INTRODUCTION
Les théorèmes bien connus de MM. Briot et Bouquet permettent d'étudier, dans le voisinage d'un point iCo, les intégrales d'une équation différentielle du premier ordre
qui deviennent égales à j© pour x = x^. Si /{x.y) est holomorphe dans ie voisinage de x^^ jo» il existe une seule intégrale satisfaisant à la condition j(iCo) =7o» ^^ on sait la développer en série de Taylor. Quand les valeurs (^o»/©) forment un couple de valeurs singulières de /(a?,/), on sait encore discuter, dans le voisinage de x^^ la forme des intégrales, qui peuvent être alors en nombre infini. MM, E. Picard et H. Poïncaré ont même indiqué des développements en séries de ces intégrales dans le voisinage de x^^.
(^) Mémoire couronné par l'Académie des Sciences '(grand prix des Sciences mathématiques, 1890).
2 P. PAINLEVE.
Mais qu'arrive-t-il lorsqu'on fait varier x d'une façon quelconque <lans le plan des a; et qu'on suif "les variations correspondantes d'une intégrale particulière j? La fonction j est-elle indéterminée en certains points ^o? acquiert-elle un nombre limité ou illimité de valeurs? C'est là une question à laquelle ne répondent pas les théorèmes que nous venons de rappeler.
Dans le cas particulier où x ne figure pas explicitement dans l'équation
supposée algébrique en j, j', MM. Briot et Bouquet ont résolu le problème suivant :
Reconnaître si r intégrale générale de l* équation est une fonction de x qui n admet dans le plan quun nombre donné n de déterminations.
Ce problème, devenu classique, a été le point de départ d'un très grand nombre de travaux.
Mais, quand x figure explicitement dans l'équation
algébrique (^n y, y\ la question analogue apparaît comme beaucoup plus compliquée, et elle était demeurée intacte jusque dans ces dernières années.
C'est M. Fuchs (*) qui, le premier, a cherché les conditions pour que l'intégrale d'une équation (i) soit uniforme. Il s'est même placé à un point de vue plus général que je vais indiquer.
Quand on considère les intégrales d'une équation diiférentielle d'ordre quelconque, parmi les points critiques Xi de ces intégrales (j'entends les points où plusieurs valeurs de j se permutent), il en est qui varient avec les constantes d'intégration et que j'appelle points critiques mobiles; d'autres, au contraire, qui restent y2!re^. Ces deux espèces de points jouent un rôle très différent, comme la suite de ce Mémoire le montrera.
M. Fuchs a indiqué les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale de (i) n'ait que des points critiques fixes j?,. Ces con-
(*) Flchs, Sitzungsberichte der Académie der iVlssenschaften zu Berlin, juin 1884.
dîtions une fois remplies, si Ton veut que l'intégrale générale soit uniforme, il reste à exprimer que ces points a?,-, qui sont connus, ne sont pas des points critiques des intégrales.
M. H. Poincaré (*), reprenant la question, est arrivé à ces conclusions inattendues :
Quand les points critiques de l'équation ( i ) sont fixes, cette équation s'intégre algébriquement, ou par une quadraXure, ou se ramène à une équation de Riccati.
Les trois cas se distinguent de la manière suivante. Donnons a x une valeur quelconque dans l'équation (i). Cette équation, algébrique et irréductible en j, j'',
a un certain genre p qui ne varie pas avec a:. C'est ce nombre/; que nous appelons, par définition, genre de l'équation différentielle. Si p est plus grand que i, les équations de M. Fuchs s'intègrent algébriquement; si /> = 1 , elles s'intègrent par quadrature; si p est nul, elles se ramènent à une équation de Riccati.
La raison de ce fait est qu'il existe alors, entre les valeurs (r,y) et (jo» Jo) ^® l'intégrale et de sa dérivée aux points x et x^^, une correspondance birationnelle qui transforme l'une dans l'autre des deux courbes algébriques
F[j»y» (•^)] = o» F[jo,7o, (^)]=o.
Plus récemment, M. Picard (*) s'est servi d'un théorème analogue pour intégrer des classes très étendues d'équations d'ordre supérieur.
Je me propose de généraliser dans ce travail, à la fois la question résolue par M. Poincaré et la méthode qui l'a conduit à cette solution.
Joignons dans le plan des^ par des coupures L tous les points critiques fixes Xi des intégrales de (i), en choisissant ces coupures de
(') H. Poincaré, Sur un théorème de M. Fuchs {Acta mathematica, t. Vil). (') E. Picard, Théorie des fonctions algébriques de deux variables {Journal de Mathématiques, 1889).
4 p. PAINLEVÉ.
telle façon que le point x, assujetti à ne pas les franchir, puisse atteindre un point quelconque du plan, mais ne décrive jamais un contour fermé autour d'un ou plusieurs points Xi.
Soit alors jo la valeur en x^ d'une intégrale particulière j(ir); faisons variera? (sans franchir les coupures L) et suivons les variations correspondantes de j, en partant de x^ avec la valeur Vo de y.
11 peut arriver, dans ces conditions, que y acquière un nombre limité ou illimité de valeurs en un même pointa?. Si c'est le premier cas qui se trouve réalisé (quel que soit jo)» ^ous convenons de dire que l'intégrale générale de {i) ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles.
Deux problèmes se posent maintenant d'eux-mêmes :
I® Étudier les propriétés de l'intégrale de (\) quand elle est supposée de cette nature;
2^ Reconnaître si l'intégrale d'une équation donnée (^i) ne prend qu'un nombre limité de valeurs autour des points critiques mobiles.
Ce sont ces deux problèmes dont nous nous occupons ici. Il est indispensable, pour les traiter, de s'appuyer sur certaines propriétés caractéristiques des équations du premier ordre, qui demandent à être démontrées rigoureusement. Ces propriétés se résument ainsi :
I. Une intégrale y{x) d'une équation (i) ne saurait devenir indéterminée qu'en certains points particuliers ^, du plan des x, faciles à déterminer sur l'équation dijff'érentielle,
II. Ces points ^^ mis à part, une intégrale qui ne prend dans le voisinage de la ligne X (d'un côté de cette ligne) que n valeurs ne peut admettre cette ligne X pour ligne singulière,
III. Quand l'intégrale générale d'une équation (i) ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, il existe entre y{x) et yo(^o) une relation algébrique
Cette relation est de degré mn par rapport à y et à y^ respectivement, si m désigne le degré en y' de l'équation ( i ) .
Ces propositions restent vraies quand on admet seulement que r' est
une fonction analytique de y k m déterminations, y=/(xjy), qui, pour toute valeur de x, n^admet pas dans le plan des j de ligne singulière. La proposition III nous montre alors que, si l'intégrale de l'équation est de Tespëce étudiée, y' est nécessairement une fonction algébrique de y. Nous nous bornerons donc à considérer dans ce Mémoirell des équations de la forme
algébriques et irréductibles en y, y\ dont les coefficients dépendent de X d'une façon quelconque.
Le théorème III, qui est fondamental, est évident quand on suppose que l'intégrale y est une fonction algébrique de x\ si, en effet, l'intégrale de (i) se laisse définir par une relation algébrique
d'un certain degré en j et x^ en exprimant qu'il erï est ainsi, on forme un certain nombre de relations algébriques entre les coefficients de G. Ces coefficients dépendent donc algébriquement d'un d'entre eux, par suite de jo* Cette remarque s'applique aussi bien aux équations différentielles d'ordre supérieur.
Mais, ce cas particulier excepté, les propriétés que nous venons d'énumérer exigent une démonstration, en dépit de leur apparente évidence qui les a fait parfois étendre aux équations d'ordre supérieur pour lesquelles elles ne subsistent à aucun titre. L'intégrale générale des équations du second ordre ou du troisième ordre les plus simples, quand elle est uniforme ou à n valeurs, peut présenter des points singuliers essentiels ou des lignes singulières, variables avec la constante d'intégration, et qu'aucune particularité de l'équation différentielle ne met en évidence. Cette intégrale n'est pas nécessairement une fonction algébrique des constantes Vo, y\^ y\^ ...; ces constantes y peuvent figurer d'une façon transcendante (*).
Une fois admises pour les équations du premier ordre
(*) Voir à ce sujet le Mémoire déjà cité de M. E. Picard.
6 p. PAINLEVÉ.
ces propositions générales, il est aisé de donnera l'intégrale de (i) plusieurs formes intéressantes. Tout d'abord, on peut récrire
(a) 7'»-H R«-i[7o,/o> («^o), (•a:)]^^''-* -h. . .4- Ro[j^o,/o, (^o), (^)] =o,
les R désignant des fonctions rationnelles de y©, y\^ qui dépendent de X d'une façon quelconque. II est clair qu'on a aussi
(3) jKÎ+R.-i[7,/,(^),(^o)]7r* + ...H-Ro[7,/,(^),(^^o)]=o,
et ceci nous montre que l'intégrale de (i) se laisse définir par l'équation
c'est-à-dire par une équation telle que
(4) pC/rjS (^)] = consl. = y,
p désignant une fonction rationnelle dey,y , ety la fonction de (j, a?) que détermine l'équation (i).
Plus généralement, l'intégrale vérifie une infinité de relations de la forme
où A est une fonction de x dont les points critiques sont indépendants de la constante C. Nous donnons aux constantes y le nom de constantes intégrales, aux fonctions A le nom Ae fonctions intégrales. Deux constantes intégrales y, y, sont liées par une relation algébrique
Deux fonctions intégrales A, A« sont liées par une relation
H[A,Ai,(^)] = o,
algébrique en A, A<. Nous montrons qu'on peut toujours choisir deux fonctions (ou, si l'on veut, deux constantes) intégrales
liées par l'équation
de telle façon que toute autre fonction intégrale R = A s'exprime rationnellement à l'aide de r, r,,
Cette relation A = o, dont les modules sont indépendants de x, n'est déterminée qu'à une transformation birationnelle près; nous l'appelons relation entre les /onctions (ou constantes) intégrales.
Par exemple, il suffit de prendre pour r et r, les deux constantes intégrales
et
liées par la relation
où â7o 6st une constante quelconque, soit zéro.
On peut aussi bien prendre pour r et r^ les deux fonctions intégrales
définies par les égalités
la fonction r"(a?), ou la fonction r (quand on y remplace y par une intégrale de (i), vérifie l'équation
équation différentielle en rdont les points critiques sont fixes. (Dans ces égalités, les X,- sont des fonctions de x^ ou de x qu'on laisse quelconques.)
8 p. PAINLEVÉ.
De ce qui précède résulte encore ce théorème que l'intégrale de l'équation (i) vérifie une relation
de degré m en y : dans cette égalité, y désigne une constante ou, si l'on veut, une fonction de x et d'une constante dont les points critiques sont fixes dans le plan des x.
Quand le genre xs de la relation A = o est nul, les fonctions et constantes intégrales s'expriment rationnellement à l'aide d'une d'entre elles; il existe alors des relations
de degré m en y, et de degré n en y; y est une constante, ou, si l'on veut, une fonction de x qui satisfait à une équation de Riccati arbitraire
/=My»-hNy-hP.
Autrement dit, l'intégrale j peut s'écrire
(7) 7-4- R(;,-,,[C, (X)] j«-» -+-. . . + Ro[C, (X)] = o,
C désignant une constante, et les R, des fractions rationnelles en C de degré m.
Quand car = i, l'intégrale est de la forme
\ -+- v/(i -C«)(i-X:«C«) i p,,[G, (a;)] r«->+. . .4-po[G, {x)] \ =o
(k désignant un certain nombre), et il existe des relations
de degré m en y, de degré 2n eny, où y représente une fonction de x qui vérifie la relation
dans cette dernière égalité, ^(x) peut être choisi arbitrairement. Si l'on faitN = o, y = C.
Ces théorèmes sont connus depuis longtemps dans bien des cas particuliers. M. Fuchs, par exemple, a montré par une autre méthode
que rintégrale de (i), quand elle est algébrique^ peut se mettre sous la forme
De même, quand la variable x ne figure pas explicitement dans (i), la forme de l'intégrale
= 7« -H R„-i ( j: 4- O^r"-^» -f- . . . 4- Ro(^ 4- C)
correspond au théorème d'addition des fonctions simplement ou doublement périodiques.
Quand Téquation a ses points critiques fixes, Téquation (2) se réduit à
ot la relation A = o, où Ton fait r = R, r'= ^> à l'équation (i). On
retrouve ainsi le résultat qui est le point de départ de la m^hode de M. Poincaré, à savoir que les équations
définissent une correspondance birationnelle entre les deux courbes
F[7,/,(^)]=::o, F[7o,yo,(^o)]^o.
Dans le cas le plus général, les égalités
définissent une correspondance rationnelle entre la courbe et la courbe
que représente la relation entre les constantes intégrales.
Remarquons de même que, si cr = o, il existe une correspondance birationnelle entre la courbe
et les courbes
fi[j,y, (ir)] = o,
lO p. PAINLEVÉ.
correspondance que définissent les égalités
avec la relation
-^ "~ dj^lôy'^ '^ dx\
Dans tous les autres cas, il existe entre (i) et (6) une correspondance rationnelle, qui est seulement birationnelle quand y est une constante.
On voit comment les transformations rationnelles des courbes algébriques s'introduisent d'elles-mêmes dans l'étude qui nous occupe. Leurs propriétés doivent jouer dans ce qui va suivre un rôle essentiel, et c'est au développement de ces propriétés qu'est consacré le second Chapitre de ce Mémoire.
Les résultats que nous obtenons peuvent se résumer ainsi :
Soieht
les équations de deux courbes de degré m et w, respectivement, et
I -==+(7i»-,) deux fonctions rationnelles de ( j, , s, ) qui permettent de passer de (a)
Si le genre p de (oi) est nul, on peut toujours passer de (ol) à (^) par une infinité de substitutions (y) qui dépendent d'une fonction rationnelle arbitraire du point analytique (y^ , js, ) rfe ( ^ ).
Quand /? = i, on ne peut en général passer rationnellement de {cl) à (p). Pour quil en soit ainsi, il faut qu'une intégrale abélienne de première espèce de la courbe (J^) se ramène aux intégrales elliptiques de modide égal au module de (a). Une telle transformation^ quand elle existe, dépend toujours d'une constante et au moins d'un entier arbitraires, mais ne dépend jamais d'un second paramètre continu.
Quand p est plus grand que i , Un existe qu'un nombre fini de substitutions (y) transformant (a) en ((3), et toutes ces substitutions se calculent algébriquement.
Ces théorèmes se laissent démontrer par des procédés analogues à ceux qu'emploient MM. E. Picard et H. Poincaré dans l'étude des transformations birationnelles des courbes et des surfaces. Le point fondamental de ces raisonnements, c'est que la transformation (y) fait correspondre aux courbes adjointes de degré {m — 3) de (a) certaines des courbes adjointes de degré (/w, — 3) de ((3).
Il résulte de ce simple fait que le genre/? de (a) est au plus égal au genre/?, de (p). Quand la substitution (y) est birationnelle, on sait que /?=/!,; nous montrons que la réciproque est vraie quand p est plus grand que i. Ce théorème a déjà été établi par H. Weber à l'aide d'autres considérations (*).
Plus généralement, si [x désigne Vordre de la transformation, c'està-dire le nombre des points de (^) qui correspondent à un point de (a), on a
Enfin, si la courbe (p) est d'espèce hyperelliptique, il en est de même de la courbe (a).
Ces propositions supposent les deux courbes (a) et (P) données. Mais la question qui nous intéresse surtout consiste à déterminer toutes les courbes (oi) distinctes qui correspondent rationnellement à une courbe (p) donnée. J'entends par courbes distinctes deux courbes qui n'ont pas les mêmes modules, et par suite ne se correspondent pas birationnellement. En nous servant de l'équation de degré (/>-f-i) à laquelle Clebsch ramène toute courbe de genre />, nous montrons qu'on peut calculer algébriquement un type de toutes les classes de courbes (de genre /? ]> i) qui se transforment rationnellement, d'après les formules (y), en la courbe (P) donnée. Ces types (ou ces classes) sont en nombre limité. Les courbes (a), qui correspondent à la courbe (P) donnée, ne sauraient dépendre de modules arbitraires.
(*) H. Weber, Zur Transformation der algebraischen Functionen {Journal de C relie, t. 76).
La question de reconnaître si la courbe (P) est la transformée rationnelle d'une courbe de genre i revient à déterminer si une intégrale abétienne de première espèce attachée à la courbe (P) n'a que deux périodes.
L'application de ces théorèmes à l'étude des équations différentielles est immédiate. Soit
une équation dont l'intégrale prend n valeurs autour des points critiques mobiles.
Il existe alors, avons-nous dit, une correspondance rationnelle entre la courbe (i) et une certaine courbe
que définit la relation entre les constantes intégrales, et cette correspondance
détermine l'intégrale générale de (i).
Nous sommes en état de décider s'il existe une telle courbe H de genre xs supérieur à i. De là ce théorème :
On sait reconnaître algébriquement si l'intégrale de l'équation (i) donnée ne prend qu'un nombre ^ni de valeurs autour des points critiques mobiles, la valeur correspondante de xs étant supposée plus grande que i . S'il en est ainsi, l'intégrale s'obtient elle-même algébriquement.
On doit avoir, dans ce cas,
ZS — I
si p est le genre de l'équation (i). Ceci nous montre que, pour une équation (i) de degré donné en y ety, le nombre n ne peut dépasser une certaine limite quand gt est supérieur à i .
Traitons maintenant la même question en supposant ts = i.
Il existe alors une intégrale abélienne de première espèce de la courbe (i)
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l3
qui satisfait, si y(x) est une intégrale quelconque de (i)* à l'égalité (C est une constante), ou encore à Tégalité
Si Ton exprime que cette dernière relation est équivalente à l'équation (i), on forme un certain nombre de relations linéaires et homogènes par rapport aux X/, -j^- Quand ces relations sont compatibles,
tous les X,- sont donnés le plus souvent par une quadrature logarithmique. Il peut arriver toutefois que leur détermination dépende A'une équation différentielle linéaire et homogène d'ordre p — \ au plus, IjES X/ une fois calculés, l'équation s'intégre par une quadrature
J m/ k{x)dx -^ C.
Un cas important, où les X/ se déterminent algébriquement, est celui où les modules de Téquation (i) ne dépendent pas de x.
Ajoutons que, les conditions précédentes se trouvant réalisées, l'intégrale de (i) n'est pas nécessairement de la forme voulue. Il faut, de plus, que l'une des intégrales J ainsi trouvées n'ait que deux périodes. Quand gt = i , le nombre n peut dépasser toute limite, pour un degré donné de l'équation (i) en j, j'.
Le nombre xs ne saurait être supérieur à/?. Il convient de remarquer que, sip = cr (/? ]> i), l'intégrale a ses points critiques fixes, car la correspondance entre F et H est birationnelle. Ce théorème subsiste pour p = i.
Seul le cas où gt est nul échappe complètement à la méthode. Elle ne saurait donc rien nous apprendre sur les équations (i) résolues par rapport à y ou de genre o. Mais, quel que soit le nombre car, nous pouvons résoudre la question suivante :
Déterminer si l'intégrale générale de l'équation (i) est une fonction qui ne prend dans le plan des x qu'un nombre donné n de valeurs autour des points critiques mobiles.
l4 p. PAINLEVÉ.
Nous montrons d'abord qu'on sait trouver une limite supérieure N du degré auquel figure jo d^ns la fonction
supposée entière et de degré (/w — i) en y^. Pour cela, nous identifions le premier membre de l'équation
de degré mn en y et en y^ respectivement avec le produit en posant
zj désigne l'une des m valeurs de y'^ pour jo» ^o- Une fois N calculé, on connaît une limite supérieure du degré en R,, r, ^ des relations
^i[Ri, r, (J7)] =o, (A)
Exprimons que les fonctions R/, r, déterminées par les équations (A), n'ont que des points critiques fixes et définissent l'intégrale de (i) quand on les porte dans l'équation
Le système de conditions ainsi formé, entre les coefficients des A, 4'/, est ou incompatible ou déterminée; car si n est le nombre des valeurs de y qui se permutent effectivement autour des points critiques mobiles, il ne saurait exister deux systèmes distincts de relations (A).
Une fois les relations A calculées (par des opérations purement algébriques), l'intégration de (i) est ramenée à celle de
Quant aux R/, ils s'expriment rationnellement à l'aide de r et de r. Si nous appliquons à l'équation A = o, dont les points critiques sont
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l5
fixes, les résultats obtenus par M. Poincaré, nous voyons que l'équation donnée s'intégre algébriquement quand xs est supérieur à i ; elle s intégre par une quadrature « cy = i ; enfin elle se ramène à une équation de Riccaii, si us = o»
La méthode précédente fournit une démonstration directe du théorème que nous avions en vue. Mais les calculs auxquels elle donne lieu sont en général impraticables. La marche à suivre la plus commode consiste à distinguer les trois cas
Le premier se traite aisément à l'aide de la théorie des transformations rationnelles.
Le second nous conduit à chercher si une intégrale abélienne de première espèce de (i), J, ne se ramène pas aux intégrales elliptiques par une transformation d'ordre n : problème classique qu'on sait traiter de bien des façons. Une fois J calculé, l'intégration s'achève par une quadrature.
Pour le troisième cas enfin (car = o), on se sert de la forme (6) de l'intégrale
(6) G[7, y, (aT)] = o,
OÙ G est de degré m en y» de degré n en y, et où y vérifie l'équation
(6') /=My*-hNy4-P.
On assujettit les coefficients de (G) à trois relations choisies, de façon qu'une seule équation (6) corresponde a l'équation (i). Il suffit alors d'exprimer que les équations (6) et (6') définissent l'intégrale de l'équation donnée, pour former un système de conditions qui est ou incompatible ou déterminé. S'il est déterminé, l'équation (i) se trouve ramenée par des opérations purement algébriques à une équation de Riccati.
Quand le genre p de (i) n'est pas nul, on peut abréger les calculs en tenant compte de ce fait que les courbes (6) et (i) se correspondent birationnellement. Quand /) = o, on ramène l'équation (i) à la forme
l6 p. PAINLEVÉ.
qui est la plus commode pour nos recherches. Il s'agit alors de reconnaître si l'équation (i') se laisse déduire d'une équation de Riccati
par une transformation telle que
^ Y" -f- g/,-1 j^"' -t- . . . -f- gj.r ^ 6,,., ^r"-' -h... 4-1
Quand la chose est possible, elle n'est possible que d'une seule manière, et M,N, P, a^-i, ..., a,, i^-,, ... sont déterminés par des opérations linéaires.
On simplifie considérablement ces opérations en introduisant la transformation
A, A,, k, kt étant des fonctions de .r,. Cette transformation (a) est la plus générale, qui conserve à la fois la forme de l'équation (i') et le nombre des valeurs de j qui se permutent autour des points critiques mobiles.
Nous faisons de cette transformation une étude détaillée, analogue à celle qu'a faite M. Appell (*) de la transformation
Nous disons, par définition, que deux équations (T) sont de la même classe, quand elles se laissent déduire l'une de l'autre par une substitution (a). Si X désigne le degré de P en y, [x le degré Q, v le plus grand des nombres X et [Jl -h 2, nous appelons ce nombre v le degré du coefficient différentiel cfe (i'). Ce nombre v n'est pas altéré par une transformation (a), et, si l'équation (i') est la plus générale de sa classe, X — V, jx = v — 2. Pour que deux équations (i') soient de la même classe, il faut d'abord que les degrés v et v, de leurs coefficients difTé-
(*) Appell, Invariants de quelques équations différentielles (Journal de Mathématiques; 1889).
rentiels soient égaux; ensuite, que les (2v — i) coefficients des deux équations satisfassent à (2v — 5) relations. Ces relations expriment qu'il existe une fonction jr = o(Xi) qui transforme Tun dans l'autre les (2v — 4) invariants J(^), h(^i) ^^^^ deux équations, invariants relatifs au groupe des substitutions (a).
Pour mettre en évidence ces invariants, nous indiquons deux procédés généraux de réduction d'une équation (i') à des formes canoniques : le premier, identique k celui qu'emploie M. Appell dans le Mémoire déjà cité, consiste à faire disparaître de l'équation (i') le plus grand nombre possible de termes. Il conduit, par des quadratures, h des invariants qui dépendent de constantes arbitraires. Le second ramène algébriquement l'équation (i) à une forme telle qu'un nombre fini seulement d'équations réduites appartiennent à la même classe. Les nouveaux invariants ainsi introduits dépendent algébriquement des coefficients de (i') et de leurs dérivées. Ils ont l'avantage de ne pas entraîner avec eux de quadratures et de constantes parasites. Les propriétés d'une équation (i'), invariantes dans la transformation (a), se traduisent par des relations difTérentielles dont l'ordre est moins élevé avec les seconds invariants qu'avec les premiers.
C'est ainsi, par exemple, que l'équation
se laisse ramener à une des formes canoniques
dY
équation canonique de première espèce, et
^--=K(X)(Y^+3XY-+-i),
équation canonique de seconde espèce. Les fonctions J(X) et X(x) d'une part, K(X) et X(x) d'autre part sont des invariants.
Il existe toutefois des équations (i') qui ne sont pas susceptibles de se laisser ramener aux formes canoniques de seconde espèce. Ce sont P. 3
l8 p. PAINLEVÉ,
les équations qui admettent un groupe continu de transformations (a). Nous établissons, au sujet de ces équations, ce théorème général :
Soil une équation du premier ordre quelconque
où /est une /onction analytique de (j7, y). Quand une telle équation admet un groupe continu de substitutions (a), elle se ramène sans quadrature à l'une des /ormes
y ■= a y -4- by^
(k est un nombre constant quelconque) ou
/=:(p(x)R(jK),
et, par suite, elle s'intègre à l'aide de deux quadratures. Seule V équation de Riccati/ait exception à ce théorème.
Ces équations mises à part, les formes réduites de seconde espèce se prêtent, aussi bien que les premières, à mettre en évidence des cas d'intégration des équations (i'). Ce sont elles surtout qui nous servent à simplifier les calculs qu'exige le problème que nous nous sommes posé. Le principal avantage de ces formes canoniques réside dans cette remarque bien simple : quand la valeur j = o est racine multiple de Q d'ordre a, les coefficients 84,83, ..., 8a sont nuls dans l'équation
qui définit l'intégrale de (i/) avec la condition
/i=:M/4-Ny-hP.
De même, si Q admet une racine y infinie d'ordre P (c'est-à-dire si (xi= V — 2 — P),les coefficients A„,, A;,.^, . .., A(;,«a-i) sont nuls. Par exemple, quand y = est racine de P = o d'ordre {n — i), l'équation (P) se réduit à
Si y' a deux infinis d'ordre {n — i), soit j = o, y — x), il vient
l'équation est de la classe de celles qui se déduisent d'une équation de Riccati en y par le changement de y en y.
Nous appliquons ces remarques en particulier aux exemples n = 2, 72 = 3. Pour /^ = 2, on a
v = 4 ou v=i3;
pour /^ = 3, on a
V =: 6, 5, 4 ou 3.
Nos calculs mettent en évidence ce fait remarquable qu'on peut démontrer d'une façon générale : Quand n n'est pas égal précisément à
- [n ne saurait être inférieur a - u on connaU toujours au moins une solution de l'équation de Riccati en y. Le problème se résout donc à l'aide de deux quadratures au plus. Quand nest supérieure v — i, on connaît toujours au moins deux solutions de la même équation. Le plus fréquemment, on obtient y sans quadrature : nous apprenons d'ailleurs à distinguer les différents cas où Ton connaît une, deux ou trois intégrales particulières distinctes.
Ces propositions sont susceptibles d'être étendues aux équations (i) de genre p quelconque, xs étant toujours supposé nul. L'équation (6) dont nous nous servons se simplifie là encore, quand y = o ou y = x) sont des valeurs de y rendant/' infinie. De même, si l'équation donnée, de degré m en y, n'est pas de l'espèce la plus générale qui corresponde à la valeur de n (ce qui arrivera toujours pour /^ suffisamment grand), des intégrales particulières de (1) se mettront en évidence. Toutefois, les choses se présentent alors d'une façon plus compliquée, à cause de la double espèce des points critiques de l'équation, et je me borne pour le moment à ces indications sur ce sujet.
Dans tout ce qui précède, nous n'avons rien supposé sur la nature des points critiques fixes. Quelles simplifications entraine l'hypothèse que V intégrale y (^x) est algébrique dans tout le plan ? Si l'on a reconnu que l'intégrale prend un nombre fini n de valeurs autour des points critiques mobiles, il faut, de plus, que l'intégrale de l'équation à points critiques fixes
:iO p. PAÎNLEVÉ.
ait son intégrale algébrique. Si c? est supérieur à i, il suffit que les coefficients de h soient algébriques en x. Quand gt= i, le problème revient à reconnaître si l'intégrale d'une équation
est algébrique. Quand gj = o, le problème se résout algébriquement ou l'équation se ramène à la quadrature
ainsi qu'il ressort des propriétés de l'équation de Riccati.
Si l'on se donne le nombre N des déterminations de l'intégrale algébrique y{x) dans le plan, la question, quand cj = o, se résout algébriquement; quand ct = i, elle revient encore à reconnaître si une intégrale abélienne de première espèce est la transformée rationnelle d'une intégrale elliptique.
En particulier, on reconnaît algébriquement si l'intégrale y(j?) d'une équation (i), de genre p=^Oj est une fonction algébrique a N valeurs : l'intégrale s'obtient elle-même algébriquement.
Posons-nous maintenant la même question sans nous donner ni /^ ni N; autrement dit, cherchons à déterminer si T intégrale d'une équation (^\) est algébrique. En nous servant de la première méthode d'intégration (après avoir effectué sur x, y une transformation homographique), nous montrons qu'on reconnaît algébriquement s'il en est ainsi, dans l'hypothèse cr^i; dans l'hypothèse gt=i, on ramène l'équation a une équation de la forme
9{y)dy = ^{j^)dx
dont l'intégrale doit être algébrique. Mais la méthode ne fournit aucun renseignement sur le cas de gt = o. Par conséquent, les équations entières eny,j, x
et de genre o en (y,/)» lui échappent toujours.
Nous traitons toutefois, au sujet de ces dernières équations, certaines questions particulières. Nous les ramenons d'abord à la
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 2f
forme
où P et Q sont deux polynômes en j, x. Dans l'étude qui nous occupe maintenant, y etx jouent un rôle symétri^^ue ; on peut leur faire subir une transformation rationnelle quelconque, par exemple une transformation de Cremona. Les points singuliers intrinsèques de l'équation sont alors les points communs aux courbes P = o, Q == o. Certaines propriétés de ces points suffisent parfois à décider si l'intégrale de Téquation est ou non algébrique; mais le genre de cette intégrale est alors nécessairement nul. Des procédés analogues permettent, dans bien des cas, de calculer les intégrales algébriques de genre donné et, dans tous les cas, les intégrales rationnelles particulières. Mais le problème qui consisterait à calculer les intégrales algébriques sans aucune donnée a priori ne semble pas près d'être résolu.
La conclusion générale à laquelle nous arrivons est identique à celle de M. Poincaré dans son étude des équations de M. Fuchs. Les intégrales générales k/i valeurs des équations du premier ordre sont des transcendantes qui ne diffèrent pas de celles que définissent les quadratures ou les équations linéaires. C'est Ik une distinction essentielle entre les équations du premier ordre et celles du second. Pour trouver quelque analogie entre les deux espèces d'équations, il faut se borner k considérer les équations d'ordre supérieur dont l'intégrale y
dépend algébriquement des constantes jo^Jo Encore ne peut-on
fixer (comme dans le cas du premier ordre) une limite supérieure du degré auquel figurent ces constantes dans la relation
qui définit l'intégrale générale. Toutefois, la théorie des transformations rationnelles des surfaces permet d'étendre notre première méthode d'intégration k cette classe d'équations d'ordre supérieur; les résultats que nous obtenons ainsi et que nous énonçons succinctement au cours de ce Mémoire, et la méthode même qui nous y conduit, constituent une extension des travaux déjk cités de M. Picard relatifs aux équations du second ordre.
22 P. PAINLEVE.
