Soit donc une équation

(8) y=^iy,.)=^0y

OÙ P et Q sont deux polynômes en x, y, de degré q. Si son intégrale est algébrique, elle peut s'écrire

A désignant une constante, M et N deux polynômes en y, x, de degré m.

Dans Tétude que nous avons faite au Chap. V des équations telles que (8), y devait être regardée comme la fonction, x comme la variable. La transformation la plus générale qui conservait à Téquation sa forme et à j son nombre de valeurs était la suivante

y^^i ; — AT' x^=.o{x^).

Les points singuliers ou critiques de l'équation différentielle correspondaient h toutes les valeurs de (7, x) rendant j' infinie ou indéterminée. Dans les questions qui nousoccupent maintenant, jeta? jouent un rôle symétrique et nous pouvons effectuer sur Téquation (8) une transformation rationnelle quelconque en a?,, j|, par exemple une transformation de Cremona, sans que l'équation (8) perde sa forme et sans que son intégrale cesse d'être algébrique. Il nous est loisible notamment, comme nous l'avons déjà remarqué, d'opérer sur^c, j la transformation homographique la plus générale

ajCj-h ^Vj-h c a' x*-k- b' yx-\- &

a" Xi -h b^yi -4- c' -^ a" a?! -h ^yi h- c"

Dans ces conditions, les points singuliers intrinsèques de l'équation (i) sont les points (a:/, j,) ou M,, où P et Q s'annulent à la fois; il y aura des points singuliers à Tinfini si l'équation transformée de (8) par l'une des transformations

ou

admet des points singuliers dont le z soit nul. On peut toujours supposer qu'aucun des points singuliers n'est à l'infini. Leur nombre est alors égal à 5'^ — y-H 1 (*).

Si l'on effectue une transformation homographique, les points singuliers de l'équation transformée et de la primitive se correspondent.

(») Voir le Mémoire déjà cité de M. Darboux, Sur les équations différentielles du premier ordre ( Bulletin des Sciences mathématiques, 1878).

202 P. PAINLEVE.

Il suffirait (railleurs, pour éviter toute difficulté relative aux points a l'infini, d'employer la notation homogène de Clebsch et d'écrire l'équation (8) sous la forme

dx dy dz

S, T, U étant des polynômes homogènes de degré y — i en a?, j, 5.

Ceci posé, revenons à Tintégrale (9) de l'équation (8). A chaque valeur de A correspond une courbe C de degré m. Par un point x^y (lu plan des a?, y passe une courbe C et une seule, à moins que ce point ne soit un des points M/. D'après cela, les points communs à deux courbes C quelconques, ainsi que les points multiples de ces courbes, font partie des points M^; deux courbes C quelconques ont d'ailleurs m^ points communs (en tenant compte de leur degré de multiplicité).

La méthode de Briol et Bouquet permet d'autre part d'étudier dans lo voisinage de iC/ les intégrales j qui deviennent égales a j/ pour X = Xi. En premier lieu, Xi doit être un point algébrique de ces intégrales. De plus, parmi les points M/, un au moins doit être commun à toutes les courbes C. Considérons seulement les points M], qui jouissent de cette propriété, c'est-à-dire les nœuds de l'équation (8) d'après la terminologie de M. Poincaré. Les autres points M/ sont des cols.

Les intégrales y{x) égales à j,- pour x=Xi se divisent en un certain nombre S de classes; une intégrale de chaque classe est de la forme

a^, ai, ... dépendant d'une constante, p et q étant des entiers. Une branche au moins de chaque classe fait partie d'une quelconque des courbes C, et l'on a ainsi une limite inférieure de l'ordre de multiplicité du point {xi^ yi) des courbes C. Mais X branches de la même espèce peuvent appartenir à la même courbe C. Si donc (x désigne l'ordre do multiplicité d'une seule branche, la somme SX(jl étendue aux S classes donne l'ordre de multiplicité du point M/ des courbes C. 11 est facile également de calculer en fonction des nombres X (qu'on ne saurait en général déterminer a priori) l'ordre de multiplicité a, de l'intersection

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 2o3

de deux courbes C en M/. On doit avoir

Cette égalité permet de résoudre la question suivante : Ileconnaîire si V intégrale d'une équation (^i) est une courbe algébrique dont les points multiples n'admettent pas plus de P branches distinctes (^ est donné).

On sait calculer, en effet, une limite supérieure de m*.

Une égalité analogue permet de reconnaître si l'équation (i) admet plus d'une intégrale particulière dont les points multiples aient au plus P branches distinctes. H suffit de considérer tous les points M, par lesquels passe plus d'une branche de courbe C, et de raisonner sur ces points comme nous venons de le faire sur les points M]. Un cas intéressant est celui où il n'existe aucun point M',, c'est-à-dire aucun point commun à toutes les branches de courbes. La question se résout alors sans connaître ^; la somme Za^et, par suite, m^ ne sauraient dépasser une certaine limite.

Par exemple, considérons l'équation

Cette équation n'admet qu'un point M/ (a? = 0,^ = 0), et, en ce point, la méthode de Briot et Bouquet nous montre qu'il ne passe que deux intégrales

L'équation ne saurait donc admettre que deux intégrales algébriques

qui ont un point d'intersection unique, d'ordre de multiplicité égal

a I» Ces intégrales, si elles existent, sont donc des droites; on vérifie,

en effet, que y = -har, j= — a; sont deux intégrales de l'équation

dont l'intégrale générale s'écrit

Revenons maintenant à l'étude des équations (8), dont l'intégrale générale est algébrique. Nous pouvons établir d'autres relations entre le degré des courbes C et les ordres de multiplicité de leurs points multiples.

2o4 P. PAINLEVÉ.

Calculons, en effet, la classe d'une courbe C en nous servant de la première formule de Plûcker

c=. m {m — i) — id — 3r.

Il nous faut tenir compte de l'ordre de multiplicité des points M^ : nous obtenons ainsi la valeur de c en fonction des X. D'autre part, considérons l'équation

(lO)

Le nombre des points d'intersection de la courbe (lo) avec une courbe C, abstraction faite des points M|, représente le nombre de tangentes parallèles à la direction rj,, qu'on peut mener aune courbe C. Ce nombre coïncide avec la classe c de la courbe C; il n'en différerait, en effet, que si la droite de l'infini était tangente à toutes les courbes C, et nous avons fait subir à x, y la transformation homographique la plus générale, qui rend la droite de l'infini quelconque par rapport aux courbes C.

Soit donc q le degré en x, y des deux polynômes P, Q ou, si l'on veut, de la courbe (lo). Toutes les courbes (lo) passent par les points Mj, et nous savons calculer l'ordre de multiplicité en un point M^. de l'intersection de chaque branche de courbe C avec la courbe (lo); nous connaissons donc, en fonction des X, l'ordre de multiplicité y, de Tintersection en un point M) d'une courbe C avee la courbe (lo). Nous avons

la somme Sy, s'étendant à tous les points M^. Nous obtenons ainsi une nouvelle relation entre les nombres X et m.

De même, en calculant le nombre des points d'inflexion d'une part d'après les formules de Plûcker, d'autre part d'après l'équation différentielle, on obtient une nouvelle relation, analogue à la précédente, entre m et les X.

Il convient de joindre à ces trois égalités, l'inégalité

d désignant toujours le nombre de points doubles équivalent aux points multiples M^. Cette condition est nécessaire, mais non suffisante pour que les courbes C soient indécomposables.

4. Ces égalités permettent, dans des cas très étendus, de résoudre le problème suivant : Reconnaître si l'intégrale générale d'une équation (8) est algébrique et de genre donné. Nous appelons genre de l'intégrale le genre des courbes C. Quand ce genre p est donné, l'inégalité (c) se transforme en Tégalité

I. Supposons d'abord que tous les points M^ soient des points d*intersection simples de deux branches d'intégrales. Nous donnerons à ces points, avec M. Autonne, le nom àe^ points dicritiques (*). Ces points peuvent, d'ailleurs, être des points d'intersection multiples des courbes P = o, Q = o.

L'égalité (a) nous donne

et, si ki désigne Tordre de multiplicité le moins élevé du point M) sur les deux courbes P = o, Q = o, l'égalité (6) s'écrit

{b) m (m — i) — 2X/(A/ — i) =:qm — 2A-/X,,

OU bien, en tenant compte de (a),

Joignons à ces égalités la suivante

(m — i) (m — 2) — 2Xf (X|— i) =: 2/?,

ou, en tenant compte de (a),

(1) f^02> les deux Mémoires de M. Autonne sur les équations difTérentielles du premier ordre (Journal de l'École Polytechnique, 1891; Annales de la Faculté des Sciences de Lyon y 1892).

2oG p. PAINLEVÊ.

Il vient, en éliminant m entre {b) et (rf),

Si tous les ki sont inférieurs à ^-^ — > tous les coefficients des X, sont

positifs; p est nécessairement plus grand que i, et l'égalité {e) nous fournit une limite supérieure de SX/, par suite de m.

Si tous les ki sont supérieurs à ^ "Z > p est nécessairement nul, et l'égalité (e) nous fournit une limite supérieure de m.

Si, notamment, tous les ki sont égaux, trois cas sont possibles : I» Ski = q — n — /(/> o); on a alors

tl'ki = 2{p-'i){q-hi)

et

2" 3^/ = y — 2; dans ce cas, le genre p est nécessairement égal a i , et les égalités précédentes ne limitent plus le degré m.

3° 3ki = y — 2 -h /(/> o); p est nécessairement nul, et Ton a

ll,~— et m- 3^

Dans ce dernier cas, les égalités employées suffisent à résoudre le problème : Reconnaître si l'intégrale générale de l'équation (8) est algébrique.

11 convient de signaler le cas ou tous les points seraient des points d'intersection simples des courbes P = o, Q = o, c'est-à-dire où tous les ki seraient égaux à i. L'égalité {e) deviendrait alors

(q — 5) Ih =z2{p — i){q-hJ)

et, par suite,

si q est plus grand que 5 f /? est nécessairement plus grand que i; si q = 5^ p est égal à l'unité et m n'est plus déterminé; siq est plus petit

que 5, p est nul, et m est égal à 4 (si ^ = 4), à 2 (si y = 3), à i (siy=i).

II. Un autre cas très général, que nous allons traiter maintenant, est celui oà tous les nœuds M' sont des points simples d'intersection des courbes P = o, Q = o.

Soit a-/ = o, Yi^= o un des points M^; dans le voisinage de ce point, on a

y,^ OCX 4- (3/ ^-... ^

avec la condition

puisque les courbes P = o, Q = o ne sont pas tangentes. La méthode de Briot et Bouquet conduit à poser

a satisfaisant à l'égalité

La valeur de a n'est indéterminée que si a, [3' et (^ — a') sont nuls : le point M- est alors un point dicritrque, et, dans le voisinage de ce point, V se laisse développer ainsi :

c désignant une constante arbitraire, dont dépendent c<, Ca, Ce cas

écarté, toutes les branches de courbes intégrales sont tangentes a deux directions r = a|X, j = «2^» qu'on peut prendre comme axes des oc et des j, ce qui revient à annuler a et P'; l'équation (8) s'écrit alors

ex! X -\- y' x^ '\- , . .

Pour que le point soit un nœud algébrique, il faut que -^ soit un

nombre réel, positif et commensurable -> qu'on peut toujours supposer plus grand que i; sinon on permuterait x et y. Toutes les courbes intégrales sont tangentes à l'axe des x et leur équation s'écrit

yz=cx^'\-CiX ^ -h CfX ^ -h....

2o8 p. PAÎNLEVÉ.

c désignant une conslante arbitraire dont dépendent c^f c,, Une

branche ïso/ée est tangente à Taxe des y, ainsi qu'il résulte immédiatement de la discussion de Briot et Bouquet. Le cas exceptionnel où a^ et «2 sont confondus ne saurait se présenter quand l'intégrale est algébrique : en effet, si nous prenons la droite j= a, ^r comme axe desj:, a et (^ — a) sont nuls, et Téquation (8) devient

Mais l'origine est un point transcendant des intégrales de cette équation quand k n'est pas nul ; si ^ = o, le nœud est dicritique.

Kn définitive, par chaque nœud 07^= o, j,= o passe une famille, et une seule, de courbes C dépendant d'une constante arbitraire; chaque branche d'intégrale se laisse développer ainsi

r = ajc H- CJT^ -h c

a désignant un nombre et c une constante arbitraire; toutefois, si le nœud est dicritique, le développement est de la forme

Y^= CJT -h CiX'-h CfX^-h' ' '"= 9 («2?).

Le nombre des points d'intersection confondus en M|. de deux branches quelconques d'intégrales est dans tous les cas égal à [xv. On s'en rend compte rapidement ainsi : posons a? = i^; à chaque branche

de courbes C ou y = rf\x^) correspondent v branches y distinctes y =: 9(a$), a étant une des racines v**™** de l'unité. A deux courbes C, soient C et C, correspondent v branches y et v branches y', et ces branches ont au point M] un contact d'ordre (x; les courbes y ont donc, avec les courbes y', fxv' points d'intersection confondus en M^.. D'autre part, lés points d'intersection de y et de y' se partagent en groupes de V points tels que $" ait la même valeur pour ces v points. Il suit de là

que les deux branches C et C ont — - ou [xv points communs confondus

en My. Quand le nœud est dicritique, p. = i, v = i et (xv = i.

Si par le point M^. passent X branches de courbe C appartenant à la même intégrale algébrique, chacune des X branches de Tintégrale coupe

sua LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 209

une des branches d'une autre intégrale en [jlv points confondus en M^. Le nombre total des intersections confondues en M) est donc X-[jlv; l'égalité {a) s'écrit donc

la somme étant étendue à tous les nœuds.

Calculons maintenant l'abaissement de la classe. Soit

l'équation des courbes C mise sous forme entière; le point M', étant l'origine, les termes de degré le moins élevé sont de degré X/v,, et dans l'équation

les termes de degré le moins élevé sont de degré (Xv — i). Si nous posons a? = ^'', les Xv branches distinctes définies par (u) etles(Xv — i) branches distinctes définies par (<^) ont deux à deux un contact d'ordre \l en M^; elles ont donc Xv(Xv,— i)u. points communs confondus en M,'. Il suit de là, comme plus haut, qu'une courbe C et sa polaire {v) ont Xul(Xv — i) intersections confondues en M^, résultat qui se déduit d'ailleurs de formules connues.

La classe des courbes C est donc donnée par l'égalité

c = w ( m — I ) — \^ A|jl( Xv — I ).

D'autre part, une courbe C et la courbe

(10) y'-P(£ir)

ont, en dehors des points M], (y/w — ^Xvj points d'intersection. L'égalité (b) est donc ici

m{m — i) — N A|jL(Xy — 1) z= qm — ^^ Xv,

OU encore, en tenant compte de (a),

(b) 2),(jx|-v)=:(^-hi)/n.

Calculons enfin le genre : pour chaque branche d'intégrale

le point M^. (au point de vue du genre) équivaut à ^ — ^-^ points

doubles; la multiplicité de M- est donc égale au nombre -^ — -

augmenté de ~"'^f^^ , nombre des intersections confondues en M^ qu'ont entre elles les X branches de C. Il vient donc

p— '-- "' h > -(fx-hv — I ,

formule d'ailleurs connue. Si l'on tient compte de (a), on a et, si l'on tient compte de (6),

Cette égalité, déjà donnée par M. Poincaré (* ), permet de reconnaître si l'intégrale générale est algébrique et de genre donné chaque fois que q est plus grand que 5.

{») M. Poincaré est parvenu à celte formule par des considérations différentes où interviennent les valeurs remarquables de la constante pour lesquelles l'intégrale algébrique, supposée irréductible, se décompose, (f^o/rles Comptes rendus^ avril 1891 et les Rendiconii del circoto math, dl Palermo, avril 1891.) J*ai indiqué la méthode générale que j'ai appliquée dans ce paragaphe dans une Note des Comptes rendus (mai 1890). Le dernier paragraphe de cette Note renferme une méthode différente pour reconnaître dans tous les cas si l'intégrale est algébrique et de genre donné, mais cette méthode est inexacte et repose sur une évaluation évidemment erronée du genre. Le paragraphe est à supprimer.

Plus généralement, il suffit que les coefficients des X dans {d) soient tous de même signe.

Le genre p est nécessairement plus grand que i si y est supérieur à 4. Toutefois, pour y = 5, si tous les nœuds sont dicritiques, p est égal à I .

Quand tous les nœuds sont dicritiques, (x = i, v = i, on retombe sur des résultats déjà signalés.

5. Si importants que soient les cas particuliers que nous venons de traiter, on ne saurait pourtant considérer comme résolu d'une manière générale le problème que nous nous sommes posé : reconnaître si rintégrale d'une équation (8) est algébrique et de genre donné. Quand les courbes P = o, Q = o ont des points communs confondus, les égalités (a), (6), {d) ne déterminent plus nécessairement une limite de m. Il n'est pas d'ailleurs possible de transformer, à Taide d'une substitution de Cremona, une équation (8) quelconque en une équation pour laquelle tous les points singuliers soient simples. Quoi qu'il en soit, les égalités qui nous occupent suffisent à résoudre la question posée dans des cas très nombreux, différents de ceux que nous avons considérés jusqu'ici. Par exemple, si l'équation n'admet qu'un nœud et si ce nœud est un point ordinaire de chaque branche d'intégrale, mais un point de contact d'ordre [x de deux branches quelconques, les égalités (a) et {d) s'écrivent

(m — i)(/n — 2) — X(X — i)|jL=:2/?,

et, par suite,

m(v/f— 3)=i:2(p — l).

On voit que [x doit être le carré d'un nombre entier. Le genre p est nul ou plus grand que i, suivant qu'on a [x<9 ou p.>9. Dans la première hypothèse, m est égal à 2({jl = 4) ou à i ([jl = i); dans la seconde, m est au plus égal à i{p — \). Enfin, si tt = 9, on a /> = i , et m n'est plus limité.

Il convient de remarquer que, dans toutes les applications précédentes, les égalités employées ne déterminent yamaw de limite supé-

rieure de m pourp = i . Nous verrons tout à l'heure la raison de cette singularité.

6. 11 peut arriver que les mêmes égalités suffisent à reconnaître si r intégrale générale d'une équation (S) est algébrique, sans aucune condition donnée.

Nous avons déjà rencontré un exemple de ce fait : quand tous les nœuds sont dicritiques et quand de plus ces points sont des points mul-

tiples d'ordre plus grand que -^^ — des deux courbes P = o, Q = o, le

genre /> est nécessairement nul, et l'on connaît une limite supérieure de m. En particulier, quand les nœuds, tous dicritiques, sont des points simples de P = o, Q = o, pour q<^5, m est déterminé par

l'égalité m = ^-^ •

Comme exemple assez différent, nous signalerons le cas où les nœuds sont en nombre inférieur àc) et tous dicritiques. D'une manière précise, ces points peuvent être des points d'intersection multiples de P = o, Q = o, mais sont des points d'intersection simple de deux branches d'intégrales (sauf peut-être de branches isolées).

Nous avons alors l'égalité

De plus, par 9 points (parmi lesquels les nœuds) nous pouvons faire passer une cubique; il vient donc

D'autre part, l'égalité (d) donne ici

2>i— 3m = a(/> — i), d'où

Nous voyons que/? est égal à o ou à i et A: égal à 2 (pour/? = o) ou à o (pour/> = i).

D'après cela :

I® Si le nombre N des nœuds est égal à g^ p est nul ou égal à l'unité; 2^ Si le nombre N est inférieur àc)(^ = g — a)^p est nécessairement nul.

En effet, en prenant a des 9 points sur une des courbes intégrales, on voit que k est au moins égal à a; ^ n'étant pas nul est égal à a, p est nul, a est égal à 1 ou à 2. Ceci suppose toutefois que la cubique auxiliaire n'ait pas une partie commune avec la courbe intégrale : le fait ne peut se présenter que quand les courbes intégrales sont au plus du troisième degré. On trouve ainsi que l'intégrale étant supposée algébrique, le nombre N doit être égal à 8, 7, 6, 4 ou i. Si N = 6, les intégrales sont des cubiques ayant un point double commun ; si N = 4> ce sont des coniques; si N = i , des droites.

Plaçons-nous successivement dans les deux hypothèses N = 8, N = 7. Des deux égalités

(a) gm'rz^Xf,

(d) 3mr=Q-h^^.,

on déduit

Cette égalité peut s'écrire, si N = 8,

■•■^In"" î^^~^^»M '^l^^'

Elle montre que (Xg— 2)^ est inférieur ou égal à 8, c'est-k-dire que Xg est au plus égal à 5. Comme \ est un quelconque des nombres X^, on voit qu'aucun des X ne saurait dépasser 4- Il en résulte, d'après (rf), que m est inférieur à 12.

Si N = 7, l'égalité (e), où l'on fait X» = o, montre que (X- — 1)* est au plus égal à 3, c'est-à-dire qu'aucun des X ne saurait dépasser 2; m est donc inférieur à 6.

21/4 p. PAINLEVÉ.

Une discussion facile, où l'on tient compte des égalités (a), (d) et /> = o, permet d'énumérer tous les cas possibles et d'énoncer le théorème suivant :

lorsque les nœuds d'une équation y' = j^ (à points singuliers simples

ou confondus) sont tous dicritiques et que leur nombre N est inférieur à 9, l'intégrale de cette équation ne saurait être algébrique que si N est égal à S, 'j, 6, ^ ou ï. Le genre de cette intégrale est toujours nul; son degré est au plus égal à 11 « N = 8, à 5 5/ N = 7 ; «7 est égal à 3 « N = 6, à 2 sil!i = /\, à I 51 N = I .

Parmi les N nœuds, N4 sont des points quadruples (à tangentes simples) des courbes intégrales, N3 sont des points triples, N^ sont des points doubles, N< des points simples. Les nombres /w, N<, N^, N3, N4 sont susceptibles de recevoir les valeurs suivantes :

Degré.

N nœuds

Points quadruples.

Points

triples.

Points doubles.

Points

simples

/ m = II

Il convient de remarquer que dans ces exemples, où notre méthode suffit à reconnaître si l'intégrale générale est algébrique, le genre de cette intégrale est nul. On se rend compte qu'il doit en être ainsi de la manière suivante :

Les relations dont nous disposons se composent d'un système (a) de

trois égalités [les égalités (a), (b) et une troisième égalité relative aux points d'inflexion] et d'une inégalité (c)

(c) (m — i)(m — a) — ae/^o,

inégalité qui peut s'écrire encore

(d) {m — i)(m — a) — id-=zip^

p désignant un nombre nul ou positif, mais indéterminé quand on ne se donne pas le genre.

Admettons que l'intégrale de (8) soit algébrique; a cette intégrale correspond un système d'entiers m, X,- qui vérifient les relations (a) et l'inégalité (c). Quand on remplace l'équation irréductible

par la suivante

g étant rationnel en y^ et de degré (x, à la courbe (9)' correspond un nouveau système d'entiers ni, X], à savoir X^ = p,X,- et m'= \kmy qui vérifient encore évidemment les relations (a). Il reste à savoir si Tinégalité (c) subsiste, autrement dit, si le genre de la courbe (9)', calculé comme pour une courbe irréductible, est nul ou positif. Nous avons, pour la courbe (9),

(m — i)(m — 2) — 2ûf= 2/7, {p^o).

La courbe (9)' est de degré mfji, et le nombre de ses points doubles est, comme on le voit aisément, arf-h ^Li^y^iZlli . Le genre />' de (9)' est donc donné par l'égalité

2/>' = {[im — i)(fxm — 2) — 2[kd — m} [t.{\L — i)

OU encore

2lG p. PAINLEVÉ.

Ceci nous montre que, si ^ est plus grand que i , p' a /oriiori est p\u^ grand que i; s\ p = i, p' est égal à i quel que soit (x.; enfin, si/> = o, p' est négatif dès que (x est plus grand que i .

D'après cela, si le genre de l'intégrale n'est pas nul, les relations (a) et l'inégalité (c) sont vérifiées pour des valeurs de [jl, par suite, pour des valeurs des entiers m et X,- aussi grandes qu'on veut. Les relations dont nous disposons ne sauraient donc suffire à déterminer une limite du degré de l'intégrale supposée algébrique que dans le cas où le genre de cette intégrale serait nul. Si donc les relations (a) et (c) en m et X/ admettent un nombre fini de solutions positives, on est certain ou que l'intégrale n'est pas algébrique, ou que son genre est nul.

De plus, si l'on se donne le genre p de l'intégrale, mais que p soit égal à i, les relations (a) et l'égalité {d)

sont vérifiées, quand l'intégrale est algébrique, par des systèmes d'entiers m et X, aussi grands qu'on veut. Les égalités (a) et (d) ne sauraient donc jamais déterminer une limite du degré de l'intégrale quand elle est algébrique et de genre i .

Il est clair d'après cela que pour déterminer en général une limite du degré de l'intégrale supposée algébrique, il est indispensable d'introduire des conditions exprimant que la relation (9) est indécomposable pour A quelconque. Mais je ne développerai pas ici ces considérations (*).

J'ajoute que les relations (a) et {d) permettent dans certains cas de reconnaître si l'équation admet plus d'une intégrale particulière algébrique dont le genre est ou non donné. Comme ces intégrales peuvent passer par un ou plusieurs cols, les sommes S qui figurent dans ces égalités doivent être étendues non seulement aux nœuds, mais aussi k un certain nombre de branches passant par les cols. On forme ainsi un

(1) foir à ce sujet les travaux déjà cités de M. Poincarésur l'intégration algébrique des équations du premier ordre et du premier degré. Voir également plusieurs Notes de M. Autonne sur la même matière {Comptes rendus^ mars, novembre 1891, février 1897.), et les Notes que j'ai publiées sur les intégrales algébriques ou à /t valeurs des équations du premier ordre {Comptes rendus, mai 1891, janvier et février 1892).

nombre fini de systèmes (a), (rf), qui limitent parfois le degré des intégrales.

Enfin, les deux dernières relations (a) et la relation {d) peuvent servir à reconnaître s' il existe une intégrale particulière algébrique dont le genre est ou non donné.

11 est clair d'ailleurs, que la recherche des intégrales particulières algébriques est un problème plus compliqué que la recherche des cas où l'intégrale générale de l'équateur est algébrique. Il existe toutefois une classe d'intégrales algébriques qu'on peut toujours déterminer sûrement : ce sont les intégrales rationnelles. C'est la détermination de ces intégrales que nous allons effectuer pour terminer ces applications.

7. Bien des questions se ramènent à la recherche des intégrales rationnelles des équations différentielles. Étant donnée une équation différentielle d'ordre quelconque, on peut trouver les polynômes qui vérifient cette équation en déterminant une limite supérieure de leur degré. Plus généralement, si Ton connaît le nombre des racines distinctes de l'équation j'^=:R(a?) pour une certaine valeur de jo \^^^ exemple le nombre des pôles distincts de R(^)]» on peut calculer les intégrales rationnelles y = R(a?) en déterminant une limite supérieure du degré des deux termes de R(ir). C'est ce qui se présente dans le cas des équations linéaires, dans le cas des équations du premier ordre telles que pour une certaine valeur jo d^ y toutes les valeurs de y soient nulles quel que soit x ( jo n'étant pas, quel que soit a?, un point critique de j'). Mais ce sont là des circonstances exceptionnelles. La méthode que je vais indiquer ici permet de résoudre sûrement la question pour des équations de la forme

où P et Q sont deux polynômes en y, x.

Si (a?o, jo) vérifient la relation

a?o est un point critique de l'intégrale y qui prend pour x = a^o la va- P. 28

21 8 p. PAINLEVÉ.

leur y^; à moins toutefois que (a?©, jo) ne satisfasse aussi à la relation P = o.

D'après cela, la courbe

ne peut rencontrer la courbe (ii) qu'en des points qui lui soient communs avec la courbe P = o. Pour éviter toute discussion relative aux valeurs infinies de y, effectuons sur a? et y la transformation suivante

a, b, ..., CL, ... étant des constantes. La courbe (12) a pour équation

A„ etB;, étant de degré n en a?^, et les courbes (12') et

n'ont pas de points communs dont Vy soit infini. Il serait d'ailleurs bien facile de traiter le problème sans se servir de cette transformation. Dans ces conditions, les courbes (11') et (i 2') ne peuvent admettre comme points communs que des points communs aux courbes

Pi = o, Qi=o,

situés à distance finie, et peut-être des points qui correspondent à x^ = ix>. Examinons d'abord ces derniers : pour a?, = 00, l'ordonnée j, de (12') tend vers une valeur finie a. Si (i i') et (12') ont un point commun à l'infini dans la direction de a?, il faut que (n') admette une asymptote parallèle à Oo?,. Ce point est un point simple d'intersection à moins que cette asymptote ne coïncide avec la droite y< = a. Mais on connaît les valeurs limites de l'ordonnée j< de (11)' poura;< = x; soit

yi = b une de ces valeurs. On sait, en formant l'équation en ^ = ~ j

développer les intégrales holomorphes égales à b pour ^ = o autour

du point Ç = o, et, par suite, trouver l'ordre maximum de multiplicité S de l'intersection au point j, =b, x^ = co des deux courbes (i i') et (f2').

La même discussion s'eiïectue plus facilement en chacun des points (^o»yo) communs aux courbes

Pt = o> Qi=o-

On sait reconnaître si l'équation (8')

d.yi . Pi(ri>^i)

admet des intégrales holomorphes prenant pour œ^ la valeur jo» el déterminer, pour ces intégrales, le développement de (y — j©) suivant les puissances de (x — x^). On en déduit l'ordre maximum de multiplicité §0 du point (xq, y^) considéré comme point de rencontre de (il') et (12'). En faisant ce calcul pour tous les points (a?o,jo)» on obtient une limite supérieure p. = S + i8q du nombre de points de rencontre (distincts ou confondus) des courbes (i i') et (12'). Soit q le degré de Q, (y, , Xt ); on doit avoir

d'où l'on déduit une limite de n. Les intégrales l^(x) se calculent dès lors algébriquement. La méthode n'est en défaut que si l'équation (8) est une équation de Riccati, mais la question se traite alors directement.

Il est facile d'étendre la méthode aux équations hyperelliptiques en

en faisant jouer aux valeurs (y, x), qui annulent R(j, x), le rôle des valeurs (r<, a7|) qui rendent, dans l'équation (8'), y\ infinie. La méthode n'est en défaut que si toutes les fonctions y(x) définies par R = o sont des intégrales singulières.

Le même procédé permet de calculer toutes les intégrales rationnelles des équations

220 P. PAINLEVE. — SUH LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE.

à moins toutefois que l'intégrale générale n'ait que des points critiques fixes, auquel cas l'équation s'intègre algébriquement, ou se ramène soit à une équation de Riccati, soit à une quadrature

Cette équation est la seule équation de la forme (i3) dont on ne puisse calculer algébriquement les intégrales rationnelles. Mais je ne veux pas insister sur ces extensions faciles.

J'arrêterai ici cette étude des équations du premier ordre et du premier degré. Dans un travail ultérieur, je montrerai comment les principes développés dans ce Mémoire permettent, moyennant quelques considérations nouvelles, de pousser plus loin la recherche des équations dont l'intégrale générale est algébrique ou ne prend dans le plan qu'un nombre limité de valeurs.