théorème de réciprocité.
En répétant l'analyse suivie déjà deux fois (§g 6 et 7), on arrive aisément aux formules ci-après :
dans lesquelles:
C, et C, sont deux couples respectivement appliqués aux sections D.etDîC/îff. 6J; M,,N„T, sont les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants développés par le couple Cl agissant seul; Mj, Nj, T,, les mêmes éléments cor- *'"'■ **■ respondant au couple Cj ;
T ' le déplacement angulaire qu'un couple égîil à l'unité,
appliqué en Dj, imprimerait à la section D^ ; y* le déplacement angulaire qu'un couple égal à l'unité, appliqué à la section Dj, imprimerait à la section b^.
La formule (o) se traduit comme suit:
Troisiëhe théorème de réciprocité. — Qu'une poutre soit, ou non, assujettie à des liaisons surabondantes, st un couple égal à l'unité, appliqué à une section />, imprime à une autre section D^ un déplac^tnml angulaire y^, réciproquement, un couple égal à l'unité, appliqué à la section />,, imprime à la section i), «n déplacement angulaire y^ prédsém&it égal à y^.
Quant à la formule (fc), si on y fait C, — 1 , et si on désigne
îdbyGooglc
par [t, V, 9, les valeurs que prennent alors M, , N, , T, , on obtient :
t y'C, représente l'ang léformation produite [
I ~ / VeI ^ ES
Or, le produit Y C, représente l'angle 9 dont a tourné la section D, pendant ta déformation produite par le couple Ci; on a donc:
§ 12. — SECOPTOE FORMULE GÊÎSÉRALE. - Déplacement angulaire d'une section cfuelconqiie d'une poutre soumise à l'action simultanée de plusieurs efforts extérieurs, — forces on couples.
En partant des formules (ô^**) et {V'), et en appliquant de la même manière qu'au § 9, le principe de la superposition des effets élastiques, on trouve pour expression du déplacement angulaire (g) d'une section quelconque :
Dans cette formule, M, N, T, sont les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants développés par les efforts, — forces et couples, — simultanément appliqués ; j*, v, 6, sont les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants produits par an couple auxiUaire, égal à l'unité, appliqué à la section dont on cherche le déplacement, et dans le sens positif dudit déplacement.
S 13. — Sur l'application des formules générales aux pièces assujetties à des liaisons surabondantes.
Soit une pièce astreinte à des liaisons surabondantes et soumise à l'action de forces données. Proposons-nous de calculer, par
DiglizedbyGoOglc
exemple, la projection l du déplacement d'un point D de cette pièce, sur une direction A arbitrairement choisie. Supposons que les moments fléchissants, tensions longitudinales et eflbrts tranchants M, N, T, soient connus.
Nous pouvons procéder de deux manières différentes:
1° Appliquer directement la formule générale (A.) du § 9, ce qui nécessite la détermination préalable des termes fi, v, 6, c'està-dire des moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts lianchants que développerïiit, dans la pièce considérée, une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée en D et ayant la direction A ; ces éléments dépendent de t'élasticité de la pièce et des liaisons surabondantes;
2° Kendre d'aboixl libre la pièce en remplaçant les liaisons surabondantes par des forces capables d'en tenir lieu, — ce qui ne change pas la valeur des t£nnes M, N, T, — puis appliquer la formule (A) dans laquelle fi, v, e désignent alors les moments fléchissants, tensions longitudinales et efforts tranchants que produirait dans la pièce considérée, dépouillée de ses liaisons surabondantes, une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée en D et ayant la direction A ; ces éléments sont indépendants de l'élasticité de la pièce et des liaisons surabondantes; nous les représenterons par (*.', v', e'.
Il suit de là que le déplacement cherché est exprimé indistinctement par l'une ou l'autre des formules suivantes :
et (A„,)
