I) (1,1= MI H

i^ Si on fait tourner de 90 degrés dans le sens rétrograde (sens inverse de la rotation des aiguilles d'une montre) les forces fictives réparties entre Cet F, y compris la réaction fictive en F, la somme des moments de ces forces par rapport à C, représente, en grande\ir et en signe,

[*] La lettre placée en indice représente le point par rapport auquel les momenla sont pris ; les deux lettres supérieures désigneot les limites de la zone sur laquellle agisseot ceUee des forces fictÏTesdunt illhut prendre les moments; le trait qui surmonte la lettre Findique que la réaction fictive en F fait panie des dites forces tictivea.

DigiLizedbyGoOglc

le déptaeement (/,^ du poira G estimé suivantFaxedesx; en sorte qu'on peut écrire

3" La somme algébrique des forces fictives réparties etUre C et F, y compris la réaction fictive en F, représente, engrandeur et au signeprès, le déplacement angulaire g^. de la section transverside tpti contient U poàU C ; et nous écrivons

c.F M (UI) 9^=~T^dsO.

(B). — En tout point G situé entre B et Ë ;

/" La somme des moments par rapport à C, (/es foroes fictives répartiet erUre Get^,etde la réaction fictive en E, représente, en grandeur et ou signe près , le déplacement du point G estimé suivant l'axe des y ; et l'on a

(1 bis) (Q^ = — MY ^ ds.

S^ Si on fait tourner de 90 degrés dans le sens rétrograde, les foras fictives réparties entre G ef E, y compris la réaction fictive en E, la somme des momerds de ces forces par rapport à G, représente, en grandeur et au si^ près, le déplacement du point C estimé suivant faxe des x; oui

donc

(ilbis) {l.\ = - MX^ds.

3" La somme (Ugélyri^ des forces fictives réparties entre C e( E, y compris la réaction fictive en E, représentey en grandeur et en signe, It déplacement angulaire de la section transversale qui contient le point C ; p.n sorte qu'on a

(mWi) ?c= T ^ds.

Nous ne justifierons que la partie (A) du théorème ; la partie (B) se démontre d'ailleurs de la même manière.

i forées avec un effort tranchant d*as nae

DigiLizedbyGoOglc

Pour simplifier les calculs, nous ferons passer l'axe des y par le point E avant déformation, et celui des x par le point fixe F. a représentera ratfâcisse du point F et 6 l'ordonnée du point E.

Démonstration du 1° de la partie (A) dd théorème. — Appliquons la formule (A,) (§ 13, 1" partie) à l'évaluation du déplacement (I^) .

Dans cette formule, M désigne le moment fléchissant produit par les forces directement appliquées, en chaque point de la ligne moyenne de la pièce astreinte à toutes ses liaisons ; [x est le moment fléchissantqueproduirait, en chaque point de la pièce supposée assujettie seulement aux liaisons indépendantes de l'élasticité, une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée en C, dirigée parallèlement à of/ et dans le sens des y positifs.

Pour le calcul de ;*, il y a lieu de distinguer suivant que C se trouve entre A et E ou entre E et F (fig. 4).

{a.) — Le point C «st sittté entre A ef E. — Soient § et «] ses coordonnées par rapport 9,ox etoy.

Le moment (* a les valeurs suivantes :

En tout point {ety) situé entre A et C : [* = ;

— — CetE:ti = « — S;

— — B et F : u =: — - (a — «)

— ■— F et B : iJL = 0.

D'où

Le premier terme de cette formule représente la somme des moments par rapport à C des forces fictives réparties entre C

DigiLizedbyGoOglc

et F, et le second le moment de la réaction fictive en F. On a doue bien, dans le cas où le point C est situé entre A et E,

(b). — Le point Ceslsitvé entre E et F. — Dans ce cas, le moment (* a pour valeurs :

En tout point (xy) situé entre A et E : [ji = 0;

a~\ — — EetC:!ii= x;

F et B : 1* = 0.

i'.X= Bi*= / s{ — ^V+ -ir( — —V

/ Mifc , „ , „ / Mife »

(«> (',)c= / ir'^^-s'-c-s / -ËTî-

Le premier terme de cette formulereprésente la somme des moments par rapport à C des forces fictives réparties entre C et F, et le second, le moment de la réaction fictive en F ; ce qui justifie le i" du théorème.

Déhonstr&tion du â° DE LA PARTIE (A) DU THÉORÈHE. — Appliquons la formule (A,) à l'évaluation du déplacement (/^) . Dans ce cas, (a

désigne le moment fléchissant que produirait, en chaque point de la pièce supposée assujettie seulement aux liaisons indépendantes de l'élasticité, une force auxiliaire égale à l'unité, appliquée en G, dirigée parallèlement k ox et dans le sens des œ positifs.

Four le calcul de |jl, il faut encore distinguer suivant que C se trouve entre A et E ou entre E et F.

DigiLizedbyGoOglc

(a) — Z« point G est entre A. et E. — Dans cette hypothèse, le moment ^ a les Valeurs suivantes :

En tout point (xy) tUué entre A et G : h- = 0;

— — CetE: |*t=r, — y;

— -- E et F ; ji = 1) — y — -a;;

— — F et B : p = 0.

Par suite

I Mdsfi f M<fc, , / M*»

('.X= / Ër*'-"'-" / KTâ-

e 90» dan ictive en

/ Mo

Or, si l'on fait tourner de 90° dans le sens rétrograde les forces Mds fictives -pj- et la réaction fictive en F envisagée au 1" du théorème,

, ,, .1 Mdsx .. ,

laquelle a pour expression I -pr- - , on voit que le premier

terme de la formule (6) représente la somme des moments par rapport à C de celles de ces forces qui sont réparties entre C etF et que le second est égal au moment par rapport à C de la réaction fictive en F.

Le S" du théorème est donc démontré paur le cas oii la point C est entre A et E.

(b) Le point C est entre E ci F. — Dans cette hypothèse, on a : '

En tout point (xy) situé entre A et E : j* — 0;

— — EetC:(*=— 2(t;

— — - CetF:[i^-^a; + (7i— y);

— — F et B : ji = 0.

JigiLizedbyGoOglc

Par c(»iséquent.

relation qui conduit à la même eonclusion que précédemment.

Démonstration dd 3° de la partie (A) m théorème. — Appliquons

la formule (B,) (§ 15, \"' partie) au calcul du déplacement g^. Dans cette formule, ^jl désigne le moment fléchissant que produirait, en chaque point de la pièce supposée assujettie seulement aux liaisons indépendantes de l'élasticité, un couple auxiliaire égal à l'unité, appliqué à la section G.

n faut, comme précédemment, distinguer suivant que C se trouve entre A et E ou entre E et F.

(a) Le foifU G eal entre A «( E.

Dans ce cas, le moment i* a pour valeurs :

En tout point (œy) situé entre A et C : i* = ;

— — CetE:(i = — 1;

- - EetF:(* = -l+^;

— — F et B : I* = 0.

Donc

M(> , / Udê , i iidi , i îâdtx

Ër*= / --Er+ / --Ër+ / -mi

,, \ i Mdt i tlibœ

[tJc t/E ]

DigiLizedbyGoOglc

La première intégrale de la parenthèse représente la somme algébrique desforces fictives-pj- réparties entre G et F, et la seconde, avec son signe, est égale à la réaction fictive en F.

Le 3° du théorème est donc démontré pour le cas où le point G se trouve entre A et E.

(b). — Le poitU C se trouve entre E et F.

Dans cette hypothèse, les valeurs de i* sont les suivantes :

En tout point {xy) situé entre A et E ; (* = 0.

— — E et G : !J^ = J

— — CetF:(x = ^ — i.

— — F et B : ix = 0.

Par conséquent,

/»B ne /*F /»p

/ Mfi , 1 Udê X , t iida X • i ^

9c= I Ër'^= / -wà+ I -ËTâ-- j 1

«/a *A *Jc t/c

9 le cal oîi G est entre A et £

\ i \Ldê i \ Sc = -\ j "ET- / 1

Mdt

ou, comme dans le cal oîi G est entre A et E,

GoROLLAlHE. — Pour déte} miner le déplacement (Tun point quiconque G, suixxml une direction arbitrairement choisie ox" (fig. 1, p. 4), faisant m. angle a avec WW, e'eit-à-dire avec ox, on opérera de la manière sidvante:

(A) — Si le jÀinl G est situé entre A eï F, on «mènera ies forces fictives réparties entre C-et F, ainsi que la réaction fictive en F, à être poroj/ètes à ox', au moyen rfVne rotation rétrograde d^un cmgle {90' — a) (Oitour de leurs point» d^application respectifs, et on prendra la somme des moments de- ces forces par r(:^)port au point G; ce qui peut se traduire par la formule

(B) — Si le point G est situé entre B et E, on amènera, comme précé~

DigiLizedbyGoOglc

demment, les forces Clives réparties entre C et E, amsi que la réattioit fictive en E, d être parallèles à ox", et on prendra par rapport ou potnJ G, la somme des moments de ces forces, dont on changera le signe; ce qui peut se traduire par la formule

('.•X=-ifl-^*,

Nous ne ferons la démonstration que pour le cas (A). On a évidemment

D'ailleurs, (l) et (Q sont exprimés, quelle que soit la position

de C sur AF, par les formules (a) et (b) établies plus haut. En substituant dans la relation qui précède, il vient

» + H COS a -|- X sin a — y C08 a)

Or, si on désigne par;»",!/", les coordenoées courantes d'un point quelconque de la ligne moyenne et par ^'i tj", les coordonnées du point C, relativement aux axes rectangulaires ox", oy", on a :

x" =X COS a -|- y sin a ; 5" = S COS a + t, sin f,

y" = — a; sin a + y COS a; ^" = — £ sin « + -ricosa;

Donc

nmedesi

s entre C

Cette expression représente précisément la somme des momenfs

Mds par rapport à C, des forces fictives -^r- réparties entre C et F, et

de la réaction fictive en F, laquelle a pour valeur I -ttï- - *'

zedbyGoogIc

dont le bras de levier est (osina+Tj'), — étant entendu que ces forces et cette réaction fictives sont supposées avoir été rendues parallèles à œ".

Nota. — Le théorème qui précède et son corollaire sont indépendants de la direction deWWqui peut, par exemple, coïncider avec la droite E F.

S 33. — ExpresBUnUBymboliqoaadeadéformatiotudiuiB le oas oft les liaisons indépendantes de l'élastlolté sont du second a rstème.

Théorème II. — Etant donnée une pièce de ligne moyenne AB {flg. 2), soumise à des forces qui y développent des moments fléchissants M, et astreinte à des liaisons quetcimques mais telles qu'on peut, par la suppression des licûsons surabondantes, la ramener à n'élreplus assujettie qu'au second système de liaisons indépendantes de l'élasticilé (') (SetAîon E encastrée), — si, ayant rapporté celle pièce à deux axes i-ectangulaïres quelconques ox et oy, on applique aux divers éléments dsde la ligne moyenne,

des forces fictives -^ ds, parailèles àoyet dirigées dans le sens des y positifs, ou en sens inverse, stâvtmt que M est positif ou négatif :

Fig^2

(A). — Kn tout point C situé entre \ 0I E:

i° La somme des moments par rapport à C, des forces fclives réparties entre C et E, représente, €n grandeur et en signe, le déplacement (l ^ du point G estimé suivant la direction oy ; de sorte qu'on a