Une fois reconnu que l'intégrale d'une équation
ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, nous avons indiqué, à la fin du Chapitre IV, quelles conditions doivent être encore remplies pour que l'intégrale ne prenne, dans tout le plan, qu'un nombre fini de valeurs. Il faut que l'équation à points critiques fixes
à laquelle on ramené l'équation (i), ait pour intégrale une fonction à V valeurs. Étudions quelles simplifications apporte, dans ce nouveau problème, l'hypothèse.que y{x) est une fonction algébrique.
Il est nécessaire et suffisant, pour cela, que l'intégrale de (2) soit
( * ) Voir à ce sujet une Note Sur l'Intégration algébrique des équations du premier ordre (Comptes rendus de l'académie des Sciences, mai 1891), et deux Notes Sur les intégrales à n valeurs des équations du premier ordre (Comptes rendus, janvier et février 1892).
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algébrique. Si le genre ts de (2) est supérieur à l'unité, l'équation (2) s'intègre algébriquement : il suffit donc que les coefficients de (2), par suite de (i), soient algébriques, en x.
Si GJ = I, on transforme l'équation (2) en la suivante
(3) -=^L==-U{œ)dx;
jE(x) dx doit être une intégrale abélienne de première espèce d'une
certaine courbe algébrique. Il faut, de plus, que cette intégrale se ramène aux intégrales elliptiques de module k^. Quand gt =1 o, on substitue à l'équation (2) une équation de Riccati
Il faut et il suffit que l'intégrale de cette équation soit algébrique. Par des procédés analogues à ceux qu'on emploie dans la théorie des équations difierentielles linéaires (*), on détermine s'il en est ainsi (et l'équation s'intègre alors algébriquement), ou l'on ramène l'équation à une quadrature
Nous voyons ainsi que la question de reconnaître si l'intégrale d'une équation (i), qui ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, est algébrique, se résout algébriquement ou se ramène au problème de la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales elliptiques ou logarithmiques.
Quand on se donne le nombre N de valeurs que la fonction algébrique y{x) peut acquérir dans tout le plan, la question se résout complètement dans le cas de gt = o.
On sait décider, en effet, si l'intégrale de l'équation
est une fonction algébrique à v valeurs.
(1) Foir, par exemple, à ce sujet, diverses Notes que j*ai publiées dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (juin, jaillel 1887, janvier 1888).
Pour que le cas de ci = i, le problème n'est guère simplifié. Écrivons Téquation (2) en exprimant la fonction algébrique H(a;) à Taide des coordonnées (x, Ç) de la courbe algébrique dont elle définit une intégrale abélienne,
avec la condition on a
dt
- =: R(Xyl)dx.
Si l'intégrale de cette équation t(x) est algébrique, on sait que l'intégrale /, de l'équation
dti
s/(i^t\)(i-kH\)
= rR(j:, Ç)ûfx,
pour une certaine valeur de l'entier r, est une fonction rationnelle de (x, Ç). Si l'on se donne une limite du nombre des valeurs de ^ on se donne, par le fait même, une limite du nombre r, et le problème se trouve ramené ainsi à reconnaître si l'intégrale d*une certaine équation
dt^
vTr::7[K7^rÂ:*f;)
a son intégrale rationnelle en (x, Ç).
En résumé, on sait reconnaître si l'intégrale de V équation (1) est une /onction algébrique y (x) à N valeurs, ou l'on ramène l'équation (i) à la suii^ante
== = ^{x,l)dx [avec /(^, = 0],
et l'intégrale de cette équation doit être rationnelle en (x^ Ç).
En particulier, quand le genre p de (i) est nul, notamment quand l'équation (i) est résolue par rapport à y, le problème que nous venons d'énoncer se résout toujours algébriquement.
2. Plaçons-nous maintenant dans le cas où l'on ne se donnerait ni n, ni N, autrement dit, cherchons à traiter, sous sa forme la plus générale, la question de savoir si l'intégrale de l'équation (i) est algébrique.
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Dans ces conditions, y ne joue plus nécessairement le rôle de fonction par rapport à a:; on peut permuter les deux variables et effectuer dans (i) une transformation algébrique quelconque portant sur ces variables, par exemple, la transformation homographique la plus générale
a"Xi -+- b"y^ 4- c ' -^ ~~ a" X| -h b" y^ -h c' '
Admettons qu'on ait fait subir effectivement diX^i y cette transformation. L'équation (1), irréductible, a alors pour premier membre un polynôme en j, y' eta?. L'intégrale de (i), si elle est algébrique, s'écrira
A ic" 4- B x'^-^y 4- ... -h L/" = o,
ou encore
La fonction y{oc) est une fonction algébrique à n valeurs, sans points critiques fixes; les R, désignent des fonctions rationnelles de Jo» j'o» ^0» ^' ^^ déduit de là (comme on l'a fait au Chapitre I) que l'intégrale de (i) se laisse mettre d'une infinité de manières sous la forme
p étant rationnel en j, y\ x; on peut choisir deux telles consicmtes intégrales Y et y,, liées par la relation
(5) H(y,yt)=o,
de telle façon que toutes les autres s'expriment rationnellement en y, Y<. Quand le genre xs de la relation (5) est supérieur à l'unité, l'équation (i) s'intègre algébriquement.
Quand cr = i, l'intégrale vérifie une relation telle que
les \i désignent des fonctions rationnelles de x, J une des/? intégrales de première espèce attachées à la courbe en y, y
Les X, et ^ satisfont, comme nous l'avons dit, à un système d'équa-
lions linéaires et homogènes dont l'intégrale dépend au plus de (/?— i) constantes arbitraires. On sait déteriuiner algébriquement toutes les intégrales rationnelles d'un pareil système. Nous savons donc calculer algébriquement toutes les intégrales J, qui répondent à la condition (6), et l'équation (i) se trouve alors intégrée, en posant
par la quadrature
/ Q (^y-^y'Q ^^ = consi.;
y dans cette différentielle totale désigne la fonction de x^y définie par(i).
On peut dire encore que la substitution
yi — ptiyyf'f^)
transforme l'intégrale
en une intégrale de première espèce f P dx -hQdy de la surface
et la recherche de ces intégrales, comme l'a montré M. Picard, s'effectue algébriquement. L'intégrale générale de l'équation (i) est alors donnée par la quadrature
J P dx -hQdf=: const.
Remarquons que, quand cj est supérieur à i, pour une équation (i) de degré donné en j, y, x, le degré n de la relation algébrique entre J et a? ne peut dépasser une certaine limite qu'indique l'égalité
n rr .
GJ — I
Quand gt = i, au contraire, n peut dépasser tout entier donné.
Nous arrivons ainsi aux conclusions suivantes : On reconnaît algébriquement si l'intégrale de(i) est une fonction algébrique correspondant
à une valeur du nombre xs différente de o y ou bien on intègre V équation ( i ) par une quadrature de différentielle totale
fPdx-^Qdyz=iConsl.;
la différentielle totale (V dx-hQdy) se calcule d'ailleurs algébriquement.
Si l'intégrale j(^) est algébrique, la différentielle Vdx-^Qdy doit être une différentielle totale de première espèce attachée à la surface F = o, dont les périodes se réduisent à deux.
Le cas de tar = o échappe complètement à la méthode. C'est le seul cas qui puisse se présenter quand le genre p de la relation
entre V et y, est nul. On peut alors, en posant
ramener l'équation à la forme
R, ç, ^ sont rationnels en / et en x, puisque F est un polynôme en^, y, X. Plus généralement, l'équation se ramènera à la forme (7) si les coordonnées j, y\ x de la surface F = o s'expriment rationnellement à l'aide de deux paramètres t et w. Nous allons traiter quelques problèmes particuliers relatifs à ces équations (7) pour lesquelles la méthode précédente est toujours en défaut.
