I-JO p. PAINLEVK

rend Tune de ces valeurs nulle, l'autre infinie. On dispose encore de la substitution

D'autre part, faisons z = e;"; il vient

ou bien

dz du r . v

du ^r .^

p et/ désignant deux fonctions holomorphes de u.

Ajoutons qu'à la transformation (4) correspond la suivante

/i ^ Disposons de B de manière que, dans le développement de y-.

^=3=Co-hC,U-4-C8U>-+-...,

le rapport p- soit égal k une quantité arbitraire donnée. Il faut, pour cela, que

si /' et /" désignent les dérivées -^, 3-4> où l'on fait « = B. La qiian-

tité B une fois déterminée, on écrit

^ = P(^)(U^+I),^,U'-»4-...), et l'on pose

L'équation en z se trouve ramenée ainsi, par la substitution

h une forme canonique, en exceptant le cas particulier oii elle correspond à une équation dont les coefficients sont constants.

si:r les équations différentielles du premier ordre. 171

Remarquons toutefois qu'on ne peut calculer B comme nous Tavons fait que si '', ,, est fonction de B. Qu'arrive-t-il quand

Tout d'abord, si 7 = 0, Téquation en u est une équation linéaire; sinon on trouve

rfo» ^» Y dépendant de x. L'équation en 5 correspondante est alors

dz

dx

^—d^z-\- dz^y-^'^^-d^z -h dz^.

Si ô ne dépend pas de x^ l'équation s'intègre par quadratures. Au cas contraire, on pose S = X, et l'on dispose ensuite de A de façon que le coefticient de X^ dans l'équation réduite soit l'unité, autrement dit que l'on ait