FI. F
identité qui exige que
On verrait de même que
{.4 A/ — : Li A|.
Cfx, = c>;,
Donc à deux systèmes X, (jl, v distincts correspondent deux substitutions (3) distinctes.
Il en résulte que les relations qui lient les rapports des X, [x, v sont ou incompatibles ou déterminées. Ces relations, qui sont algébriques, ne sauraient admettre qu'un nombre fini de solutions : il n'existe donc qu'un nombre fini de substitutions (3) transformant (i) en (2), et la méthode précédente permet de les calculer algébriquement.
4. On peut donner plus de symétrie au raisonnement employé en 1^ 9
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introduisant la courbe gauche à laquelle M. Nœlher a donné le nom de courbe normale.
Regardons les p quantités
comme les/? coordonnées homogènes d'un certain point N dans l'espace à (/> — i) dimensions. Quand le point {y, z) décrit la courbe (i), le point N décrit une courbe gauche F dans l'espace à (/? — i) dimensions. Cette courbe F est la courbe normale attachée à la courbe (i).
A chaque point (7, z) de (i) correspond un point de F et un seul.
Réciproquement, si la courbe (i) n'est pas hyperelliptique, à chaque point de F correspond un point de (i) et un seul.
En effet, soient
les rapports des coordonnées homogènes d'un point de F. Les
courbes C
P,-«.Pj =0,
P,~a,Pj =0,
Pp— ap-iPi=:o
ont (en dehors des points A) un point commun M situé sur (i) et un seul; autrement, toutes les courbes C qui ont un point commun sur (i) en auraient par le fait même un second, et la courbe serait hyperelliptique.
D'après cela, il y a une correspondance birationnelle entre les courbes (i) et F.
Remarquons que la courbe F n'est définie qu'à une transformation homographique près.
Si l'on. élimine (j, s) entre les égalités qui expriment les p coordonnées P/, on obtient {p — 2) relations homogènes entre ces coordonnées. Ces relations, que nous appellerons les relations (a), sont les équations de F.
On peut de même attacher à la courbe (2) une courbe gauche V de
l'espace à {p — i) dimensions, définies par {p — 2) relations homogènes entre les P,-, relations que nous désignerons par la lettre (P).
Admettons qu'il existe une substitution (3) transformant (i) en (2). Les P/ deviennent des fonctions dej^,, 5,, qui continuent à vérifier les relations (a) ; d'autre part, on a
P»(/>^) f^iP'i(yi>^i) + f^»Pt( Vi>g|)+'-- + f^p'Pp>(.ri>^t) Pi(7,5) ^iP;(7i.50+... + >pP'p.(j^i,«i)
Ps(.v>^) ___. viP|(.ri>g|)'^----t- vPp/(ri»^i) Pi(7,^) ^iP;(yi,^i)-^.-.-+-^pPp^(y„-i)'
On voit donc que les coordonnées d'un point de la courbe T s'expriment homographiquement en fonction des coordonnées d'un point de r.
Analytiquement, on voit qu'en remplaçant dans les équations (a) les P, par des fonctions linéaires et homogènes des Py (les coefficients étant des constantes convenablement choisies), les (/? — 2) relations entre les P} ainsi formées doivent être des conséquences des relations (P). Ce fait s'exprimera par des relations algébriques entre les X, [x, v.
Inversement, quand les points de la courbe F correspondent homographiquement aux points de F, par des formules telles que
cette correspondance homographique définit une substitution rationnelle transformant la courbe (i) en la courbe (2).
Dans ce cas, en effet, a chaque ppint de (2) correspond un et seul point de (F), à chaque point de T un et seul point de F, enfin à chaque point de F un et seul point de (i). Chaque point (jk» s) de (i) est donc défini rationnellement en fonction d'un point (j,,2|)de(2). Le raisonnement n'excepte pas le cas où la courbe (2) serait de l'espèce hyperelliptique.
Quand.la substitution (3) est biralionnelle,/? =^', et la correspondance homographique entre les deux courbes (F) et (F') est réciproque.
Inversement, si/? = p\ la substitution (3) est nécessairement bira-
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lionnelle, caria correspondance entre F et F esl réciproque : à un point (y, s) (le (i) correspond un point de F, à ce point un point de F', à ce dernier enfin un point (ji»«i) de (2), si cette courbe (2) n'est pas hyperelliptique.
Ce cas, où (2) serait hyperelliptique, ne peut d'ailleurs se présenter. Pour le voir, ramenons l'équation (2) à la forme
Les polynômes P^ ne renfermant pas :;, , les rapports -=^ s'exprimeraient rationnellement eny^, et comme les coordonnées (y, z) d'un point de (i) sont des fonctions rationnelles dep^? elles s'exprimeraient ellesmêmes rationnellement en fonction d'un paramètre. La courbe (i) serait donc de genre zéro, tandis que p est plus grand que i par hypothèse.
Nous sommes conduits ainsi aux propositions suivantes :
On ne peut passer rationnellement d'une courbe (i) de genre supérieur à I à une courbe hyperelliptique (2), si ta courbe ( 1 ) n'est elle-même hyperelliptique.
Toute transformation rationne'le qui permet de passer d'une courbe (i) de genre supérieur à 1 et non hyperelliptique à une autre courbe (2) de même genre p est nécessairement birationnelle.
Ce théorème, nous l'avons démontré plus haut dans tous les cas.
Pour qu'il existe une substitution rationnelle qui permette de passer d'une courbe (i) non hyperelliptique à une autre courbe (2) du même genre p, il faut et il suffit que les deux courbes (\)et(i) admettent la même courbe normale.
Remarquons en passant que la méthode précédente fournit un moyen de calculer les modules d'une courbe algébrique ou d'une surface de Riemann. Ces modules ne sont autre chose que les invariants de la courbe F relatifs à la substitution homographique la plus générale.
Observons, au point de vue de la marche du calcul, qu'on peut choisir P^, Pj, P3, liés par une des relations (a) ;
(le telle façon que ^' s'exprime rationnellement en fonction de ^î» p^-
Cette courbe H = o, de degré/? -4-1, introduite par Clebsch, correspond birationnellement à (i) et son équation se calcule aisément. Si l'on pose
Pj V ' 7
pour que (i) corresponde rationnellement à (2), il faut et il sufTit qu'on puisse disposer des constantes X, (x, v, de telle façon qu'en faisant
dans l'équation
l'équation ainsi obtenue soit une conséquence de
5. Au lieu de faire usage de la courbe normale de M. Nœther, on pouvait avoir recours à certaines considérations indiquées par M. Poincaré dans le Mémoire déjà cité (*).
Écrivons Téquation des courbes adjointes C
AiPi(j, 5)-HA,P,(j,5)-|-...^-A;,Pp(/,5)rz=o
et de même, l'équation des courbes adjointes C
BiP'i(j„^,)-h...-hB;,'Pp'(7,,5,) = o.
Soient
® (Al, Aj, . . ., \p) — o, ei(B„B, B„)=.o
les deux relations algébriques et homogènes qui expriment, la première, que la courbe C est tangente à (1), la seconde, que C'est tangente
Désignons par (7,5) les coordonnées du point de contact de C et
(*) H. PoiNCARÉ, Acta mat/iematica, t. VII.
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de (i). Nous aurons
y "=. K (A|, Af, . . . , Ap), Z zz: tit( A}, Aj, . * • y Ap),
R et R« étant deux fonctions rationnelles. Toutefois, cette dernière proposition cesse d'être exacte si les courbes C ne peuvent avoir un point de contact avec (i) sans en avoir plusieurs. C'est précisément ce qui arrive pour les courbes hyperelliptiques.
Supposons en effet que la courbe (i)soit hyperelliptique et ramenée à la forme
Les courbes C ont alors pour équation
A, -4- A,7 -h . . . -h kpj'P-'' — p.
La relation = o exprime alors que cette équation a une racine double en j. A tout système de A<, Aj, . . ., A^, vérifiant cette condition correspond une seule valeur de j, mais deux valeurs de z :
Inversement, si toutes les courbes C tangentes à la courbe (i) ont avec cette courbe plusieurs points de contact, la courbe est hyperelliptique.
Soit en effet M un point de contact de (i) et de C. Par hypothèse, toutes les courbes C tangentes en M à la courbe (i) ont avec celte courbe au moins un second point de contact N.
Je dis en premier lieu que, ce point N est le même pour toutes les courbes C tangentes à (i) en M.
Pour le voir, désignons par(jo»2o) les coordonnées de M, par (7,5) celles de N.
Le point (jo^^o) étant un point de.contact de (i) et de C, ses coordonnées satisfont aux égalités
AiPi(/o, -0) -h...-+-ApPp(yo, -0) =0,
A <^Pi(ro>go) ^ ^ A ^Pp(.Ko, ^0) ^ dy " dy
Le symbole
dx
représente, dans cette dernière équation, la valeur que prend la fonction
àAy.z)
dy dz dj\y,z)
dz quand on y fait y =y^, z = z^.
Par hypothèse, le point (j, z) doit vérifier, par le fait même, les relations analogues
^ktViiy.z) =0.
