CHAPITRE IV

DE L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DONT L'INTÉGRALE GÉNÉRALE N'ADMET QU'UN NOMBRE DONNÉ n DE DÉTERMINATIONS SE PERMUTANT AUTOUR DES POINTS CRITIQUES xMOBÏLES.

1. Les résultats que nous avons obtenus dans le Chapitre précédent ne s'appliquent jamais au cas où le genre p de l'équation différentielle

est nul. Nous allons maintenant traiter un problème dont la solution embrasse les équations (i) de genre quelconque, en particulier les équations de premier degré en j'

(ME. Picard, Théorie des fonctions algébriques de deux variables {loc. cit.). P. i5

I l4 p. PAINLEVÉ.

Nous nous proposons de reconnaître si i intégrale générale de (i) n'admet qu'un nombre donné n de valeurs se permutant autour des points critiques mobiles.

Rappelons-nous, pour traiter cette question, les propositions générales établies dans le premier Chapitre :

Si l'intégrale est de l'espèce indiquée, elle se laisse définir parla relation

dans cette égalité, R/ désigne une fonction rationnelle de Xo» vj>; quant à jo» y'o^ ce sont les valeurs pour x^ de l'intégrale particulière et de sa dérivée; ces valeurs vérifient la condition

Les R/, Rj d'une part, les R/, -r-^ d'autre part, sont liés par des relations algébriques qu'on forme en éliminant.yo,j^o ci^tï*^ ces quantités et l'équation (i). Par exemple, si R^ dépend efi'ectivement de la constante d'intégration (jot^i)» on peut donner à ces équations la forme

R;.=z(p[R,,(^)], Ri = ^i[R/,(^).l,

les W, y étant algébriques en R^.

Quand n est le nombre exact des branches de y qui se permutent autour des points critiques mobiles, nous savons qu'il n'existe qu'un système distinct de telles relations.

Les fonctions R/(a?) ont leurs points critiques fixes. D'autre part, on a

Dans cette égalité, les quantités A;[ sont des fonctions rationnelles en jo- Nous allons chercher à déterminer une limite supérieure du degré en jo des deux polynômes dont A/ est le quotient.

Pour cela, nous ferons usage d'une seconde forme de l'intégrale de l'équation (i)

dans laquelle /est, comme Ton sait, un polynôme de degré mn par rapport à chacune des lettres y et jo- Supposons qu'on ait ramené à Tunité le coefficient de j^*"" dans

désignons par/, ce que devient/; nous pouvons écrire

Dans cette équation, les B;^ sont des fractions rationnelles dont les deux termes sont au plus de degré mn en y^.

Les mn valeurs de y qui correspondent k chaque valeur de Vo so décomposent de la manière suivante en m groupes formés chacun de n valeurs :

A chaque valeur de y^ correspondent m valeurs de yj,. Soient -,, 52, ...,5„, ces m valeurs. A chaque système de valeurs de (jo^Jo) correspondent les déterminations d'une même intégrale. Appelons R*, Rj^, ..., R)" les valeurs de R/ qui correspondent à y^; en d'autres

termes, posons

R/=Ri[/o,-/,(^)].

Posons encore et de même

^^^«^^,«-i(A«:;;«->-h...-hA;«)4-...-h(Aiw;'^-»-h...4-A;r),

On a identiquement (3) /i[7»7o, (•^*)] = X, Xj . . . X„.

Les coefficients des puissances dey sont, dans le premier membre de l'équation (3), des fonctions de y^ qui sont au plus de degré mn en Vo; dans le second membre, ce sont des fonctions entières des quantités a/, et les coefficients de ces fonctions sont eux-mêmes des fonctions symétriques de 5,, z.^, ..., 2,„, et, par suite, s'expriment

I |6 p. PAINLEVÉ.

rationnellement en fonction des coefficients a de l'équation

On peut aisément, pour chaque valeur donnée de m, calculer ces fonctions symétriques en fonction des a. Elles sont de la forme

chacun des nombres [x, [x', ...; étant au plus égal à (m — i) il nous suffit, pour le but que nous nous proposons d'atteindre, de calculer une limite supérieure de leur degré en jo« D'après la théorie des fonctions symétriques, une telle fonction S est une fonction entière des quantités a, et cette fonction entière est au plus de degré m{m — i) par rapport aux a. Si n! désigne le degré le plus élevé auquel y^ figure dans l'expression des quantités a, les quantités S seront au plus de degré

enjo-

Dans chacun des deux membres de l'équation (3), le coefficient de

r""' est égal à l'unité. En égalant respectivement les coefficients de ymn-\ ynn-^^ ^ ^o jj^^g \^ premier membre de l'équation (3), aux

coeffîcicntsdc y""*"*, j'"""*, ..••.y® dans le second membre, nous obtenons /n/i équations, liant entre elles les mn quantités Af. Chacune de ces équations peut s'écrire sous la forme suivante

(4) y Sa-[ Vo. (^o)]?;t(A}. . . . Ar . . A-) = B[/o, C^)],

les Çyv désignant des fonctions entières des A/.

Parmi ces équations, les (m — i) premières sont respectivement de degré i , 2, . . ., (m — i) par rapport aux A/. Toutes les autres sont de degré m.

Par rapport aux quantités y^^ les coefficients S^ sont au plus de degré v, et les quantités B sont au plus de degré mn.

D'ailleurs, le système des équations (4) n'est jamais indéterminé, sinon on pourrait trouver, pour chaque valeur de y^ et de x, une infinité de valeurs des quantités A^ vérifiant les équations (4)» et la quantité

/i[v, Vo, (x)],

qui est un polynôme en y, serait, par suite, décomposable d'une infinité de manières en un produit

de m facteurs de degré n en j, ce qui est absurde.

Si donc, entre les équations (4)» nous éliminons {mn — i) des quantités A^, nous obtenons une relation de la forme

ri[A/,ro, (x)] = o,

qui, pour chaque valeur de x, lie à jo 1^ quantité A^ restante.

égal à