VÎ4-J
En se servant de l'expression de J,, donnée au paragraphe précédent, on trouve aussitôt
\,= fd\.
-a/XP(X)rfX
Ji= e
et inversement, en passant de (8) à (9),
Comme nous l'avons remarqué, -yV' -rr sont des invariants absolus
de (8) qui s'expriment algébriquement k l'aide des rt/, Ay, -^S — Le premier type exceptionnel (8') correspond au cas où J, est, soit con-
stant (mais différent de zéro), soit égal à (BoX,H-A) "; le second
type (8') correspondra au cas où J est nul.
l62 p. PAIXLEVÈ.
De même, Téquation la plus générale, telle que
se ramène à l'équation canonique
^ = P(X)(Y*H-XY«-i-JY 4-1)
ou
^ =: P(X) ( Y^4- KY*-h XY-h 1),
en laissant de côté les types exceptionnels.
Remarquons que les formes de réduction (7) conviennent aux équations des deux premiers groupes, et les formes (5) aux équations du premier.
Les observations faites au sujet des coefTicients invariants des équations (4) s'appliquent aux équations (5) et (7). Il serait facile, d'ailleurs, d'introduire d'autres formes canoniques où figureraient seule-
ment des invariants absolus, fonctions rationnelles des a/, bj, -j-'y —
Mais ces équations seraient peu avantageuses pour le calcul.
Les équations (7), pas plus que les équations (5) et (4)f ne sauraient admettre un groupe continu de transformations (2).
En définitive, nous venons de mettre en évidence des formes réduites des équations (i), telles que les équations canoniques d'une même classe soient en nombre limité.
Les substitutions (2) qui permettent de ramener une équation (i) à sa forme réduite sont également en nombre limité, et s'obtiennent algébriquement. Les seules équations (1), pour lesquelles il n'existe pas de pareilles formes canoniques, sont celles qui ad mettent unr groupe continu de substitutions (2). Une telle substitution, qu'on détermine algébriquement, ramène alors l'équation à un des types
^=N(^)R(Y), ^^N(^)Yv+P(x)Y.
Dans le premier cas, l'équation s'intègre a l'aide de deux quadratures, portant respectivement sur deux fonctions de x et de Y. Dans le second
SLR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. lG3
cas, elle s'inlëgre à l'aide de deux quadratures successives effectuées sur des fonctions de x. L'équation de Riccati fait exception à ce théorème.
Nous appellerons formes canoniques ou réduites de première espèce, les formes introduites au n" 2, ei formes de seconde espèce celles dont nous venons de parler.
On peut se servir bien aisément de ces dernières pour mettre en évidence des cas d'intégrabilité des équations (i). Je me borne à indiquer ici la nature générale des questions qu'on se trouve amené ainsi à résoudre.
Nous laissons de côté les équations admettant un groupe continu de substitutions (2), équations que nous savons intégrer, et nous cherchons à déterminer si l'on peut passer, à l'aide d'une substitution
d'une équation (i) donnée
à une équation (i')
qui jouit de certaines propriétés, par exemple est intégrable.
On reconnaît toujours s'il en est ainsi à l'aide d'opérations purement algébriques; mais le calcul des substitutions (2) elles-mêmes est de nature différente suivant les circonstances. Tout d'abord, si l'équation (i y est elle-même numériquement donnée, il n'existe qu'un nombre Uni de substitutions (2) et elles s'obtiennent algébriquement. De même, si les coefficients de (1)' dépendent explicitement de constantes, il suffit de ramener (i) et (1)' à la forme canonique et de vérifier si les deux équations coïncident pour un choix convenable des constantes.
Mais dans l'hypothèse la plus générale, les a', 6j satisfont à certaines relations, différentielles ou non, qui définissent les a,, 6y à l'aide de fonctions et de constantes arbitraires. La réduction de (i)' à la forme canonique présente alors des difficultés en ce qui concerne
l6/f p. PAINLEVÉ.
le changement de la variable a?, en X,. Mais il est toujours aisé de ramener les équations (iV par une substitution
à une forme qui se déduit de la forme canonique par le seul changement de X, en x^ :
Supposons donc les équations (i)' données sous cette forme, et réduisons (i) à Téquation canonique
Pour que (^) soit de la même classe qu'une équation (a), il faut et il suffit qu'il existe une fonction
telle que la substitution de a?, à X fasse coïncider l'équation (p) avec une des équations (a). Si les équations (a) qui appartiennent à la même classe sont en nombre limité, il ne saurait exister qu'un nombre limité de fonctions ^(^<) et elles se déterminent algébriquement.
Mais il est possible qu'une infinité d'équations (a) soient de la même classe. Ces équations se déduisent d'une même équation canonique par le changement de X, en x^
4^1 est une fonction arbitraire ou satisfait à une relation différentielle plus ou moins compliquée. Dans le premier cas, l'équation (P) doit coïncider avec une des équations (a); dans le second, X = ']f(xt) est l'intégrale d'une équation différentielle.
Pour éclaircir cette difficulté par un exemple, prenons pour équations (iV toutes les équations
(y) g^:^(Y^4-DY«4-i),
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l63
dont les. coefficients satisfont à la relation
Ces équations, qui se trouvent mises sous la forme (j3), se ramènent, par le changement de la fonction Y^ = z, à une équation de Riccati, et comme elles admettent l'intégrale particulière Y = ar,, elles s'intègrent par quadratures. Pour qu'une équation (i) soit de la mémo classe qu'une des équations (y), il faut d'abord que, une fois réduite, elle s'écrive
