dy

dy

Ces égalités doivent donc être des conséquences des précédentes, quels que soient les A/, ce qui exige qu'on ait

et de même

pour toutes les valeurs de i, « = i , 2, . . ., /?. On en déduit aussitôt

p (y ,v ^Pi(ro>-go) p /y , /Pi(jo>^o)

"p. / Pi(yo,^o) p ( /Pi(ro,^o)

P.Cr,

i(rot

.x'/PtCro.ao)

P.Cj'.,

i(.ro.

. ^rfP^(.V„«o)

Les quantités y,, 2, étant données, ces équations sont de la forme

P,(j, z) + «P,(/, 5) -h PP,0', s) = o,

72 p. PALNLEVÉ.

a, [3 désignant des constantes. Une telle relation ne peut jamais se réduire à une identité. Elle détermine donc sur la courbe (i) des points particuliers N qui correspondent au point M.

Pour rappeler ce fait, désignons par {y\,!s\) les coordonnées d'un de ces points N.

Revenons alors aux égalités (A). Il est facile de voir que, dans ces égalités, [jL est nul. Sinon l'égalité

résulterait des deux égalités

c'est-à-dire que toute courbe C passant par les deux points M et N serait tangente à la courbe (i) au point M.

Or cette supposition est inadmissible, comme on peut s'en rendre compte de la manière suivante : considérons toutes les courbes C qui passent par le point M et coupent la courbe (i) sous un angle donnée; elles rencontrent la courbe (i) en un certain nombre de points variables Q,, qui parcourent la courbe (i) et coïncident, pour certaines courbes C, avec N. Ces courbes passent par M et N sans être tangentes k (i) au point M (*).

Donc (X est nul, et l'on a

c'est-à-dire que l'équation

est une conséquence de l'équation

(*) A la vérité, ce raisonnement suppose /^ > 3. Si /? = 3, on ramène, par une transformation birationnolle, l'équation (i) à être du quatrième degré, et le théorème que nous voulons démontrer apparaît immédiatement.

toute courbe C qui passe par M passe par N. La courbe (i) est de l'espèce hyperelliptique.

Si donc nous laissons de côté la classe des courbes (i) hyperelliptiques, les coordonnées j', s des points de contact d'une courbe C avec (i) s'expriment rationnellement en fonction des Â/

/ = R (A,, Aï, ..., A^), ^ = R,(A,) Ai, . . ., kp).

Les quantités A,- sont assujetties à la seule relation

0( A|, Af, . . . , A;,) = o.

Cela posé, admettons qu'il existe une substitution rationnelle (3) permettant de passer de la courbe (i) à la courbe (2). Par cette substitution, les courbes C, définies par l'équation

A, Pi (71, 5i )-+-.. .-H ApP^(7, 5) =0,

se transforment en un faisceau de courbes C dépendant linéairement de /? paramètres homogènes

Dans cette équation, les Ay sont de la forme suivante :

(k) a; = i)\, -h x;a,4-. . . H- x;Ap,

les Xy désignant des constantes.

Si les courbes C sont tangentes à (i), les courbes C correspondantes sont tangentes à (2). Ce fait géométrique équivaut h cet autre fait analytique : si les A, vérifient la relation

B(A,, A|, . . ., Ap)rz:o,

les quantités A} vérifient la relation

Ainsi, s'il existe une substitution rationnelle (3) qui transforme (1) en (2), il existe une transformation homographique de la forme (k), qui permet de passer de la relation

74 p. PAINLEVÉ.

à la relation

0i(Ai, A',, . . ., k'p')—o.

La réciproque est vraie. Pour Ténoncer sous une forme géométrique, regardons les A,, Aa» ..., A^ comme les coordonnées homogènes d'un point dans l'espace h (p — i) dimensions. L'équation homogène

0(Ai, Aj, . . ., \p) =

représente une surface dans cet espace. De même l'équation

0,(A'i, A',, . . ., AJ,) — o

représente une surface dans l'espace à (/?' — i) dimensions. Si la surface = correspond homographiquement à la surface 0, = o [par des formules telles que (^)], celte correspondance définit une transformation rationnelle de (i) en (2).

En effet, choisissons parmi les courbes C un faisceau quelconque dépendant de deux paramètres et assujetti à l'unique condition de renfermer une courbe ayant avec la courbe (i) un point de contact et un seul. Soit

l'équation de ce faisceau.

A ces courbes C correspondent par la transformation (3) des courbes C dépendant de deux paramètres et dont l'équation s'écrit

{i') A,Q,(7„ j,)-f-A2Q,(7„5,)-hA3 03(7„-i) = o

avec

Qi(7nS,)=2a,P;.(/i,s,),

Qf{yi.z,)=z'^^,P\{y,,z,),

Qz(yi, ^i) =^yi^'iiyiy ^i)>

les a, [î, Y étant des constantes qui dépendent des Vj

Si l'on se donne un point de contact (j,, 5^) de la courbe (a) avec la courbe (/'), la courbe (/') est déterminée, et les rapports ~» -— sont donnés rationnellement en fonction de (vM5,)par les équations

Al Qi(7i, 5, ) -H A, Q,(/„ 5,) -h A, Qj(/„ z,) = o;

Aj -^^ h Aj :i h As -j = o.

^/i dfx dy^

D'autre part, la courbe (/) correspondante est tangente à la courbe ( i ) en un point (y, s), car A4, Â^, A, vérifient la relation

les coordonnées (y, s) du point de contact s'expriment rationnelle-

ment en fonction des rapports ~9 ~i par suite, en fonction de (y^y^^)'

Al Aj

Il suffira donc d'examiner si l'on peut passer de la surface 0, = o à la surface = o par une transformation homographique (k). Pour qu'il en soit ainsi, il faut que les rapports des Xy vérifient certaines relations algébriques, qui sont ou incompatibles ou déterminées.

Quand les deux courbes (1) et (2) sont de même genre, la correspondance homographique entre les deux surfaces = o et 0, = o de l'espace à (/? — 1) dimensions est réciproque. Les relations (k) définissent alors les A/ en fonction linéaire et homogène des A}, et le raisonnement précédent montre que la transformation rationnelle de la courbe (1) en la courbe (2) est nécessairement birationnelle.

Ce raisonnement serait toutefois en défaut si la courbe (2) était hyperolliptique; mais nous avons montré que ce cas ne peut se présenter. Voici, d'ailleurs, comment on le verrait directement :

Supposons que (2) soit hyperelliptique, et ramenons-la à la forme

Toutes les courbes C qui passent par le point (/m s,) passent par le point (y^, — «i); par suite, toutes les courbes C qui passent par le point ( j, 5) correspondant à (y^ , s^ ) passent par le point (y\ z') correspondant à (7,, — -3|). Ceci montre que la courbe (i) est hyperelliptique, ou bien que les points (7» 5), (y\z') coïncident. Mais,

76 p. PAINLEVÉ.

dans cette dernière hypothèse, y et s s'exprimeraient rationnellement en fonction de j<, et la courbe (i) serait de genre o, ce qui est absurde. La courbe (i) est donc hyperelliptique.

Nous retrouvons ainsi, par cette seconde méthode, tous les résultats que nous avions obtenus en faisant usage de la courbe normale de M. Nœther.

6. Il nous reste à examiner avec quelque détail le cas où la courbe (1) est hyperelliptique.

Ramenons d'abord Téquation (1) à la forme

Pour une telle courbe,

P.:=i, P,=y, P,=y\ . ., Pp = r-*; on doit donc avoir

et, par suite.

R4 désignant une fonction rationnelle de y,, 2,. Si Ton exprime,

d'autre part, que y/R^ doit être une fonction rationnelle du point (ji»^i) de (i), on obtient certaines relations algébriques entre les rapports des X, [jl, relations qui sont incompatibles ou déterminées.

Examinons, en particulier, le cas où p=p. En premier lieu, la courbe (2) est alors hyperelliptique. En effet, toutes les courbes C qiy passent par le point (jo» -0) de (i) passent aussi par le point (jo» "■ ^o)- Les courbes C correspondant aux courbes C (lesquelles comprennent toutes les courbes C, puisque /? =/?') ne peuvent donc avoir un point commun (Vj»5,) sur (2) sans en avoir un second (y\,^\) : ces points (V|,5,), (7^,^,) sont les correspondants de (jo» ^o)« (^0» — ^o)> 6t ne peuvent se confondre; car autrement, au même point (ji,5j) de (2) correspondraient deux points de (i). La courbe (2) est donc hyperelliptique.

J'ajoute que la correspondance entre les deux courbes est birationnelle. Soit, en effet,

l'équation de (2). On doit avoir

et aussi

P, Q, S désignant trois polynômes de degré (/> -— i) au plus en/,. Ces égalités ne sauraient être compatibles que si Ton a

Q (.vi ) __ f^7i + f^i X, X«, [X, (x, étant quatre constantes. Donc

d'autre part,

a et ^ étant rationnels. Ces égalités nous montrent que j« et :;, s'expriment rationnellement en y, s. La correspondance entre (i) et (2) est donc birationnelle. Nous vérifions ainsi, dans tous les cas, le théorème que nous avions établi en général au début de cette étude : quand p =p'(p > i), les transformations (3) sont birationnelles.

7. Les conclusions auxquelles nous arrivons sont les suivantes :

Etant données deux courbes algébriques (i) et Ç2,) de genre p et p\ si p est supérieur à ij il n existe pas^ en général, de substitutions rationnelles (3) permettant dépasser de la courbe (i) à la courbe (2). De telles substitutions, quand elles existent, ne sont jamais qu'en nombre limité, et se calculent à l'aide d'opérations algébriques.

Le genre p' de (2) est inférieur ou égal au genre p de (\ ). Si p =/?', toute substitution rationnelle qui transforme (1) en {2) est birationnelle.

78 p. PAINLEVË.

Plus généralement, [x désignant l'ordre de la substitution rationnelle (3), on a

Les courbes de genre o et i sont les seules qui se laissent transformer en courbes du même genre par des substitutions simplement rationnelles.

Quand la courbe (a) est hyperelliptiquey toute courbe {i) de genre plus grand que i dont elle est la transformée rationnelle est hyperelliptique.

Dans ce qui précède, nous avons supposé qu'on se donnait la courbe (i) de genre p qu'il s'agissait de transfornrjer rationnellement en la courbe (2), de genre p'.

Plus généralement, on peut chercher à résoudre le problème suivant :

Étant donnée une courbe {2) de genre p\ reconnaître si elle est la transformée rationnelle d'une courbe de genre p.

Quand p = i, le problème, comme nous l'avons dit, se ramène à reconnaître si une intégrale de première espèce de la courbe (2) n'a que deux périodes.

Quand p est supérieur à i, la question se résout algébriquement. Tout d'abord, si p =p\ la transformation est nécessairement birationnelle; toutes les courbes de la même classe que (2) sont des transformées birationnelles de cette courbe et répondent à la question. Mais nous ne regardons pas comme distinctes, dans ce qui va suivre, deux courbes qui correspondent à la même surface de Riemann. Nous cherchons seulement, parmi les courbes (i) qui se transforment rationnellement en la courbe (2), un type de chaque classe. Toutes les courbes appartenant à la même classe jouiront de la même propriété.

D'après un théorème déjà rappelé de Clebsch, toute courbe de genre p (non hyperelliptique) peut être ramenée au degré/? -h i par une transformation birationnelle. Prenons donc comme courbe (i) la courbe de

degré (/?-+- 1) la plus générale à K^~^ '^p\ points doubles. Son

équation dépendra encore d'un certain nombre d'indéterminées a,, «2, . . ., a^t. Donnons à ces constantes des valeurs quelconques et écrivons les équations nécessaires et suffisantes pour qu'il existe une

correspondance rationnelle de (2) à (i). Nous obtenons ainsi certaines relations algébriques auxquelles doivent satisfaire les a,, ol^, ..., a^. Quand ces relations sont compatibles, en remplaçant les a^ par un système quelconque de solutions, on forme l'équation d'une courbe (i) dont (2) se déduit rationnellement.

Pour chercher les courbes (i) hyperelliptiques, on procède de la même manière, en prenant leur équation sous la forme

En donnant à/? les valeurs i -h (|jl étant un diviseur de ^'— i),

on détermine algébriquement toutes les courbes du genre /? plus grand que I, dont (2) est la transformée rationnelle, ou plutôt des types de toutes les classes de ces courbes.

Parmi ces courbes, en peut-il exister une infinité qui soient distinctes? autrement dit, ces courbes peuvent-elles appartenir à une infinité de classes?

Pour nous en rendre compte, assujettissons dans Téquation (i) les constantes a,* à des conditions arbitraires choisies de façon que cette équation ne dépende plus que de (3/? — 3) indéterminées [î, permettant de donner aux (3/? — 3) modules de (i) des valeurs quelconques. Ceci est toujours possible : ces constantes forment alors elles-mêmes un système de modules de (i).

Raisonnons maintenant sur cette équation (1) comme plus haut. Les ^/ doivent satisfaire à des conditions algébriques qui sont ou incompatibles, ou déterminées, ou indéterminées. Dans le premier cas, il n'existe pas de courbes de genre i répondant à la question; dans le second, il en existe un nombre limité et, dans le troisième, une infinité dont les modules dépendent algébriquement de paramètres arbitraires.

Je vais montrer que ce dernier cas ne saurait se présenter.

Soit, en effet,

l'équation de la courbe (i) dont les modules dépendent de ^ m, .. . algébriquement. Faisons varier seulement le paramètre /.

8o p. PAINLEVÉ.

Par hypothèse, une substitution (3) permet de passer de (i) a la courbe donnée (2) et vérifie, par suite, les égalités

Si les X/ ne dépendent pas de /, la courbe (i) a des modules indépendants, car on a

Ç = p^ = Pi(j^i»-i),

p, p, ne renfermant pas t; la relation entre y] et Ç ne dépend donc pas de/, et, d'autre part, la correspondance entre (r],2^) et (j, s) est birationnelle si P^, Pj, Ps sont convenablement choisis.

Le raisonnement est en défaut quand (i) est hyperelliptique; on a, dans ce cas, si

est l'équation de (i),

^^^ J ^-^V FT — -^-..-^Vj — pr '

et les X/ doivent dépendre de / si les kj en dépendent; autrement, pour une valeur de t qui rend égales deux racines de R, le premier membre deviendrait infini en certains points (y,z) de i, le second membre restant toujours fini.

Admettons donc que X,- dépendent de / dans l'équation (a) et traitons d'abord le cas où (i) serait hyperelliptique. Quand t tend vers /©• le second membre de (a') croît indéfiniment, quel que soit (j',, 5^); le premier membre, au contraire, ne devient infini que pour des valeurs particulières ( v©, s^) de ( j, 5). II faut donc que y= ç(yi , s, ), z z= K J, , z^ ) tendent respectivement vers jo, ^o quand t tend vers t^f quel que soit le point (y, , 5, ) de (2). Les fonctions (f et^ dépendent

de / algébriquement et se laissent développer suivant les puissances

de (/ — toY = T ; par exemple.

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 8l

Soit A/ le premier des coefficients A qui dépende effectivement de (ji'^i); posons

et de même

La courbe que décrit le point (y), ^) est encore hyperelliptique,

et correspond birationnellement à la courbe (i) par une substitution de la forme

Elle a donc mêmes modules, et deux de ces modules deviennent égaux pour / = to. En raisonnant sur(i)' comme sur(i), on voit que le point (y), Z) doit tendre vers un point (y)^, '^o) particulier quand / tend vers /o» et cela quel que soit le point (j<,5,) de (2). Or (y), Ç) varie, pour/ = /o» avec (Jm^i)* Lesmodulesde(ï)et([y sont donc indépendants de /. c.Q. F. D.

Ce raisonnement s'étend aux courbes (i) quelconques. Écrivons la condition que doivent vérifier les (3^ — 3) coefficients modules de(i) pour que le genre de cette courbe s'abaisse. On forme ainsi une relation en / qui a au moins une racine / = /o- Pour / = /o» 'e premier membre de (a) devient infini au moins en un point (yo^^o) de(i). Nous pouvons d'ailleurs admettre qu'il ne devient pas infini pour t = tQ, quel que soit le point (7»-). sinon il contiendrait en facteur (t — /o)~^ et on le multiplierait par (/ — /o)^^- Dans ces conditions, un au moins des coefficients 'kj doit être infini pour e= /o. On en conclut, comme ci-dessus, que, / tendant vers tQ,y=(f(yt ^z^), z= '^(y, ,5,) doivent tendre, quel que soit le point (y^,s^) de (2), vers les valeurs (jo»^o) particulières qui rendent le premier membre de (i) infini. Le raisonnement s'achève dès lors comme pour les courbes hyperelliptiques.

Nous sommes maintenant en état d'énoncer le théorème suivant :

Les courbes de genre plus grand que i qui se laissent transformer P. II

84 p. PAINLEVÉ.

genre de rinterseclion C de S avec la surface £ (ou Q = o); désignons par Y la courbe d'intersection de deux surfaces 2; cette courbe rencontre S en (/?! — i) points.

Nous distinguerons trois groupes de surfaces : le premier (le plus général) comprend les surfaces S pour lesquelles toute surface 2 qui passe par un point de S ne passe pas nécessairement par d'autres points de S correspondants (en dehors des points singuliers de S). Pour ces surfaces, les p polynômes Q distincts, regardés comme les coordonnées homogènes d'un point de l'espace à (/? — i) dimensions, définissent (à une transformation homographique près) une surface S< de cet espace, dite surface normale^ qui correspond birationnellement à S. D'une manière plus précise, on peut exprimer que les trois surfaces

ont avec S un point commun et un seul. Pour cela, il faut et il suffit que a, p, y vérifient une relation

et, à chaque point (a, p, y) de (i) correspond un seul point {oc, y, z) de S. Cette surface S,, qui correspond birationnellement à S, est de degré (/?! — /? H- 3), comme l'a montré M. Nœther.

Le second groupe (où nous rangeons les surfaces de genre/? = 3) comprend les surfaces pour lesquelles toute surface £, passant par un point de S, passe par (n — i) autres points correspondants. On a nécessairement

Toute surface 2 tangente à ^ au point (x, /, 5) est tangente à S aux points correspondants. Toute courbe y qui passe par (^»j, 5) (ou est tangente à S en ce point) passe par les points correspondants (ou est tangente à S en ces points).

Le troisième groupe comprend les surfaces S (en particulier les surfaces de genre/? =2) pour lesquelles deux surfaces 2, qui ont un point commun avec S, ont une ligne commune avec cette surface. Pour ces surfaces, les courbes C se décomposent en courbes de

ffenre i, et le rapport ^^- ' ' ' " f est une fonction de YJ ' '•'' , quand

{x^y^ z) varie sur S.

Ceci posé, soient S' une seconde surface

p' et/?', les nombres qui correspondent aux nombres/? et/^^.

Admettons qu'on puisse passer rationnellement de (i) à (2) par la transformation

qui dépend de paramètres arbitraires. En répétant le raisonnonimt qu'emploie M. Picard (*) dans l'étude des transformations birationnelles des surfaces, on démontre que toute intégrale double de première espèce J de S se transforme en une intégrale de S'

les X, étant des constantes. On en conclut que/? étant plus grand que i, la transformation (3) ne saurait dépendre de deux paramétres ar/ntraires. Si elle dépend d'un paramétre, S rentre dans le troisième groupe, et le module des courbes C (de genre i) est constant. Quand S' est du troisième groupe, il en est de même de S. Enfin, on a, dans tous les cas.

Si je désigne par jji l'ordre de la transformation (3), c'est-à-diro le nombre de points (x\y\ z) de S qui correspondent à un point (>, v, z) de S, ce nombre \l satisfait à l'égalité

Supposons maintenant que Sçt S' appartiennent au premier groupe ; on aura

On devra donc pouvoir déterminer les constantes X, [x, ..., de façon que les rapports a, p, y introduits plus haut vérifient la relation (r)',

(*) E. Picard, Théorie des fondions algébriques de deux variables {loc. cit.).

86 p. PAINLEVÉ.

et ces conditions sont suffisantes. Ceci nous montre qu'onpeut calculer algébriquement toutes les transformations (3); il ne saurait ^ par suite, exister entre (i) et (2) qu'un nombre fini de transformations rationnelles. Ceci revient à dire qu'on passe de la surface de la normale S, à la surface normale S, k Taide de la transformation

Sidonc p=:^p\ la transformation (3) est nécessairement birationnelle. On pourrait se servir également de la condition qui exprime que la surface L (ou la courbe y) est tangente à S.

Passons au cas où S' est du second groupe, S étant du premier, et où il existe une transformation (3). La méthode précédente s'applique. Ajoutons que, a', fl', y' désignant les rapports de quatre polynômes Q' quelconques, la surface S\ ou

correspond rationnellement à S. Si S\ n'est pas du premier groupe, on raisonne sur S', comme sur S', et comme le genre /?, des S^ diminue, on parvient à une surface S" du premier groupe qu'on peut substituer à S'. Si p =p'\ la correspondance entre S et S" est nécessairement birationnelle.

Plus généralement, cherchons toutes les surfaces S distinctes du premier groupe, qui correspondent rationnellement à la surface donnée S'. (Nous ne regardons pas comme distinctes deux surfaces qui se correspondent birationnellement.) On peut toujours supposer S de degré (/>< —p -h 3), par suite de degré au plus égal à (jp\ —p' -h 3). On détermine dés lors algébriquement toutes les surfaces cherchées de ce degré. Il n existe quun nombre fini q de surfaces S réellement distinctes et répondant à la question .

Plaçons-nous maintenant dans le cas où S appartient au second groupe. On peut déterminer algébriquement toutes les substitutions(3)et, par suite, il n'en existe qu'un nombre fini. On le voit, en raisonnant comme M. Picard et en exprimant que les équations

elles équations (i) et (2) déterminent rationnellement un système de valeurs (x,y,z) en fonction du point (a?', y\ s') de S', si/?, =p\f la transformation (3) est birationnelle.

On peut également déterminer algébriquement toutes les surfaces S distinctes du second groupe qui correspondent rationnellement à S'.

Supposons enfin que S soit du troisième groupe, ce qui a toujours lieu si S' appartient lui-même au même groupe. Nous aurons

Il doit exister un faisceau de surfaces S', dépendant de (/> — i) paramètres et tel que deux surfaces du faisceau qui ont un point arbitraire commun sur S' coïncident le long de S'. Cette condition, toujours satisfaite si p = 2^ montre que, si p =p\ S' doit appartenir au troisième groupe. Il faut, de plus, que la courbe C (de genre i)

corresponde rationnellement à la courbe C

La question revient à reconnaître si une intégrale de première espèce de la courbe C (pour un certain faisceau de surfaces E') ne se ramène pas aux intégrales elliptiques.

Cette question résolue, on déterminerait algébriquement les transformations (3), s'il en existe. Quand le module P des courbes C est constant, la transformation (3) peut dépendre d' un paramétre et de plusieurs entiers arbitraires. Si k^ n est pas constant, la transformation ne saurait dépendre que d'entiers arbitraires.

Cette étude se rattache au problème de la transformation des fonctions hyperfuchsiennes. Mais je me réserve de développer ailleurs ces considérations, qui nous entraîneraient trop loin de notre sujet.

88 p. PAINLEVÉ.