PREMIÈRE SECTION
For>oes extéi*Ieui-es flx.es.
I 37. — Méthode de détermination directe dn moment fléchissant et des composantes, suivant deux directions rectangulaires quelconques, de la résultante de translation des forces intérieures en une section arbitrairement choisie. — Centre fixe de la travée. — Centres correspondants à une section.
Soit AB l'arc soumis à des forces extérieures quelconques, mais situées dans son plan, G le centre de gravité de la section consi-
DigiLizedbyGoOglc
dérée ((îg. 3). Les forces intérieures développées dans cetlt section, considérées comme actions du tronçon BC sur le tronçoi AC, sont réductibles à un couple dont Taxe a pour valeur le mo ment de flexion M en C, et à une force dont nous désignerons pa
X et Y les composantes suivant deux directions rectangulaires C
et Cy arbitrairement choisies.
Ce sont les trois quantités M,X et Y que nous nous proposons < déterminer.
Imaginons qu'on coupe l'arc suivant la section C : les dei tronçons AC, BC vont se déformer et leurs extrémités respectiv (1) et (2) ne resteront pas en contact. Si maintenant nous appi quons i" à l'extrémité (■!) du tronçon AC un couple -|- M et d forces -f- X et -|- Y, 2° à l'extrémité (2) du tronçon BC un coup — M et des forces — X et — Y, ces six efforts agissant, en tant qi forces extérieures, sur 1^ deux tronçons, auront pour effet ( ramener en coïncidence les extrémités (1) et (2) et, par suite, ( rendre à Tare la forme qu'il affectait avant la coupure.
De là, résulte la méthode suivante pour la détermination de ] X et Y : on coupera l'arc en G, puis on calculera les déplacemer linéaires et angulaires absolus des extrémités (1) et (2) des tronço ainsi formés, sous l'actioa des forces extérieures données, et ( en déduira les déplacements relcUifs de ces extrémités. Cela fa on appliquerai" à l'extrémité {■!), des efforts inconnus + M,-|-X + Y, 2" à l'extrémité (2), des efforts — M, — X et — Y, égaux et co traires aux premiers. Enfin, on déterminera ces efforts en expi
bvGoot^lc
mant que lea déplacements linéaire et angulaire relatifs par eux imprimés aux extrémités (1) et (2), sont égaux et Contraires à ceux produits par les forces extérieures.
Soient :
g' (i'^) , (/' ) le déplacement angulaire absolu et les déplacements
linéaires absolus en projection sur Cx et sur Gy, imprimés à la section (1) par celles des forces extérieures qui agissent sur le tronçon A (4) supposé séparé du reste de l'arc ; 3' ' Q'x) 'Q'y) ' ^®^ déplacements similaires de la section (2), produits par celles des forces extérieures qui agissent sur le tronçon B (2).
Les déplacements, sous l'action des forces extérieures, de l'extrémité (2) relativement à l'extrémité (1), ont pour valeurs :
Soient de même :
9" ' (^"i) ' (^"u) '^ déplacement angulaire absolu et les déplacements linéaires absolus estimés suivant Ca et Cy, qu'imprimeraient à l'extrémité (1) les efforts -|- M, -f- X, + Y, agissant seuls sur le tronçon A (1) supposé détaché du reste de la poutre ;
s' ' C^"<o) ' Q"v) ^^^ déplacements similaires qu'imprimeraient, à rextrémité (2) du tronçon B (2), les efforts — M, — X, — Y, y appliqués.
Les déplacements, sous l'action simultanée de -|- M, -j- X, -|- Y, — M, — X, — Y, de l'extrémité (2) relativement à celle (1), ont pour valeurs :
D'après ce qui a été dit précédemment, on doit poser :
w UQ,-V.), + ('■.).-('■!), = »■
Les déplacements entrant dans les équations (a) sont directement calculables par les formules données au théorème du § 33. Si, d'une manière générale, on désigne par M' les moments fléchissants produits par les forces extérieures données, dans les deux tronçons A(l) et B(2^ supposés indéoendants l'un de l'autre, et par
DigiLizedbyGoOglc
M" les moments fléchissants produits, soit dans le tronçon A par les efforts -j- M, + X, -j- Y agissant seuls, soit dans le tron B (2) par les efforts — M, — X, — Y agissant seuls, on a :
D'où :
ml
et l'on trouverait de même;
— ?Ëî'^' (Q--(Q=^
Ëï"
Or, le moment fléchissant produit en un point quelconque du tronçon A (1), par les efforts -|- M, -|- X, -|- Y appliqués en a pour valeur
U-\-Xy — Yx, et le moment fléchissant développé en tout point (xy) du troi B (2), par les efforts — M, — X, — "î appliqués en (2),con3er même expression.
On a donc, tout le long de l'arc AB,
M" = M + Xj/ - Yx.
Substituant cette valeur de M" dans les formules (c), il viei
A.B ïj *.B Y A.B y
M \ C'.), - {'■.), = *^ ir * + *? if * - «^ ET ''
A.B u *-^ X« *'^ Va:
('".)r('".),= ¥ m* + ^^^-'J-si"-
D,j.,.db,Googlc
Dès lors, les équations (o) deviennent à cause de (6) et de (c*), en supprimant le facteur constant -??-:
- ds + r" ^ <fo + V ^ (/î - *r ^ dï = ;
G * C i Ci
Je' ci c 1
ci ci ci
Ces équations expriment :
La première, que la somme algébrique des efforts flctifè parallèles -j— <fe, -j- ds, — j2- ds, j— ds, est nulle ;
La seconde, que si l'on donne à ces efforts une direction commune parallèle à Gx, la somme de leurs moments par rapport au point G est nulle ;
Jja troisième, que si on leur donne une direction parallèle à Cy, la somme de leurs moments par rapport à G est nulle.
n s'ensuit que ces forces fictives sont en équilibre astatique.
Il en est de même de leurs résultantes respectives, que nous désignerons par S, F', F", F", et qui ont pour valeurs :
'" = X / I ds—Xf", F"'=— Y / ^ds = — Y?'",
en posant
et en désignant par 6 une longueur arbitrairement cboisie, dont l'introduction n'a d'autre but que de mettre en évidence, dans
l'expression de F, le quotient (-^) qui représente une force, au
lieu de la quantité M qui est un moment.
DigiLizedbyGoOglc
,tion des trois dernières résultantes F,
nt les centres des forces fictives parallé
out le long de l'arc : i° —r- ds, îf—^ '. revient au même, des forces fictives s -j- ds, 3" -p ds, qui sont proportionnel
ts centres ifig. 3, p. 22).
.danle des forces extérieures agiss
îxe, quelle que soit la section C que 1 ; forces fictives -p ds, auxquelles il con i d'ic ni d'y. Nous l'appellerons centre fx
' varient de position lorsqu'on considère
puisque les valeurs -j- ds, -p ds des foi
[tiennent j: et y. Nous les appellerons cen
lion C.
pplication u de la résultante S, qui esi
M' fs parallèles -p ds, sa position dépend
;es extérieures appliquées à l'arc, puis Les forces extérieures. Nous l'appellei
t déterminé, ainsi que nous l'iiidiquei
centres o', o", o'" et les valeurs des ii lents iodépendauts des forces extérieure
et une section C donnés ;
ntre variable u et la valeur de la résulU
rendants des forces extérieures.
ves F', F", F'", inconnues d'intensité, i
îs o', o", o'", connus, et la résultante fie
et appliquée au centre variable u, ég iquilibre asiatique, comme il a été dit |
• variable w aux centres o' o" et
D,a,.,zeclbyG00g[c
soient p', p", p™ les points d'intersection de ces lignes avec les côtés du triangle o' o" o'", respectivement opposés aux sommets o', o' et o'". On a, en vertu de la condition d'équilibre sus-indiquée,
Sxp''o, + F''xpV = 0, fi'où \ F" = -S ^, Sxp'"<o + F"'xp"'o"'-0; / F'"=3 — S-^;
et, à cause des trois dernières relations (d),
1 M=i;^îJî s,
I 9 po
Ces expressions font connaître les quantités cherchées M, X et Y.
g, 38. — GouBtruotiotts auxquelles donne lien l'application de la méthode.
Construction des centbes o', 0°, 0" et des intégrales ?', ç' ET ç"'. — ■ Le centre fixe o' de la travée est le centre des forces flc-
parallèles (-p rfsi, appliquées à chaque élément ds de la
ligne moyenne de l'arc; on le déterminera donc par les règles (le la composition des forces parallèles; voici comment :
Divisons la ligne moyenne en un certain nombre de parties égales de longueur As (fig. 4). Pour la recherche qui nous occupe,
les forces infiniment petites \—^<is 1 peuvent être approximativement remplacées par des forces finies égales à l-p As I, appliquées aux milieux des éléments As.
tives 1
Soient, comme au % 36, n un nombre quelconque et I„ le moment d'inertie d'une section arbitrairement choisie de l'arc.
DigiLizedbyGoOglc
Les quantités n, I„ et A« étant des constantes, on peut remplacer les forces fictives i-j— As J par des forces égales ù
et (jui leur sont proportionnelles.
Cela posé, traçons le polygone ab de ces forces considérées d'abord comme parallèles à l'axe des y; puis par un pôle P, de distance polaire B arbitrairement choisie, menons les rayons du
ff
pss:.
yy
in
Il '
polygone des forces; enfin, traçons le polygone funiculaire correspondant et prolongeons-en les côtés extrêmes jusqu'à leur point d'intersection </' .
En vertu d'une propriété connue, la parallèle à l'axe des j/, menée par ce point, passe par le centre des forces parallèles considérées, c'est-à-dire par le centre fixe o' de la travée.
Si maintenant on fait tourner toutes ces forces de 90° autour de leurs points d'application respectifs, de manière à les amener à être parallèles à l'axe des x, et qu'on trace le nouveau polygone
DigiLizedbyGoOglc
funiculaire correspondant ('), puis qu'enfin on mène une parallèle à l'axe des x par le point d'intersection gi des côtés extrêmes de ce polygone funiculaire, le point de concours de cette droite et de la parallèle à l'axe des y précédemment déterminée est le centre fixe o' cherché.
La longueur totale du polygone des forces b — t — , c'est-àdire de la droite ab, représente, à l'échelle des longueurs, la quantité suivante, que nous désignerons par *' :
d'où l'on pourrait tirer ?'; mais il est inutile de dégager cette quantité, ainsi que.nous le verrons plus loin.
Les centres o" et o"' correspondants à la section C et les quantités f" et ç" se déterminent de la même manière que le centre fixe o' et que la quantité ç'. Les forces fictives parallèles à faire intervenir dans les épures ont respectivement pour valeurs
— Im — 1„
y — j — et X — j —
Les longueurs totales des polygones de ces forces représentent, à l'échelle des longueurs, les quantités suivantes, que nous désignerons par *' et 4'"
ïiis I 1 nis '
(*) 11 faot obserrer que ]fi» eûtes de ce polygone fuDicalaire sont respectivement perpendiculiures à ceux de mêmes rangs da polygone funiculaire précëdemmeat déterminé ^on nliJisera celle remarque pour le construire, ce qui évitera le tracé d'un nouteau polygone des forces.
nifl f I n4«
REM4RQCE. — Telle que nous venons de l'indiquer, la détermination des centres o', o", o'" exige, dans le cas le plus complexe où l'arc n'a pas d'axe de symétrie, la construction de six polygones
funiculaires. Onpeutéri- |
ter le tracé d'un c polygones.
En effet, supposons qu'on ait déterminé, au moyen de cinq polygones funiculaires, les centres o' et o" et la parallèle rf à l'axe des y sur laquelle doit se trouver le centre o'" (fig. 5).
Soient fc", d'), {c", d"), (c'", d") les coordonnées des centres»',
o", o'" par rapport aux axes Ga: et Cy. Le théorème des moments
appliqué aux forces fictives parallèles donne
Celte relation conduit à la construction suivante : joindre o' C,
mener par o' une parallèle o'n à Gy ; par l'intersection n de cette
parallèle avec o'C, mener à Gx une parallèle qui coupe la droite
g'" au centre o"" cherché.
Construction du ckmthe variable u et de l'intégrale S
On commencera par chercher les valeurs des moments fléchissants M' que les forces extérieures données produiraient dans les deux tronçons A (1), B (2) de l'arc supposé coupé suivant la sec*
îdbyGoot^lc
tion C, c'est-à-dire au point (1, 2). Ces moments sont statiquement déterminés, puisque chaque tronçon n'est assujetti à aucune liaison surabondante. On les obtiendra donc facilement, soit par un calcul simple, soit par un tracé d'ailleurs connu (*).
Ceci fait, la construction du centre variable in s'effectuera absolument comme celle des centres o', o" et o'"; les forces fictives
[larallèles à considérer dans l'épure sont égales à M' ■ — i
La longueur totale du polygone correspondant à ces forces représente la quantité suivante que nous désignerons par S :
nAj f I nA s
Détermination des inconnues —r- , X et Y. — Dans les équations (1) (page 27) remplaçons ç', <?", ç'" et S par les quantités *', *", *'" et s qui, en vertu des formules (2), (3), (4) et (5), leur sont proportionnelles; il vient :
(1 bis)
<[>', ■&", 4>"' étant, d'après ce qui précède, des sommes de quantités i 1 i
de la forme 6 — -i — , y — r—, ^ — , — , doivent être regardés comme des longueurs, puisque 6, y, x sont également des Ion-
gxieurs et que les éléments— y— sont des rapports sans dimen&on.
(')Si, dans ce tracé qui, dans le cas où. les forces eitérieures données sont parallèles. eoneisle en la construction d'un polygone funiculaire correspondant A ces forces, on prena pour distance oolairc une longueur égale sur l'épure il A mètres, pour échelle des forces une fraction -y et pour échelle des longueuri unefraction -r onobtient les moments H
1 l'échelle — = ^ ■ m Aft
DigiLizedbyGoOglc
C'est donc à l'échelle des longueurs qu'on devra lire sur l'épure les grandeurs des droites qui représentent *', "!>" et *'".
De même, S étant la somme des quantités M' — ~- doit être
considéré comme un moment, puisque les M' sont également des moments. C'est donc à l'échelle des moments qu'on devra lire sur l'épure la grandeur de la droite qui représente S.
Quant kp'iù,p'tù,p"'iù, p'o', p'o", p"'o'", ce sont des longueurs qu'on relèvera comme telles sur l'épure.
Après avoir lu sur les épures toutes les quantités dont nous venons de parler, il suffira de les substituer dans les formules (1 his) pour obtenir les inconnues cherchées.
Une fois M, X et Y connus, les moments fléchissants, les tensions longitudinales et les efforts tranchants produits par les forces extérieures données, dans l'arc encastré à ses deux extrémites, se détermineront en fonction de ces forces et des quantités M, X et Y, par les seuls procédés de la statique. Il n'y a pas lieu d'insister sur ce point. .
% 39.— Détermination directe da moment fléchissant, de la tension longitudinale et da l'effort tranchant en une section arbitrairement choisie.
On remarquera qu'on est absolument maître de la direction à donner aux deux axes rectangulaires Cx et Gy, auxquels on doit rapporter la ligne moyenne de l'arc. On peut, en particulier, mener Gx tangentiellement à la ligne moyenne au point G et Cy normalement.
Dans ce cas, les composantes X et Y deviennent, la première, la tension longitudinale, la seconde, l'efi'ort tranchant en C.
La méthode que nous venons* d'exposer fournit donc le moyen de déterminer directement le moment fléchissant, la tension longitudinale et l'effort tranchant produits dans une section arbitrairement choisie de l'arc, par des forces quelconques situées dans le plan de la ligne moyenne.
I 40. — Détermination directe des réactions aox encaatroneDts.
La méthode indiquée plus haut s'applique à n'importe quelle section de l'arc; si on choisit, par exemple, l'une des seclious
DigiLizedbyGoOglc
encastrées A ou B, on obtiendra direotement le moment d'encastrement et les composantes, suivant telles directions rectangulaires qu'on voudra, de la réaction totale de l'encastrement. .
