Y* + JY

Effectuons alors le changement de variable X = K^^,), il vient si cette équation coïncide avec une des équations (y), on a

c'est-à-dire que a?, (X) doit être une intégrale de (S).

Nous voyons, en somme, que le calcul des substitutions (2) ne présente de difficultés que dans le cas où une infinité d'équations (p), dépendant de 9 constantes arbitraires, appartiennent à la même classe. La recherche de la fonction ^,(X) peut alors dépendre de l'intégration d'une équation différentielle d'ordre q. Mais cette singularité ne se rencontre guère dans les exemples qui s'offrent naturellement.

5. Avant de revenir à la question qui nous a conduits à cette étude, j'étendrai en quelques mots la théorie précédente aux équations qui ne sont pas résolues par rapport ày.

Soit une relation algébrique quelconque entre y et j'

(0 r'^Mç-i-7'^-*My-iH-...-hyM,-HMo=o.

Les Mo, M, , . . . , My sont des polynômes en y de degré nif^^m^y ...ym„

l66 p. PAINLEVÊ.

et dépendent de x d'une façon quelconque. Effectuons sur cette équation une substitution (2)

l'équation devient

(1/ Nv[7„(a?,)]7;''-hNv-,[7„(:r,)]v7-»4-...-f-Nv,^[7.,(xi)] = o,

les N/ désignant des polynômes de degré i en j, , et v le plus grand des nombres /w^, {m^ -t- 2), (mj-t- 4)» •• •» ('^7"^" ^Ç)-

On peut définir pour ces équations, et de bien des manières, des formes réduites analogues à celles que nous avons déjà étudiées dans le cas de q = i : soit, par exemple, en cherchant à annuler trois termes de (1)' convenablement choisis, comme au n^ 2, soit en assujettissant les équations canoniques à des conditions qui les déterminent, pour chaque classe, en nombre fini, comme au n® 4. Je me borne à dire un mot de ces dernières formes, et h étendre aux équations du premier ordre les plus générales les théorèmes établis tout à l'heure sur les équations qui admettent un groupe continu de substitutions (2).

Les points singuliers de la fonction y[yf (^)] sont les points y = a(x) où y est infinie, et les points y =^ (x) où deux valeurs de y' se confondent. Soit

les deux équations qui déterminent respectivement les valeurs a(j7), p(j7), pour l'équation (i) ramenée à sa forme la plus générale (1)'. Si l'on effectue dans (i) une substitution (2), les valeurs singulières a,, ^1 de la nouvelle équation correspondent par les formules (2) aux a, p. La substitution (2) conserve le nombre et l'ordre de multiplicité des racines de F et de G. Pour certaines transformations, une des quantités a,, ^^ peut devenir infinie.

Ceci posé, considérons d'abord les équations (i) telles que trois au moins des valeurs a, ^ soient distinctes. Disposons de la transformation

de manière que les valeurs Y = x), Y = o, Y = i correspondent aux valeurs y = «, y =2 b, y = c. Nous désignons par a, b, c les trois racines de F et G d'ordre de multiplicité le plus élevé. L'équation devient ainsi

Si les rapports des coefficients de chaque polynôme II, ne sont pas indépendants de X, en égalant un de ces rapports à X, nous sommes conduits à une forme canonique qui répond aux conditions exigées. Si tous ces rapports sont constants, écrivons l'équation ainsi :

Les R/ sont des polynômes en Y dont le terme de degré le plus élevé a pour coefficient Tunité; les Ny sont des fonctions de x. Si je pose

le changement de ;r en X ramène l'équation à une forme canonique invariante. Ceci suppose toutefois que les rapports (3) ne soient pas tous constants.

Au cas contraire, on a

Le changement de variable

ramène l'équation à une équation dont les coefficients sont indépendants de X.

Passons au cas où le nombre des valeurs a, ^ distinctes se réduit à 2. Il ne saurait se réduire davantage, car la fonction multiforme y[y» C*^)]» définie par la relation irréductible (i), possède au moins deux points critiques p,, jî^. La transformation

|68 p. PAINLEVÉ.

ramène réquaiion à une autre, où la fonction z'[z, (a?)] n'a comme points singuliers que 5 = et 5 = oc. Nous disposons encore de la transformation

5=:AY, a: = (p(X).

D'ailleurs, z' so développe suivant les puissances de :?*, k étant un entier. Si Ton pose

il vient

du C„ W'» -H Cn-A W""* -H .

. , \ Cq

dx "^ u"'"

car -7-, ne saurait devenir infini pour d'autres valeurs que a = o, u=zx>. Il est permis d'ailleurs de supposer m* <;« -- 2, sinon on changerait w en -• Nous retrouvons ainsi une des équations du second

groupe ou du troisième groupe, étudiées dans le paragraphe précédent. Une transformation

x= cp(X)

la rend canonique, à moins qu'elle ne se ramène k une équation à coefficients constants ou qu'elle ne soit de la forme

La fonction z subit la transformation correspondante

et l'équation (i) est ainsi réduite à une équation canonique, les cas exceptés où elle so ramène soit à une équation dont les coefficients sont constants, soit à une équation

Pour donner un exemple de telles réductions, considérons les équations

Il n'existe pas de valeurs j' = a rendant^' infini. L'équation, résolue par rapport à y, s'écrit

/= - ( «î/* -^ «^1 7 -4- «0) ± V HiiTrï^.

Plaçons-nous dans le cas le plus général, où les quatre racines de R4 sont distinctes, et où le module du radical dépend de x. Une forme canonique de l'équation sera

^^ - ( A,Y*4- A, Y H- Ao) ±: v^P(X) Y(Y - i) ( Y - X;.

LesAa, A,, xAfl, P, X sont des invariants.

Nous venons de mettre ainsi en évidence des formes réduites des équations (1) algébriques en y et y; mais les procédés que nous avons employés s'étendent sans peine à toutes les équations du premier ordre. Soit

une équation du premier ordre, où F désigne une fonction analytique

quelconque de y. Représentons par ol(x) les valeurs de y qui rendent

y' infini ou indéterminé. S'il existe trois valeurs a distinctes, on se sert

de la transformation

hY-hh^