Soit

une équation différentielle du premier ordre, algébrique et irréductible en y y y\ dont les coefficients A(a?) dépendent de x d'une façon quelconque, et

une des valeurs de y' qui satisfont à l'équation (i). L'intégrale y{x) d'une telle équation possède certaines propriétés fondamentales que nous allons rappeler :

Si une intégrale j(j?) tend versjo quand j? tend vers j?o»/(^o» Jo) étant holomorphe, cette intégrale est elle-même liolomorphe dans le voisinage de x^ et développable par suite en série de Taylor dont on connaît les coefficients. Il n'existe pas d'autre intégrale prenant au point £Co la valeur jo» quand x tend vers o^o sur un chemin de longueur finie.

Quand/(j;, j) n'est pas holomorphe en ^To»/©» cette fonction peut être, ou non, uniforme dans le voisinage de a?©» Jo- Plaçons-nous d'abord dans le premier cas.

Nous admettons que x^ n'est pas un point singulier X, des coefficients A de (i).

Si la valeur de /(j7o».Xo) est infinie, il existe toujours une dérivée

de -^ par rapport à y d'un certain ordre, . ^^ par exemple, qui ne

s'annule pas pour (^o»7o) et le point j^^est un point critique algébrique de j(a?) autour duquel se permutent (/) + i) valeurs.

Quand x tendant vers o^o, y tend vers l'infini, on pose j = — , et la

fonction y vérifie Téquation

Si/,(a7, o) est holomorphe, a?o est un pôle de y(x) ; si A (a:, o) est infinie, x^ est un point critique algébrique de y(x).

Ce qui précède s'étend au cas où le point x^ est le point ao du plan

de la variable complexe x. On pose alors a?= — ; l'intégrale j( — ) vérifie l'équation

et on étudie cette équation dans le voisinage dex^ = o.

Enfin, /(a?o,jo)p<îut être indéterminée, c'est-à-dire qu'au voisinage de ^o»yo la fonction/se présente sous la forme

P etQétantdeux fonctions entières dea:,jqui s'annulent pour a ==Xo, y =yQ. Ceci ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières X) de X et Y), de j. Le point x = X, peut être un point transcendant sin- ^ gulier de y(x). Les travaux de MM. Briot et Bouquet, E. Picard, H. Poincaré permettent d'étudier j^(a?) dans le voisinage du point X,.

Passons au cas où/(a?,j) n'est pas uniforme dans le voisinage de X = Xq, y =yQ,

Nous supposons encore que x^ n'est pas un des points singuliers X/

des coefficients de l'équation (i). Dans ces conditions, un nombre fini

d'intégrales j deviennent égales à j© en Xq et admettent ce point x^

comme point critique algébrique. Il n'y a d'exception que si la

quantité

âF âF ,

est nulle pour x = x^y y=y^, y' = /(^ofyo)' En général, les trois

relations

âF ' dF (?F ,

24 p. PAINLEVÉ.

ne sont compatibles que pour des valeurs exceptionnelles X[ de x. Mais au cas même où ces trois relations sont vérifiées, quel que soit x, quand x ety satisfont à une certaine relation

l'équation admet une intégrale singulière, et le point x est un point algébrique dey(x), sauf pour certaines valeurs particulières X] de x, qui satisfont à une troisième condition distincte des relations

Je renvoie pour la démonstration de ces propriétés au Mémoire de MM. Briot et Bouquet (Journal de V École Polytechnique, année i856).

Nous voyons, en résumé, que si y tend vers Vo quand a:* tend vers j^o» le point x^ est un point algébrique de y{x), et il n'existe qu'un nombre limité d'intégrales v prenant en ^o 1^^ valeur Vo-

Il n'y a d'exception que si Xq coïncide avec certains points singuliers ^i (ou X/, X], X") du plan des x^ points qu'on peut déterminer, a priori, quand on connaît l'équation (i). Ces points peuvent être des points singuliers transcendants de l'intégrale y{x)^ et une infinité d'intégrales y peuvent prendre la valeur Vo.

Mais, dans cette discussion, nous avons admis que, x tendant vers Xq, y tendait vers jo- Peut-il arriver que y ne tende vers aucune limite? Pour les valeurs singulières ^, de a-„, le cas se présente fréquemment, comme le montrent les exemples les plus simples. Ainsi

l'intégrale générale y = Ce* de l'équation

dy r

dx J7*

admet le point x = o comme point singulier essentiel. Quand x^ est un pôle ^ de y =/ quel que soit j, on sait même que y est nécessairement indéterminée ou tend vers une des valeurs y^ qui donnent à

/(.To, Vo)la forme -• Si donc toutes les intégrales ne prennent pas

la même valeur pourir = ^, elles admettent nécessairement ce point comme point singulier transcendant (point essentiel qui peut être aussi critique).

La même chose peut-elle avoir lieu pour une valeur x^ quelconque «le xi Avant de répondre à cette question, voyons un peu ce qui se passe pour les équations d'ordre supérieur

Les propositions que nous venons d'énoncer ont leurs analogues dans la théorie de ces équations, et permettent d'étudier, dans le voisinage de Xq, l'intégrale y(x) qui, pour x = x^, satisfait aux conditions

Mais il est facile de former des exemples de telles équations dont l'intégrale y(^) devient indéterminée pour des valeurs x^^ quelconques. Soit l'équation

son intégrale générale est

b et a désignant des constantes. On voit que, pour une valeur quelconque x = a, une infinité d'intégrales deviennent indéterminées. Considérons de même la fonction modulaire

Cette fonction satisfait à une équation différentielle du troisième ordre algébrique, formée pour la première fois par Jacobi; l'intégrale de cette équation est une fonction uniforme qui admet un cercle entier de points singuliers, et ce cercle varie avec les constantes d'intégration.

Le même fait se produit quand on remplace la fonction modulaire par une fonction fuchsienne quelconque définie seulement à l'intérieur du cercle fondamental. Bien plus, parmi les fonctions fuchsiennes, il en est qui admettent des lignes singulières non analytiques. Ces lignes ont une tangente en chaque point, mais n'ont pas de cercle osculateur. L'intégrale de l'équation du troisième ordre correspondante admet donc de telles lignes singulières, variables avec les constantes d'intégration.

p. PAINLEVE.

Ces difficultés,- mises en Fumière par les travaux récents de M. Picard (*) sur les équations d'ordre supérieur, se peuvent-elles rencontrer dans les équations du premier ordre? Il n'est pas évident que la réponse doive être négative, et il convient de le démontrer. Je renvoie pour cette démonstration à un Mémoire (^) Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, et je me borne à énoncer les propriétés suivantes, caractéristiques des équations du premier ordre, et qui servent de point de départ aux méthodes d'intégration que nous exposerons ensuite.

2. En premier lieu, si un point x^^ du plan des x est un point singulier non algébrique de l'intégrale y(a?), ce point coïncide nécessairement avec un des points particuliers E, signalés plus haut. L'intégrale ne saurait donc présenter de point essentiel variable avec la constante d'intégration.

Soit maintenant une aire S quelconque du plan des x ne renfermant aucun de ces points i/, et une aire S, de contour a, intérieure à S. Toute intégrale y{x), qui ne prend dans S qu'un nombre fini de valeurs, est continuable au delà de a et ne présente dans 2 que des pôles ou des points critiques algébriques.

Distinguons maintenant, comme nous l'avons indiqué dans l'Introduction, parmi les points critiques d'une intégrale j(a?), ceux qui varient et ceux qui restent fixes quand la constante d'intégration varie. Les points critiques de seconde espèce sont certains points },] particuliers (qui font partie du groupe des ^/). Joignons-les, comme il a été dit, par des coupures, de façon qu'un point du plan des x, qui se meut sans franchir ces coupures, puisse atteindre un point quelconque X, mais ne décrive jamais un circuit fermé autour d'un ou plusieurs points $^.

(*) E. Picard, Théorie dev fonctions algébriques de deux variables (Journal de Mathématiques, 1889).

(*) Annales de la Faculté de Toulouse (janvier 1888, p. 39, 44)- Je saisis celte occasion de rectifier une erreur historique qui s'est glissée dans l'Introduction de ce Mémoire (p. i). Le théorème de M. Mittag-Leffler sur la décomposition en somme d'une fonction ayant dans le plan une infinité de pôles a été publié par son auteur dès Tannée 1877, et est antérieur, par conséquent, aux travaux analogues, portant sur la décomposition en sommes ou en produits de fonctions affectées de coupures particulières.

Si, dans ces conditions, l'intégrale y n'acquiert que n valeurs, autrement dit si l'intégrale ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, elle ne saurait présenter ni lignes singulières, ni points essentiels (en dehors des Ç,).

Quand les coefficients de l'équation (i)

ne sont définis que dans une portion du plan des x, le même théorème vaut pour cette partie du plan.

Considérons maintenant l'intégrale générale de l'équation (i),

et admettons que cette intégrale générale ne prenne que n valeurs autour des points critiques mobiles. En s'aidant des propositions précédentes, on montre que y est une fonction analytique de y^, qui, pour une valeur quelconque donnée à x, ne présente dans le plan des y^ ni ligne singulière, ni point essentiel.

11 est facile, dès lors, de voir que y est une fonction algébrique dejo- Pour rendre le raisonnement plus clair, admettons d'abord que les coefficients ki{x) de l'équation (i) soient des fonctions uniformes de X et que l'intégrale ^(j?) ne prenne que n valeurs dans tout le plan des X.

Donnons à x^ une valeur quelconque, et faisons varier y^. Pour chaque couple (^o»7o)» / est susceptible de m valeurs, si m est le degré de F en/. Soit/^^ l'une de ces valeurs. L'intégrale y{x) qui satisfait aux conditions

est déterminée sans ambiguïté par l'équation différentielle

[/(^o.jo)=yo].

Soient, d'autre part, r« , y^» • • • , J« les /^ valeurs que prend en x une des intégrales y. Ces n valeurs sont bien déterminées pour chaque intégrale particulière et, par suite, une fonction symétrique de ces n quantités, soit 5, =^, -h/^ -h . . . -h j^,, n'admet qu'une valeur pour

28 p. PAINLEVÉ.

un système (yo^y'o) donné. Si Ton veut encore, s est une fonction uniforme du point analytique (yofy'o) de la courbe

ou encore une fonction à m valeurs de j^-

Cette remarque s'applique à toutes les fonctions symétriques, notamment aux suivantes :

Mais on a

Donc y est une fonction de jo ^ ^^ valeurs. Inversement y^ est une fonction de y à mn valeurs. Comme d'ailleurs la fonction y(yo) ne présente que des points singuliers algébriques, la relation entre j' et jo est une relation algébrique de degré mn par rapport k y eiy^ respectivement

Le raisonnement s'étend sans peine au cas où les A, sont des fonctions quelconques de œ, et où y admet des points critiques fixes (en dehors des points critiques mobiles).

Pour le voir, joignons encore les points ^'. , Ç, par des coupures, et faisons varier x dans le plan, en partant d'un point x^ quelconque avec des valeurs déterminées, pour iCo, des A/, de y^ et de/^. Si nous ne franchissons aucune coupure, les coefficients de l'équation (i) sont des fonctions de x qui gardent une valeur unique; d'autre part, il existe une intégrale particulière y(a?) et une seule qui satisfait aux conditions

en même temps qu'à l'équation (i)

OÙ les coefficients A, gardent cette valeur déterminée. Cette intégrale

y(x), quand x varie dans les conditions indiquées, ne peut prendre en un point x que les n valeurs qui se permutent autour des points critiques mobiles j,,j2» •• •• J»- Une fonction symétrique quelconque de ces quantités ne prend donc qu'une valeur (quand on laisse X constant) pour un système quelconque (y^, y^). Autrement dit, 5, = j, -f-jj-h...-f- j„ par exemple est une fonction uniforme du point analytique (yo^y'o) de la courbe

F[ro»yo»(-^o)]=o.

Ce point établi, le raisonnement s'achève comme ci-dessus, l^ous avons supposé, dans tout ce qui précède, que la relation

était algébrique en jet y. La démonstration des propriétés énumérées exige seulement, comme on pourra s'en convaincre en se reportant au Mémoire déjà cité, que y' soit une fonction analytique dey h m branches qui, pour une valeur quelconque de x, ne présente pas dans le plan des j de ligne singulière.

Soit donc une telle équation (i). Son intégrale, si elle ne prend autour des points critiques mobiles que n valeurs, doit vérifier une équation

de degré mn en jet jo» ^t dont les coefficients sont des fonctions quelconques de X etde Xq. Si on élimine jo entre (3) et l'équation

dG , dG^ dy^ dx '

le résultat est algébrique en y et j'. Nous sommes ainsi conduit à la conclusion suivante :

Désignons pcir/[(x), j] une /onction dey à m délerminalions qui ne présente pas de ligne singulière pour x =^ x^ (Xq étant quelconque). Quand l'équation

a pour intégrale générale une /onction qui ne prend que n valeurs autour

3o p. PAINLEVÉ.

des points critiques mobiles y f est nécessairement une fonction algébrique dey.

Les seules équations que nous considérerons dans ce Mémoire seront donc des équations algébriques en j' et v, où x figurera d'une façon quelconque.

3. Étudions maintenant avec plus de détail la forme de l'intégrale générale de l'équation

par rapport aux constantes.

Désignons par n le nombre des valeurs de j. Ji. Ja» •••» ïn qui se permutent effectivement autour des points critiques mobiles. Nous avons dit qu'une fonction symétrique quelconque s de /< , jj» • • • » J» était une fonction uniforme de (jo»yo)» ^^ comme d'autre part s dépend algébriquement de y^, on a

R désignant une fraction rationnelle en jo/y©» dont les coefficients dépendent de Xq et de x d'une façon quelconque. Il en résulte que l'intégrale y peut s'écrire

Les constantes yo^Jo sont assujetties à la condition

Xq est choisi arbitrairement, par exemple j7^ = o. Inversement, quand l'intégrale de (i) vérifie une équation telle que (4)» elle prend au plus n valeurs autour des points critiques mobiles.

Quand n est le nombre des branches de j qui se permutent effectivement autour des points critiques mobiles, l'intégrale ne peut se mettre sous une forme telle que (4), où n aurait une valeur inférieure. De plus, il n'existe pas deux équations (4) distinctes. Autrement dit, soit

(4') 7'' + r„,[C, (^)]7'-*-h...-hro[C, (^)]=o

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 3l

une seconde relation que vérifie l'intégrale. Dans (4')» O désigne une fonction de x dont les points critiques ne dépendent pas de la constante C. Pour une intégrale quelconque j', on a

7i-»-7i-'-----+-7/*=— '^«-iC/o, yo»(^o), (-2^)]=— '-«-iCCo, (j?)],

et de même pour R^ et r,, c'est-à-dire qu'en faisant correspondre convenablement C à jo» Jo» ^/ d^'* coïncider avec r^.

Il résulte de là que si on forme, en éliminant jo.yo» les relations algébriques qui unissent R,, Ry d'une part, R,, -p d'autre part, le

système d'équations ainsi obtenues est unique.

Il est clair que ceci cesse d'être vrai quand n n'est pas le nombre des valeurs de y qui se permutent réellement autour des points critiques mobiles (mais un multiple de ce nombre).

Si nous éliminons j'j, entre (4) et (5), le résultant est une équation de degré w/i en Vo et y respectivement

Cette équation ne change pas quand on remplace à la fois y et x par yo et oTj,, jo et x^ par y et x. Elle est exactement de degré mn et irréductible si X et Xq sont quelconques; autrement, l'intégrale satisferait à une relation

de degré v en y^ et en j, v étant inférieur à mn : v doit être en tous cas un multiple de /i, v = rn'n, et pour chaque valeur dey^, y prend m'// valeurs distinctes. Mais l'équation irréductible (i) admet w racines y,, quand y^ est donné, et à chaque groupe (jo»7'o) correspond (si y», Xo sont quelconques) une intégrale distincte à n valeurs, donc mn valeurs distinctes dey correspondent à y© - ^' ne peut être inférieur à m.

Il est clair d'ailleurs que de l'équation (4) on peut déduire une infinité d'équations de même forme, mais dont le degré en y est un multiple de n. A de telles équations les remarques .précédentes ne s'appliqueraient pas.

Revenons à l'égalité (4) elle-même. Nous pouvons l'écrire aussi bien

(6) vï-t-Ra-.Lr,/, (^)]yr'-t---- + RoLy,y, (^)] = o.

32 p. PAINLEVÉ.

Souscette forme, onvoitque, quand on remplace dans R/ [y, y, (^)] j par une intégrale particulière de (i) et y' par sa dérivée. Redevient une constante, à savoir (au signe près) la somme des produits i à i des valeurs ^n x^ de l'intégrale considérée.

L'intégrale de (i) se laisse donc définir par l'égalité

Ci désignant une constante, ety la fonction de j et a; déterminée par l'équation

(I) * F[y,y, (a:)]=zo.

Une telle forme de l'intégrale a été indiquée depuis longtemps par M. Fuchs dans le cas où l'intégrale de (i) est algébrique. Mais je veux insister surtout sur les rapports des diverses relations (7) qui peuvent représenter l'intégrale.

U estclair que de l'équation (7) on en peut tirer une infinité d'autres, en posant

9 étant rationnel en R. Plus généralement

jouit de la même propriété.

Remarquons encore que l'équation (7), ayant lieu quel que soitrco, peut se différentier par rapport à a?o et donne

Si nous posons

l'intégrale de (i) se laisse définir en égalant rkc.

Inversement, je dis que toute fonction r(j, y, x), rationnelle en y» y» qui, égalée à une constante c, définit l'intégrale de (i), est de

la forme (9). Il me suffit de prouver que la constante c s'exprime rationnellement en fonction (les constantes C,, ...,C„, C,, ...,C),.

En effet, admettons que, pour les valeurs C, , C,, . . . , C, , . . . , C'^, les égalités

soient compatibles quel que soit x. Elles ne peuvent définir qu'une seule intégrale particulière de (i). En effet, on a d'abord

ce qui détermine les n valeurs de j en ^To? ensuite

'»>r»7'o-h(/i-^i)C«-,rr«/«-^/r'c;,j-^...-hC; = o,

ce qui détermine la valeur de y' en jt^ P^ur chaque valeur de x^.

A un système de constantes C,, C} compatibles correspond donc ^/aip seule intégrale particulière, par suite une seule valeur de c. On en conclut que r est de la forme (9).

Nous donnons à ces fonctions c = r[y,y\(x)], rationnelles en j, y\ qui égalées à une constante définissent l'intégrale, le nom de constantes intégrales. Soient deux constantes intégrales

( ^1 — '•l[.>■,7^(J?)]; ces deux constantes sont liées par une relation algébrique. Pour la former, il suffit d'éliminer j, y entre les équations (i) et (10) : le résultant est indépendant de x. D'après la théorie des irrationnelles algébriques, on peut choisir dans le cas actuel ces deux constantes r, c, de façon qu'une constante intégrale quelconque s'exprime rationnellement en fonction de c, c,.

Il suffit en effet pour cela que les C,, Cy s'expriment rationnellement en fonction de c, c^. Les quantités G/, C} sont liées algébriquement à Tune d'entre elles : ce sont, si l'on veut, les coordonnées d'une courbe de l'espace à 2/1 dimensions. Or on peut faire toujours correspondre birationnellement à une telle courbe une courbe de l'espace à doux

34 p. PAÎNLEVÉ.

dimensions. Soit, par exemple, C/ une des constantes en fonction desquelles s'expriment toutes les autres; posons

les X, (JL désignant des nombres quelconques. A chaque valeur de C,, correspondent k systèmes distincts des C, C, et à ces k systèmes k valeurs distinctes de y, si les X, (jine sont pas choisis d'une façon particulière. Il en résulte que les C, C s'expriment rationnellement en fonction de C/ et de y, liés par une certaine relation

Il est donc toujours possible de choisir deux constantes intégrales c et C|, de façon que toutes les autres s'expriment rationnellement en fonction de c, c^ . Ces deux constantes satisfont à une certaine équation

(II) H(c,Ci) = o

que nous appelons relation entre les constantes intégrales. Si R[yf y'» (^)] = C est une constante intégrale, on a

C =9(c, Cl), R==(p(r, r,).

Si deux autres constantes intégrales y, y, jouissent de la même propriété, y et y, sont fonctions rationnelles de c, c,, et réciproquement. Il existe donc une correspondance birationnelle entre la courbe (ii)

et la courbe

Inversement, quand ces deux courbes ont mêmes modules, y et y, peuvent remplacer C et C< .

La relation entre les constantes intégrales n'est donc définie qu'à une transformation birationnelle près.

On voit qu'il existe une correspondance rationnelle

entre les points c, c, de la courbe (n) et les points v, y de la courbe (i), et cette correspondance définit l'intégrale de (i).

Nous avons appelé genre de Féquation différentielle le genre de l'équation (i) où on laisse x constant. Ce genre /?, comme nous le démontrerons dans le prochain Chapitre, est égal ou supérieur au genre xs de Téquation

(il) H(c,Ci) = o.

Si la substitution (12) est birationnelle, l'équation (i) a ses points critiques fixes. Réciproquement, si l'équation a ses points critiques tixes, on a

avec

la transformation est birationnelle, et l'on peut regarder l'équation

dont les modules ne dépendent pas de x^, comme la relation entre les constantes intégrales.

Quand n est quelconque, la transformation rationnelle est d'ordre n, c'est-à-dire que n points j, y de la courbe (i) correspondent à un point c, c, de (i i).

On voit comment la théorie des transformations rationnelles des courbes algébriques intervient ici. Nous consacrerons le prochain Chapitre à leur étude. Auparavant, il convient d'ajouter quelques remarques au sujet du choix des constantes c, c,.

Si nous posons

p rzia^Ro-i- «iRi-l-. . .-f- a,i, R„,,

«0» ^n •••» «/i-i étant des fonctions quelconques de Xq^ je dis que nous pouvons prendre comme constantes c, c, les constantes y, -r^-

3G p. PAÎNLEVÉ.

Nous avons, en effet,

/= ^ = û^oC'o -f- a, c; -h . . . -f- an^i c;,i

Pour une valeur x^^ nous pouvons, une fois les valeurs des a, déterminées, nous donner encore celles des ^- Soient

et

deux systèmes distincts de valeurs C, C correspondant a une valeur de Y- Les ^-^ étant laissés quelconques, ces deux systèmes ne donnent pas (pour Xq) la même valeur à y', à moins que les n différences

ne soient nulles. Il résulte de là que les n constantes C s'expriment rationnellement à l'aide de y, y'. Mais il faut, de plus, qu'il en soit de même pour les C^. : c'est ce qui a lieu effectivement, car on a

avec

donc

*^' -dx-dy^^ dy' âx. ^ 57n - *L/> y ' (^o)],

dy ' dy' dx^ dy^

si l'on tient compte de la relation

dh , âh dy' dh __ dy ' dy' dx^ ôxq ~~

Nous pouvons donc choisir comme constantes intégrales c, c^ les constantes y et y'.

Si C = R[ V, y, (a?)] est une constante intégrale, on a

La relation

est une relation entre les constantes intégrales quel que soit^r^; ses modules sont indépendants de x^.

Il est facile d'ailleurs de s'en rendre compte ainsi; si Ton pose

et

dr ,

dx

la relation

est l'équation différentielle qui lie r à a?, équation qui a ses points critiques fixes et, par suite, ses modules constants. De plus, comme on a

ou encore

Ri[j»y» c*^)» ('^o)]==9lp»^^' (•^o)j,

on a aussi

Enfin 9 r et r peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide de r^, r^ qui coïncident, ainsi que po» p'o» ^^ec y, y', et sont liés par la relation

et réciproquement; donc

et, de même,

38 p. PAINLEVÉ.

Ces résultats peuvent se résumer ainsi :

Si l'on pose

r vérifie une équation différentielle

dont les points critiques sont fixes. Si l'on pose d^méme

la fonction r,, quand on remplace j par une intégrale de (i), vérifie Téquation

Toute constante intégrale R[j, j', (^)] = C peut s'exprimer ratîonnellement en fonction de r' et de -j— :

ctx

Remarquons que l'intégrale de (i) vérifie aussi bien la relation

que la relation

On voit ainsi que l'intégrale se laisse mettre d'une infinité de manières sous la forme

A désignant une fonction de x dont les points critiques sont indépendants de la constante C qui y figure. On démontre, comme précédem-

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. Sp

ment (voir p. 4o), que toutes les fonctions intégrales R = A(.r, C) s'obtiennent par les formules

et

R[r»/> (•2^)] = ?[Ro, Ri, .-., R/i-i, R'o, .-.♦ R«-,, (^), (-a^^o)]-

On a, par suite, et aussi

D'une manière générale, on peut choisir deux fonctions (ou constantes) intégrales

liées par une relation

de telle façon que toutes les autres fonctions intégrales (notamment les constantes) s'expriment rationnellement à l'aide des deux premières. Il est loisible défaire

OU encore

Toutes les relations k = o ont leurs modules égaux et indépendants de x.

On remarquera dans le raisonnement précédent l'importance de ce fait que y^^ y\^ x^ et j, y\ x jouent un rôle symétrique.

Toute relation K[A*, B\ (a;)j = o entre deux fonctions (ou constantes) intégrales quelconques se transforme rationnellement dans la relation A = o, et son genre, comme nous le verrons, est au plus égal

à GT.

4o p. PAINLEVÉ.

4. Indiquons enfin une forme nouvelle de l'intégrale générale de (i). Si l'on élimine y entre les deux équations

et

le résultant

est de degré m en C. Son degré en y est un certain multiple de n. Il existe entre (i) et (12) une correspondance birationnelle

dL

ày Inversement, chaque fois qu'on a mis l'intégrale de ( i ) sous la forme

LL>, C, (a:)]=:6,

(] entrant dans L au degré m, C s'exprime rationnellement en j, j'; c'est, par suite, une constante intégrale.

En effet, nous avons (*)

ôL , dL ô~yy^ôx'^'''

pour chaque valeur de j, C prend m valeurs; les m valeurs de y correspondantes sont distinctes quand y et x sont quelconques. Sinon l'équation en y, de degré m, serait décomposable. Donc à chaque couple^, y correspond une seule valeur de C.

Si, au lieu d'une constante intégrale, on considère une fonction intégrale, on voit que l'intégrale de (r) satisfait à une infinité d'équations

(*) Celle égaillé nous monlre que Tinlégrale de (i) ne saurait vérifier une équalion telle que (ri), où C enirerait à un degré ji inférieur à m; car Téqualion (i) sérail alors de degré fx enj^'.

SIR LES ÉQIATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. !\l

(le degré m au plus en y, où y désigne une fonction qui vérifie une relation différentielle

dont les points critiques sont fixes.

Mais inversement, quand l'intégrale est mise sous une telle forme, Y n'est pas nécessairement une fonction intégrale. Si cette condition est remplie,

et l'équation (12') se transforme rationnellement en (1), mais la réciproque n'est pas vraie en général (*).

Il me reste à signaler le cas particulier où le genre xs de la relation entre les fonctions et constantes intégrales est nul.

Quand gj = o, toutes les fonctions intégrales sont fonctions rationnelles d'une certaine d'entre elles. Soient, en effet, A(.r, C), B(x, C) deux fonctions intégrales liées par la relation

(M n peut arriver que l'intégrale de (i) vérifie une équation telle que (12'), où 7 figure à un degré ji inférieur à m ; par exemple, Téquation (ri'),

fV —

qui est de degré i en Yj ^^ étant quelconque. On forme aussi aisément des équations dont rintégrale se laisse mettre sous une forme telle (12'), sans que y s'exprime rationnellement en Xi y y 6t soit, par suite, une fonction intégrale. Soit l'équation

y«(i -f- x«) — ^j'fx -h 4j(j — i) = ;

( 2t j: -h G )* son intégrale générale j = ' i vérifie la relation

II/) j — Y*=o»

de degré ji = //i = 2 en y» avec la condition

Y'(i -t-x') — ^YY**^"^ Y* — ' = "»

ou encore

D'autre part, Y = J* "^^ s'exprime pas rationnellement, comme on le voit aussitôt, en fonction de j et de y.

f\2, p. PAIXLEVK.

Le genre de K étant nul, on pose

avec

cp, '|, jr étant rationnels respectivement en y» A, B. Toutes les fonctions et constantes intégrales s'expriment rationnellement à l'aide

de Y, notamment -^ :

et, comme cette équation doit avoir ses points critiques fixes, elle se réduit, comme on sait, à une équation de Riccati. Cette fonction intégrale Y n'est déterminée qu'à une transformation près

a, b, a,, 6| étant des fonctions de x.

En particulier, l'équation

qui est une des équations K = o, se ramène à une équation de Riccati. Les coefficients R/[jo»yo' (-^o)» ^|» ^'sins l'équation

(i3) 7"-t- R, [/o, j'o, (^o), {^)] r""* -+- . . .4- Ro[.Vo, 7'o, (J^o), (^)] = o,

sont fonctions rationnelles d'une constante C, qui entre au degré m. En effet,

et, pour chaque valeur de jo, prend au plus m valeurs distinctes. Elle n'en peut d'ailleurs prendre moins, sinon l'équation (l'i) serait do degré moindre que m en C, et l'équation (i) ne serait pas une équation irréductible de degré m en y'.

Donc, quand gt = o, l'intégrale se laisse mettre sous la forme

y entrant au degré n^ C au degré m dans celte relation.

Plus généralement, l'intégrale peut se définir par une égalité ^'4) /,[r,y,(^)]^o,

de degré n en y, de degré m en y, avec la condition

Toutes les équations analogues k (i4)» de degré n en v, de degré m en Y,

<»4') /;[/,yi,(^)] = o,

avec la condition

se déduisent de (i4) par le changement de y en — ^^^ — jr • En effet,

7, = ^ c-i-^ ' ^^ ^' ^"^ entre au degré m dans (i4')» est une constante

intégrale; donc y, est une fonction intégrale et s'exprime rationnellement en y; de même, y s'exprime rationnellement en fonction des

/(•^»T«)' 'd^\^''^^)'=^'JJ^ "^ "^T»' donc, enhn, y s exprime rationnellement en y, :

^ "" «I yi -^ ^1 *

Inversement, quand l'intégrale d'une équation (i) se laisse mettre sous une forme telle que (i4)» le nombre gt est nul (*); car les

•^/[jo» Jo'('^o)»(^)]» "5j[7o»ro' (^o)» C»^)] sont donnés rationnellement en fonction de y, et la relation entre les fonctions intégrales définit une courbe unicursale.

(*) Cette proposition subsiste si Téquation (i4) est d'un degré quelconque \t. en y. Les raisonnements employés montrent, de plus, qu'une telle équation se déduit d'une é^juation (i4) de degré m en ^i par la transformation

cp élant rationnel en f. Si g désigne le degré de cp en Yi on a

|ji = qm.

Enfin il existe, entre (i4) et (i), une correspondance birationnelle, car

et, comme y' est rationnel en y»

Passons au cas où ts serait égal à i. La relation entre les constantes ou les fonctions intégrales peut être ramenée à la forme

le module P étant constant, et toutes les fonctions intégrales s'expriment rationnellement en A, B, notamment -7-»

Si N est nul, M doit être un polynôme du second degré, et, de plus, B = v'^i — A)(i — PA^) doit avoir aussi ses points critiques fixes, ce qui exige que A = ±: 1 , A = zh ^ vérifient l'équation de Riccati

On en conclut

M = o, À = c, B = v/(7=T:» unTÂ-î ci"7.

Si N n'est pas nul, les conditions de M. Fuchs montrent que

^ = N(a:)v/(i~A*)(i-X:«A«), A = sn[J(^)-f-C].

L'intégrale de (i) se laisse donc mettre sous la forme

r -^ î '•«-! [c, (X)] + cp„i[c, (X)] j j«-»

^'^^ ' ^o[C, {X)] 4- cpo[C, (.T)] = A[ V, C, (.r)] -h cB[ V, C, (j:)] = o.

C étant une constante, avec la condition

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. f\5

On peut lui donner aussi une forme identique où C désigne une fonction de x qui satisfait à une équation

De plus, si Ton élimine c, le résultant en j et C est de degré 2n en v, de degré /w en C,

Il existe entre /= o et F = o une correspondance rationnelle

Deux valeurs de y' correspondent à un système C et j, si C n'est pas une constante.

Toute équation analogue k (i 5), telle que l'équation (i5') correspondante soit de degré /w en C , se déduit de l'équation (i5) par la transformation

. p, p C v/( I - g») (, - A-^gf) + g v/(l ~ C«) (î ^ k^O)

où a est une fonction de x.

En effet, soit une équation analogue à (i5) en y, C,, c^, où C, satisfait à la relation

^ = N,(^)v/(i~Cî)(i-X:;Cî=N.(^)c..

En difTérentiant l'équation (i5), on voit quey' est de la forme

a[v,C„(x)]-hc,?[/, Ct(^)]; si l'on élimine c^ , y est exprimé rationnellement en fonction de y, C, ,

Si l'on observe, d'autre part, qu'a chaque valeur de y correspondent

4G p. PAIXLEVÉ.

(pour X quelconque) m valeurs de C, et m valeurs distinctes de y\ on voit que C, est une fonction intégrale

c,= ii[v,y, (a-)].

il en est de même, par suite, de c, :

et C,, c, s'expriment rationnellement enC, c. Pour les mêmes raisons, rot C s'expriment rationnellement en c,, C, . Il y a donc correspondance birationnelle entre (e, C) et (c^, C^); de là résulte l'égalité (iG).

(]eci suppose toutefois N^(a7)/^o; si N^ est nul, C, est une constante intégrale, par suite c,, d'après l'équation

Ai[ j, Ci(^)] ^ c, Bi[ r, Cl, (X)] = o,

et la proposition subsiste, à moins que les égalités A^ = o, B, = o ne définissent toutes deux l'intégrale de (i); mais, dans ce cas, gï serait nul, ce qui est impossible puisque la relation entre C et c est de i'enre i.

Ajoutons que, toutes les fois que l'intégrale de (i) vérifie uue équation identique a l'équation (lî), le genre cr est égal à l'unité (*); caries

'^/[7o'7o' C^o)» ('^)]. -^[Vo. >V ('^o)» C^)] s'expriment rationnellement en c et C, et réciproquement. Il y aurait toutefois exception dans le cas indiqué où, C étant une constante, A = o et B = o définiraient l'intégrale de (r). Le genre gt serait alors égal à zéro; le radical

v(i — C^)(i — ^'*C^) ne figurerait qu'artificiellement.

Tout ce qui précède suppose absolument que n soit égal au nombre

{^) Celle remarque esl encore vraie quand l'inlégrale de (i) vérifie une équalion de la Torme (i5), même si le degré {i en C de Téqualion (i5') n'esl pas égal à m; m est égala i, à moins que celle équalion (i5) puisse se déduire d'une équalion (14) par la transformalion

où CD cl d/ sont rationnels en C ; in esl nul dans ce dernier cas.

des valeurs dey qui se permutent effectivement autour des points critiques mobiles de l'intégrale.

5. Avant de nous servir de ces généralités pour chercher à intégrer dans certains cas l'équation (i), j'ajouterai un mot sur la différence essentielle qui sépare les équations du premier ordre des équations d'ordre supérieur.

Étant donnée une équation du premier ordre, nous connaissons à l'avance les points du plan des x qui peuvent être des points singuliers transcendants de son intégrale. De plus, quand le point a-,» est un point critique algébrique de l'intégrale y(x) égale à Vo pour X = jTq, nous savons que (vo, ^o^ vérifient l'une dos relations

qui expriment que / est infini ou mal déterminé.

Rien de pareil ne subsiste pour les équations d'ordre supérieur. Une intégrale quelconque, uniforme ou à /i valeurs dans une certaine portion du plan, peut, nous l'avons dit, présenter dans ce domaine des points essentiels et des lignes singulières variables avec les constantes d'intégration. Ces points peuvent être également des points critiques de l'intégrale. C'est cotte difficulté nouvelle qui distingue essentiellement la théorie dos équations du premier ordre de la théorie des équations d'ordre supérieur.

Un exemple simple fait ressortir clairement cette différence. Si l'on veut reconnaître que l'intégrale d'une équation du premier ordre n'a que des points critiques fixes, il suffit d'exprimer que, pour aucune valeur de V, 07 étant quelconque, j' n'est infinie, que la mémo chose

a lieu pour la transformée en -> enfin que les systèmes (jo, o^^^), pour

lesquels deux valeurs de y s'échangent, correspondent à un point ordinaire or^ de l'intégrale j, égale à y^ pour x = a:^^. On retrouve ainsi les conditions de M. Fuchs. Si l'on veut de plus que l'intégrale soit uniforme, il faut ajouter la condition qu'aucun des points E/ ne soit critique.

Quand on sait que l'intégrale ne prend que /? valeurs, s'il n'existe aucun point ^/ qui puisse être un point d'indétermination de v, cette

.\S p. PALNLEVÉ.

intégrale est nécessairement algébrique. Par exemple, soit une équation

^' if, J'y ^)=0

algébrique et entière en y\ y, x. Si le coefficient de la plus haute puissance dey' ne contient aucun facteur de la forme (x — a) (a étant constant), et si de plus le degré en j? du coefficient de y surpasse d'au moins 2.(p — q) unités le degré en j? du coefficient de y'^, toute intégrale à n valeurs est nécessairement algébrique.

Toutes les conditions correspondantes sont nécessaires pour que l'intégrale d'une équation d'ordre quelconque jouisse des propriétés analogues, mais elles ne sont pas suffisantes. Il faudrait encore exprimer que les points d'indétermination possibles des intégrales ne sont pas points critiques, ou sont points critiques algébriques, etc.; or ces points n'apparaissent pas sur l'équation.

Toutefois, les théorèmes que nous avons établis sur la forme de l'intégrale générale, quand elle ne prend autour des points critiques mobiles qu'un nombre fini de valeurs, sont susceptibles d'une certaine extension.

Soit

une équation du second ordre, algébrique en y, y\y' (F est un polynôme en j, y, y de degré m en y). En raisonnant comme nous l'avons fait, on voit que, si l'on définit l'intégraley par l'équation

les R/Sont des fonctions uniformes du point jo»yo»yo de la surface

c'est-à-dire que y etj' sont des fonctions de j^» y\s à ma valeurs, et réciproquement jo« y\ sont des fonctions de y, y' à mn valeurs. Mais ces fonctions ne sont pas nécessairement algébriques. En remarquant que l'intégrale s'écrit aussi

on voit que cette intégrale vérifie les relations

R/[r./. y\ W, (^o)] = «/ == R/ [/o, /o» /o» (-^o), (^o)], ^ [7. y, 7% (^), (^0)] = P/ -= ^ [Jo, 7;, y\ (xo), (^0)].

-^' [7./» y' y (^)» (-2^0)] = y* = -^ [7o, 7o. 7o» (^0), (-^o)], les a,, P/, y, désignant des constantes. Si Ton pose

, dr ^ d^r

~ djCo ~~ djcl '

en prenant pour les X,- des fonctions de a?© quelconques, toutes les constantes intégrales

s'expriment uniformément à l'aide des

Plus généralement, il en est de même pour les fonctions intégrales

dans cette égalité, R est une fonction uniforme dey^y^y", et G une fonction de x dont les points critiques ne dépendent pas des constantes C et C. On a

ç étant uniforme en r, r\ r^ (ou en c, c\ c"). Quant aux r, r', r", ils sont liés dans tous les cas par une relation algébrique

h[r, r', r", (jr^)]=o,

qu'on peut écrire aussi bien, en faisant

p = lli(x)lXi[yof /o» 7o» (-^o), ^]y p. 7

5o p. PAINLEVÉ.

équation différentielle dont les points critiques sont fixes. On peut d'ailleurs remplacer la relation

par une transformée birationnelle quelconque. L'intégrale de (i) vérifie les formules

qui établissent une correspondance uniforme entre A = o etF = o; mais cette correspondance peut être transcendante. Quand elle est rationnelle, l'analogie avec les équations du premier ordre est presque complète. Il convient toutefois de signaler une importante différence : la relation algébrique, de degré mn par rapport a j, entre y, y© r'o» peut être d'un degré quelconque en jo^y©» pour les équations du premier ordre, elle est au contraire de degré mn eny^.