J(X)-.VV

On peut, à l'aide d'une quadrature, ramener la même équation à la suivante

et, k l'aide de deux quadratures, à la suivante

Ces diverses formes mettent en évidence des cas d'intégration.

Pour terminer, il nous reste à examiner le cas où la fonction y'= Ff y, {x)\ n'admet qu'un point singulier a. La transformation

le rejette à l'infini. Nous disposons encore do la substitution

172 p. PAÏNLEVE.

Laissons d'abord ^r = X, et développons l'équation en Y

= Go-i-CiY + C,Y-+C3Y'4-...;

p représente une fonction holomorphede 5 = AY-hB; p'(B), p"(B)» ••• ses dérivées par rapport à 5 où l'on fait z = B. Déterminons B de façon à annuler le coefficient C2 de Y^; il faut pour cela que

■ p^(B)zz:o.

Ceci exige que p" ne soit pas indépendant de z (l'équation serait alors une équation de Riccati), et aussi que p" ne soit pas égal à e^, g étant

une fonction holomorphe de s. Si cette circonstance se présente,

G C on dispose de B de façon que -*— soit égal à une constante donnée,

ce qui exige que

ou encore que

ff"+ff" .

11 n'v a d'exception que si — ^ ^S^, §, ne dépendant que de x. Si

c^ n'est pas nul, g= ^ L{mz 4- n) ; mais, par hypothèse, g est holomorphe. Le seul cas exceptionnel est donc celui où S, est nul. Nous le traiterons dans un instant. Dans le cas général, une fois B calculé, on assujettit A à la condition que le rapport des coefficients de Y' et Y-',

dans le développement de ^» soit égal à l'unité. Quand l'équation en / = 5 — B n'est pas de la forme

la valeur de A se calcule sans quadrature, en prenant «et y différents de I. La réduction s'achève dès lors sans difficulté en égalant à X le

rapport des coefficients de Y*', Y-'', à moins que tous ces rapports ne soient constants.

Revenons au cas oii Téquation en z s'écrit

dz . .

— =z m -\- nz ■+- pe*"'"

[c'est le cas où S, = ^'(s)e^o]. On fait

il vient alors

On pose ensuite

->- = <^o -H ^i ^ -+- de^, dx

/ = Y-hB,

et on assujettit B à la condition

par suite

on fait alors D^ = X, à moins que D^, ne soit constant. Si rf, = o, B ne peut se calculer ainsi, mais l'équation

dt

dx

-r- = ^0 -h de^

se ramène à une équation linéaire en posant // = <?'. En définitive, soit

une équation du premier ordre, où F représente une fonction analytique quelconque de y et x. Nous venons d'indiquer une méthode pour ramener, à Taide d'une substitution (2), cette équation à des formes canoniques, c'est-à-dire à des formes dont un nombre limité seulement appartiennent à la même classe.

Les seules équations qui ne soient pas susceptibles d'une telle réduction sont celles qui admettent un groupe continu de substitu< tions (2). Ces dernières correspondent toutes, par une transforma-

174 p. PAINLEVÉ.

tion (2), à des équations à coefficients constants. La seule équation de Riccati mise à part, elles se ramènent, sans quadratures, à Tune des formes

^=zAY4-BY«

et, par suite, s'intègrent à l'aide de deux quadratures (').

6. Nous allons appliquer maintenant ces propriétés de la transformation (2) à la recherche des cas où l'intégrale de Téquation

ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles. Quelle modification apporte dans l'intégrale la substitution

L'intégrale est définie par une relation

I F(7, or) = j"» + y(«-i)7'*-* 4- y(«-j) j"-* -+-... -h yi/ -+- yo

Y/ vérifiant l'équation

^=My*4-NyH-P.

Après la substitution, elle devient

(A7t-^/il)"^-(an-tyl-^-(3«-,)(/J/|-f-A,)'»->(A■/,4-^,)-h...

yi(/i/iH- /ii)'(/frt-H ^i)''-'H-- . .-H (aoy/-H Po) (^.>'i-+- ArO^^o,

(0 t^si même méthode s'applique à la recherche des équations d'ordre supérieur qu'admettent un groupe continu de transformations de la forme j = r^-^ — 7-^? .r = o(xi), le

groupe dépendant d'une ou plusieurs constantes arbitraires. Mais c'est là un point que je me réserve de développer ailleurs.

OU encore

les gi étant des fonctions de rc,. On voit que gi se calcule en fonction de Y/ par les formules

Ay/-hB

A,y/-hli|

par exemple, si i = o.

or — ; 1 , X^=:iOixA\

A" 4- j3(„|, /i'»-»Xr -h ... -h PM"-» 4- yo( a/i-i/*'-* ^ + a„,/i«-» A- -h ... 4- A'» ) '

quand on remplace a? par 9(0?,).

Ceci étant, on peut disposer de la substitution (2) soit pour simplifier l'équation (1), soit pour simplifier a priori la forme de l'équation (3). La remarque suivante permet d'introduire des substitutions (2) qui contribuent en même temps à ce double résultat.

Pour fixer les idées, faisons i= o dans l'équation (3). Elle devient

7«-h (a«-,yo4- (3«,)/'»-»4-(a;,,yo-h(3«,)/"-'-h. . .4-(aiyo-+- ?,)/ -+-yo=o,

avec

ou encore

y; = My;4-Nyo-hP, f(jr)-^-Co(x)

(C désigne une constante).

Admettons que le dénominateur Q de (i) ait une racine j=:o d'ordre X : quand une valeur j d'une intégrale s'annule, X autres valeurs de la même intégrale s'annulent en même temps. Si donc, pour X = x^, Yt> s'annule,

Yi, Y2 Yx s'annulent par le fait même, c'est-a-dire que P<(j?o)^

Pj(^o)' •••• ?x(^o) sont nuls quel que soit x^, donc nuls identiquement. On voit aussitôt que ceci subsiste dans le cas particulier où Yo ne dépend pas de C.

De même, quand Q a une racine infinie d'ordre X (autrement dit

176 p. PALNLEVÉ.

quand le degré de Q est inférieur de X 4- 2 unités au degré de P), les

coefficients a„,, a„2» • • • • ^n-x sont nuls : y^j.,, "^n-û* • • • » Y(«->i sont indépendants de la constante d'intégration.

Plus généralement, soitj = a une racine d'ordre X de Q. Écrivons l'équation (3) ainsi

La racine j = a doit être racine d'ordre (A -4-1) de cette équation, quel que soit y,,. 11 faut et il suffit pour cela que

H'(a), K'(a) désignant des dérivées d'indice i de H et K par rapport à r, où Ton fait y = a.

Ces remarques faites, voici comment il convient d'employer la substitution (2). .

On commence par rendre respectivement infinie et nulle les deux racines de Q d'indice le plus élevé. On dispose encore de la transformation

j = AY, .r = o(\).

Si réquation(i) est une équation donnée, on se sert de cette transformation pour la ramener à sa forme la plus simple, par exemple à Tune des formes canoniques étudiées plus haut. S'il s'agit, au contraire, de déterminer toutes les équations (i) dont le coefficient différentiel est de degré donné et dont l'intégrale générale est définie par une équation (3), on peut diriger le calcul de la même manière, ou encore se servir de la substitution pour simplifier cette équation (3). Quelque soit le procédé adopté, on obtient des conditions où ne figurent que des invariants de (i). Il suffit de remplacer ces invariants parleurs valeurs en fonction des coefficients d'une équation quelconque de la classe, pour avoir les conditions auxquelles doit satisfaire l'équation cherchée la plus générale.

Quand le dénominateur Q de R, dans (r), n'a qu'une racine, on la

rejette d'abord à l'infini. On dispose ensuite de la substitution

j = AY-hB, ^=z:9(X)

pour simplifier, suivant les cas, les équations (i) ou (3).

Nous allons appliquer ces procédés généraux de calcul à plusieurs exemples particuliers.