IV M

(VWs) (VI 6m)

Nous n'établirons que la partie (A) du théorème ; la partie (B) se démontre d'ailleurs de la même manière.

Démonstration dd i' de la partie (A) hv théorème. — Appliquons la formule (A,) (§15,1 " partie) à l'évaluation du déplacement (^ .

Dans ce cas, |* désigne le moment fléchissant que produirait, eo chaque point de lapièce supposée assujettie seulement aux liaisons indépendantes de l'élasticité, une force auxiliaire égale àl'unité, appliquée en G, dirigée parallèlement à oy et dans le sens desypositifs.

Soient 5 et *] les coordonnées du point G par rapport aux axes ox etoy.

Le moment (t a les valeurs suivantes :

En tout point (ccj/) situé entre A et C : i* = 0;

— — CplE:(t = cc — ï;

^ — E et B : (i = 0.

D,j.,.db,Googlc

expression qui représente bien la somme des moments, par rapport à C, des efforts Actifs -ï;^ répartis entre GetE.

Oéhonstbation du %" DE LA PARTIE (A.) DGTfltoiiÈiiE. — Appliquons encore la formule (A,) à l'évaluation du déplacement (/ ) . Dans

ce cas, la force auxiliaire est dirigée parallèlement à oa: et dans le sens des x positifs. On a par suite ; En tout point {xy) situé entre A et G : (i = 0.

— — GetE : |* = -«i — y.

— — B et B : (i. = 0.

D'où

Cette expression représente bien la somme des moments, par rapport à G, des forces fictives réparties entre C et E, ces forces étant supposées avoir été rendues parallèles à ox, par une rotation rétrograde d'un angle de 90* autour de leurs points d'application

Démonstration du 3" de la partie (A) du théorème. — Calculons par la formule (B,) (§ 15, 1" partie) le déplacement angulaire g . [:Ldésigae, dans ce ci^, le moment ûéobissant que produirait en chaque point de la ligne moyenne, un couple auxiliaire positif, d'intensité 1, appliqué à la section C. On a par suite :

En tout point (ity) situé entre A et G :[/.=: 0.

— — CetE:|ji = — 1.

/Mj* . [ Uds

formule qui jastifie l'énoncé.

n Ce 3* rënilte d'ailleurs immédiatemeot du 1*, paiaque, U direetioa îles t: <h[uiée« étant trbilraire, on peut changer ox sd o]f et rédproquemeat.

DigiLizedbyGoOglc

34. — ConstraoUon d«s dtiormatloiui dans le cas où les ii«<«*™t Indépendantes de l'élasticité sont du premier système.

Soit AB la pièce donnée (fig. 4, pi. 200), assujettie à des liaisons quelconques mais telles que, par la suppression des liaisons surabondantes, on peut la ramener à n'être plus astreinte qu'aux liaisons du premier système, savoir : point F entièrement ûxe et point E assujetti à rester sur une droite donnée WW.

Des forces agissent sur cette pièce et déterminent des moments fléchissants M que nous supposons connus, et des déplacements élastiques que nous nous proposons de construire.

l" Déplacements linéaires ly perpendiculaires à WW. — Divisons la ligne moyenne de la pièce-en un certain nombre de parties As égales entre elles, assez petites pour que, dans chacune d'elles, le moment fléchissant M ainsi que les quantités E et I puissent être considérés comme constants. Au milieu de chaque division, appliquons un effort fictif parallèle à oy, ayant pour intensité ~pn~ As et

dirigé dans le sens des y positifs ou en sens inverse, suivant que M est positif ou négatif. SoienH, 2, 10, 11, ces efforts (*).

Traçons-en le polygone qui se réduit à une droite aefb; avec une distance polaire B arbitraire, que nous convenons de portera gauche ou à droite dn polygone des forces suivant qu'elle est positive ou négative, construisons le polygone funiculaire correspondant AEFB ; menons à ce polygone la ligne de fermeture E F qui le coupe en ses points d'intersection avec les ordonnées des points E et F. Enfin, par le pôle P du polygone des forces, contluisons une parallèle PQ à E F .

En vertu d'une propriété connue des polygones funiculaires, les lignes /"Q et Qe représentent respectivement les réactions fictives Rp et Rp, que développent en F et en E les forces fictives 4, 5. . 8, 9, réparties entre E et F, abstraction faite des forces fictives appliquées sur AE et sur FB.

Cela posé, d'après une autre propriété également connue, le

moment par rapport à un point C quelconque, situé entre A et F,

M des forces fictives -pj- As réparties entre C et F, et de la réaction

(*) Sur la figure, leaefforls ficUfe portent iea mAmea luméros que leure points d'apjdi-

DigiLizedbyGoOglc

fictive enF, est égal, en grandeur et en signe, au produit de la distance polaire B par le segment c G intercepté par le polygone funiculaire et par sa ligne de fermeture sur l'ordonnée du point C, — étant entendu que la distance polaire B est lue sur l'épure à

l'échelle des efforts fictifs -p|- As, que le segment c G est lu à l'échelle des longueurs, et qu'il est affecté du signe + ou du signe — suivant que G est au-dessous ou au-dessus de a b .

Or, en vertu du théorème I(§32) et à lasubstitution près des efforts fictifs élémentaires -pj-As à ceux infiniment petits -r^ds, le moment dont il s'agit est égal au déplacement (/) du point G, estimé suivant l'axe des y. Donc

On démontrerait de la même manière que cette relation est encore vraie lorsque le point G est situé entre F et B.

2* Déplacements linéaires l^ parallèles à WW. — Faisons tourner de 90° dans le sens rétrograde, les efforts fictifs 1,2, ... H , ainsi que les réactions fictives Rp et Rg ; le polygone de ces forces et les rayons polaires correspondants tournent du même angle ; aux nouvelles positions l',2', . . . 11', de ces efforts, répond un nouveau polygone funiculaire A^F^B^. Par le point F^ correspondant au point F, menons une parallèle Fji^ à P'Q'.

D'après une propriété déjà invoquée, le moment par rapport à un point C quelconque, situé entre A et F, des forces fictives réparties entre C et F et de la réaction fictive en F est égal au produit de la distance polaire B par le segment cj:^ intercepté par le polygone funiculaire et la ligue F^o^ sur l'abscisse du point G.

Or, en vertu du 2odu théorèmeI(§ 32) et à la substitution près des

efforts fictifs élémentaires -^ A» à ceux infiniment petits -fît- ds,

ce moment est égal au déplacement (/ ) du point G, estimé sui-

^ 'g vaut la direction ox ou WW. Donc

(■(,). =îBxc^C,

étant entendu que la distance polaire B est lue sur l'épure à l'échelle des efforts fictifs, que le segment cjl^ est lu à l'échelle

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des longueurs, et qu'il est affecté du signe + ou du signe — , suivant que C^ est à droite ou à gauche de FJ)^.

On démontrerait de même que cette relation est vraie quand le point G est situé entre F et B.

3" Déplacements angulaires g. — Soient deux axes de coordonnées Qx, parallèle à WW, Qy, perpendiculaire. Par le point (1, 2), extrémité de l'effort fictif 1 et origine de l'effort 2, menons une parallèle à Qx, dont nous ne conservons que la partie comprise entre les lignes d'action de ces efforts. En répétant la même construction pour les points (2,3), (3,4) etc..., on obtient un diagramme dont une ordonnée quelconque c^G,,correspondanteàun

M point G situé entre A et F, lue à l'échelle des -^ As, représente

la somme algébrique, changée de signe, des efforts fictifs répartis

entre G et F et de la réaction fictive en F.

Or, cette somme changée de signe est égale, d'après le 3° du théorème I, à la rotation g^ de la section G. Donc

9c = ^^.- On vérifierait d'une manière analogue que cette formule s'applique encore au cas où le point C est situé entre F et B (').

4" Déplacements linéaires suivant une direction quelconque ox" faisant un angle a avec ox. — Amenons les forces fictives 1,2 ... H, et les réactions fictives R^, R^, à être parallèles à ox' par une rotation rétrograde d'un angle (90°— a)par rapport à leur direction première qui est celle de oy. La figure Pe/'lourne du même angle ; soit P'e*/* sa nouvelle position.

Traçons le polygone funiculaire Â^ B^ correspondant, puis pîir le point F^ correspondant à F menons une parallèle F^^ àP'Q".

On reconnaît aisément, en se fondant sur une propriété déjà utilisée et sur le corollaire du théorème I, que l'on a, en un point C quelconque,

(*) On se rend /acilement compte (lu'il est plus eiact de remplacer lé diagranlme qui vient d'être défini, par une courbe continue partant de A^pour aboutir en B^ et coupant les cdlés da diagramme en leurs points d'intersection avec les ordonnées des points de division de lu ligne moyeonei

§ 35. — Construction des déformations dans le oas où les liaisons indépendantes de l'élasticité sont du second système.

Soit AB la pièce donnée (fig. 2, pi. 200), assujettie à des liaisons quelconques mais telles que, par la suppression des liaisons surabondantes, on peut la ramener à n'être plus astreinte qu'au second système de liaisons indépendantes de l'élasticité, savoir : section E assujettie à rester absolument fixe.

Des forces agissent sur celte pièce et y déterminent des moments fléchissants M que nous supposons connus, et des déplacements que nous nous proposons de construire.

1" Déplacements litiéaires (l) estimés suivant tme direction oy arbitrairement choisie. — Divisons la ligne moyenne en un certain nombre de parties As, égales entre elles. .4u centre de chaque division appliquons un effort fictif-^ As, parallèle à oy, dirigé

dans le sens des y positifs si M est positif, ou en sens inverse dans le cas contraire. Soient 1, 2 12, ces efforts.

Traçons-en le polygone ab. Prenons un pôle quelconque P ; soit B la distance polaire correspondante que nous convenons de regarder comme positive ou comme négative, suivant que P est à gauche ou à droite de ofc.

Puis, traçons le polygone funiculaire A B relatif aux efforts 1,2, ... 12 et au pôleP. Enfin, prolongeons, suivant o 6 ,1e côté de ce polygone qui est compris entre les forces fictives 4 et 5 contigufis à l'encastrement.

D'après une propriété connue, le moment par rapport à un point C quelconque, situé entre AetE, des forces fictives réparties entre C etE, est égal, en grandeur et en signe, au produit de la distance polaire B par le segment c G intercepté sur l'ordonnée du point C par le polygone funiculaire et la droite a 6 .

Or, en vertu du théorènle II {§ 33), ce moment est égal au déplacement du point estimé suivant oy. Donc

étant bien entendu que B est lu sur l'épure à l'échelle des efforts actifs -Frï- As, que le segment c^G^ est lu à l'échelle des longueurs

îdbyGoOglC

et qu'il est affecté du signe + ou du signe — , suivant que C est situé au-dessous ou au-dessus de 06.

Même démonstration pour un point C situé entre E et B.

2" Déplacements angulaires. — Soient deux axes de coordonnées : l'un o,Xi perpendiculaire à oy et mené par le point (4, 5) contigu aux efforts fictifs 4 et S situés de part et d'autre de E; l'autre o,y, parallèle à oy.

Par le point (1,2), extrémité de l'effort fictif 1 et origine de l'effort 2, menons une parallèle à Oja;,, dont nous ne conservons que la partie comprise entre les lignes d'action de ces efforts. Répétons la même construction pour les points (2,3) (3,4) , . . etc. Nous obtenons ainsi un diagramme dont une ordonnée quelconque c^C, correspondant à un point G situé entre A et E, représente, à l'échelle des efforts fictifs, la somme algébrique changée de signe des efforts fictifs répartis entre G et E.

Or, en vertu du 3° du théorème II, cette somme changée de signe est égale au déplacement angulaire de la section G. Donc :

Même démonstration pour un point G' situé entre E et B.

§ 36. — Remarques but la construction des déformations.

Lorsque la pièce considérée est d'élasticité constante, et c'est le cas usuel, au lieu d'effectuer les constructions des §§ 34 et 3S

M en partant d'efforts fictifs égaux à-pr- as, il est commode d'opérer sur des efforts proportionnels à ceux-ci et ayant la valeur générale

dans laquelle fi et I^ sont des constantes.

n est un nombre quelconque.

I^ est le moment d'inertie d'une section arbitrairement choisie , la plus forte ou la plus faible par exemple.

M étant en général connu sous forme d'une ligne déterminée

/il \

par une épure, on obtiendra facilement la quantité M I n '" ) par

DigiLizedbyGoOglc

,Dgés en M I n "" 1 ,

la construction d'une quatrième proportionnelle entre la ligne en question, etdeuxautres lignes représentant-I^ et là une échelle convenablement choisie.

Les efforts fictifs -^ As étant changés en M | n " ) , c'est-à-dire

El multipliés par le facteur constant — r^, les résultats des épures

sont eux-mêmes multipliés par ce facteur ; d'où il suit que B Xf'^C , B X cjO^ et c^G^ (§§ 34 et 3S) ne représentent plus les quantités Qy) ' (y ^^ ^c ""^^^ ^^ mêmes quantités affectées du facteur constant en question. On a donc :

^'■'c El • * " ^'•'c El ' ' ^^ El^ ' ''

étant toujours entendu que les lignes c C et c^G^ sont lues sur l'épure à l'échelle des longueurs, tandis que B et cjl^ sont lues à l'échelle des efforts fictifs employés, qui est précisément celle des moments M, puisque n est un nombre sans dimension et ■— un rapport.