mm

iMais, ce qui nous importe, c'est de trouver une limite supérieure de son degré en jo-

Pour l'obtenir, nous remarquerons que toutes les équations (4) sont au plus de degré N par rapport aux variables A/ et Voi N ^I^J^ignant le plus grand des deux nombres

mn et m -h v =r m(/i'-+- 1) — /i'.

Le degré auquel figure Vo dans le polynôme

ri[A^,7o. (^)]

est donc au plus égal à

J'ajoute que, si (m -h v) est supérieur à mn, cas auquel N est égal à (m-hv), on peut remplacer N par un nombre moindre, pour les (m — i) premières équations, ce qui conduit à prendre pour P une valeur moindre.

La fraction rationnelle A^ [y*, (a:)] doit donc vérifier une équation

où y figure au plus au degré P.

Mettons G sous forme entière par rapport aux A/ et aux Vo : le numérateur et le dénominateur de X] doivent diviser les deux cooffi-

I l8 p. PAINLEVÉ.

cients extrêmes du polynôme en A{. Les deux termes de la fraction rationnelle A^(j^o» ^) ^^^^ donc au plus de degré V en y^.

Cette limite supérieure de P est très élevée : dans chaque cas particulier, on pourra l'abaisser notablement. Pour deux nombres donnés, m et /i, sans rien supposer sur l'équation (i), on obtiendrait une limite très inférieure à la précédente en opérant ainsi.

On forme facilement, pour m et /i donnés, les quantités %

qui figurent dans les relations (4). Entre ces équations (4) on effectue l'élimination de (/w/i ~ i) des quantités A^ en traitant les quantités Syi(yo) comme des constantes quelconques. On arrive ainsi à une relation où figure celle des quantités A^ que Ton n'a pas éliminée, AJ par exemple, et les quantités S^, B,. On connaît une limite supérieure des degrés des S^, B/ en joî on connaîtra, par suite, une limite supérieure du degré en j© de l'équation qui donne A] ; cette limite est aussi celle du degré des deux termes de A] ; on opérera de même pour toutes les quantités A^.

La nouvelle limite ainsi trouvée vaut pour toutes les équations de degré m en y\ dont l'intégrale prend n valeurs autour des points critiques mobiles. Pour une équation diff^érentielle particulière donnée, en exprimant les S^ en fonction de y^, on abaissera encore cette limite.

Mais le fait important qu'il nous faut retenir pour l'instant, c'est qu'o/i peut toujours déterminer une limite supérieure P du degré auquel jo fig^^^^ dans les AJ. Il suffit de prendre

N désigne le plus grand des deux nombres

mn et m(n' -h i) — n' ;

n' est le degré en y de l'équation (i) pour x = Xq. Revenons maintenant a l'étude des quantités

D'après ce qui précède, elles sont au plus de degré P eny^.

Si donc on élimine y^ et Jo entre les trois relations

Ri = R,[/o,7'o,(^)],

l'équation algébrique et entière en R, j- à laquelle on parvient est

au plus de degré Q/, Q, se calculant aussitôt k l'aide de P. De même, si l'on élimine y©, yj^ entre les relations

ï^[/o,7i»(^o)], on obtient une équation

+i,y[RMRy,(^)] = o,

dont le premier membre est de degré au plus égal à Q,y. Nous pouvons donc écrire un système de relations ,

?[Ri, b;-,(^)]=o,

(5) . 4'iM [Ri, R.,(^)l = o,

' J^iM»[R/,R«,(^)] = o,

où les polynômes ç, '^ij ont des degrés respectivement égaux à Q^,

Exprimons, d'une part, que l'équation

9 = a ses points critiques fixes; d'autre part, que les équations

q^i-,y[RMRy,(^)] = o

définissent un système de fonctions R, (x), R2(a?), . . ., ^n(^) en fonction de R| et de x dont les points critiques sont également fixes; enfin que le système des fonctions R,, Rg, ..., R„, transporté dans la relation

/« 4- R(„i, y»-» + . . . 4- Ro = o,

définit l'intégrale de l'équation (i). Nous obtenons ainsi un cer-

I20 P. PAINLEVE.

tain nombre de conditions algébriques entre les coefficients indéterminés a{x)^ b(x)^ ... des polynômes ç, ^ et leurs dérivées

da db

dx dx

On reconnaît, par des opérations purement algébriques, si ces conditions sont compatibles. Quand elles le sont, par quelles opérations sont déterminés des coefficients a{x)^ b{x)^ ...?

Rappelons-nous que, si n valeurs se permutent effectivement autour des points critiques mobiles, il ne saurait exister deux systèmes distincts de relations (5). Pour éviter toute ambiguïté, supposons que, dans ^ij, le terme de degré le plus élevé en R,, R^ ait pour coefficient Tunité, de même que dansç le terme de degré le plus élevé en R/, R-. Dans ces conditions, on a

^/,y [R/, Ry, (^)] = Hf [R„ Ry, {x)\

p étant un certain entier et H/ une fonction de R,, Ry,(a?) bien déterminée, entière et irréductible par rapport à R,, Ry. Il en est de même pour ç.

D'après cela, si les conditions qui assujettissent les «/ sont compatibles et indéterminées, c'est que l'intégrale des (i) prend un notabre n' de valeurs inférieur à n autour des points critiques mobiles. Il faut donc essayer les nombres n! plus petits que n.

Quand les conditions sont compatibles et déterminées, il peut arriver que plusieurs systèmes «, 6, ..., les vérifient. Mais il suffît de chercher les polynômes ç, ^/yde degré minimum. Leurs coefficients s'obtiennent par des opérations linéaires, puisqu'il ne saurait exister qu'un seul système de tels polynômes.

Nous arrivons ainsi à ce théorème :

On reconnaît par des opérations purement algébriques si [intégrale dune équation (i) donnée ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles. Dans ce cas, [équation se ramène, par des opérations également linéaires, à une équation différentielle dont les points critiques sont fixes,

A cette dernière équation

s*appHquent les résultats de M. Poincaré. Si son genre p' est nul, elle se ramène à une équation de Riccati

(6) i' = Mi*-hNi-hP;

s'il est égal à Tunité, elle s'intègre par une quadrature; s'il est supérieur à it elle s'intègre algébriquement.

Il faut de plus que les fonctions Rj de x, définies par les relations

l];/,y[R/,Ry, (X)]z=:0,

n'aient elles-mêmes que des points critiques fixes. Cette condition met souvent en évidence des intégrales de l'équation de Riccati (6), quand p' = o.

Si Ry, en effet, ne s'exprime pas rationnellement en fonction de R„ R) , par suite en fonction de /, elle admet, pour chaque valeur de œ, au moins deux points critiques

et /o» ^4 doivent être intégrales de (6) pour que Ry n'ait pas de points critiques variables.

Quand les Ry ont trois points critiques distincts

to in: Ko, ^1 = Kl, ^t =^ Kj,

l'équation de Riccati s'intègre algébriquement.

Si tous les Ry n'ont que deux points critiques qui coïncident, on peut toujours supposer que ces valeurs critiques /o» ^ sont o et oo (car / n'est défini qu'à une transformation homographique près), et l'équation (6) se réduit à

d'où

Si l'on pose CP = y, p étant un entier convenablement choisi, toutes les fonctions Ry dépendront rationnellement de G

C'est ce qui a lieu de soi-même quand, p' étant nul, tous les Ry s'expriment rationnellement en fraction de R/, R^.

122 P. PAIMLEVÉ.

Une discussion analogue se présente dans le cas où /?'= r. Si tous Ry s'expriment rationnellement en R,-, R^., l'équation s'intègre par une quadrature, et son intégrale est de la forme

r" -^- P/.-1 (C, ^)r'*-* 4- . . . 4- po(C, a?)

-^V^('~C*)(i-/:'CM[r«-i(C,^)/'»-'-+-...-hro(C,^)]-o.

Au cas contraire, à un point critique de Ry[RM (a?)], [soitR/ = a(rc)], correspond une intégrale de l'équation

qui s'intègre algébriquement.

En définitive, l'intégrale de (i), quand elle prend un nombre donné n de valeurs autour des points critiques mobiles, s'obtient algébriquement, à moins quelle ne se laisse mettre dans l'une des deux formes suivantes

^V^(i-C*)(i-A-«C*)[r„.,(C,^)/«-' + ...-hro(C,^)] = o {auquel ca^ elle se calcule par une quadrature), ou

7'*-hR„-i(C, ^)K«-»-h...-HRo(C,^) = o

(^auquel cas elle dépend de l'intégration d'une équation de Riccati). Dans ces égalités, les p, r, R désignent des fonctions rationnelles de C.

Ajoutons que nous avons dirigé tout le calcul en nous servant de ^'[jo^yo» (^)l* ^' peut arriver que, dans l'intégrale cherchée, R,- ne dépende pas de {yo^y'^)- Dans la pratique, il faudrait donner à i successivement les valeurs t == i, z = 2, . .., f = /?, et égaler, dans chaque calcul, à des fonctions de x indépendantes de la constante, les R/ avec lesquels on aurait fait l'essai infructueusement.

Un procédé plus symétrique et plus élégant consiste à introduire la fonction

que nous avons considérée déjà dans le premier Chapitre. Nous savons déterminer une limite supérieure du degré auquel figure y^ dans r, par suite une limite supérieure du degré en r et r' de l'équation

SUR LES ÉQUATIOiNS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. 123

qui est, comme nous le savons, une relation entre les constantes ou fonctions intégrales. 11 faut d'abord que l'intégrale de cette équation ait ses points critiques fixes, quels que soient les a^Çx). Cette condition remplie, les R/ sont liés à rpar des relations

dont le degré ne peut dépasser une limite connue. Il suffit d'exprimer que, si l'on substitue les fonctions R^ [r, (x)] dans l'équation

cette équation définit l'intégrale de (i). Dans R,[r, (x)], r représente l'intégrale générale de l'équation différentielle

Quand ces conditions sont remplies, si l'on a laissé aux a/ des valeurs quelconques, R,, R2, ..., R^ s'expriment toujours rationnellement en r et r\

D'après cela, Y équation A = o et, par suite, l'équation (i) s'intègrent algébriquement quand le genre xs de la relation entre les constantes intégrales est supérieur à l'unité.

Quand ce genre est égal à i , l'équation (i) s'intègre par une quadrature.

Quand ce genre est nul, l'équation (i) se rojnène algébriquement à une équation de Riccati.

Si l'on se reporte aux formes que prend l'intégrale générale dans ces deux cas, formes que nous avons étudiées dans le premier Chapitre, on voit que ces résultats ne différent pas de ceux que nous avons obtenus tout à rheure.

2. La méthode que nous venons d'exposer démontre d'une façon directe que la question posée au début de ce Chapitre se résout à l'aide d'un nombre limité d'opérations algébriques; mais les calculs auxquels elle conduit seraient la plupart du temps inextricables. Nous allons indiquer un moyen beaucoup plus rapide de résoudre le problème.

Quand l'intégrale/ ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles, le genre xs de la relation entre les constantes inté-

grales peut être nul, égal à i, ou plus grand que i. Nous allons cherchera reconnaître successivement si l'intégrale de (i) est de l'espèce indiquée, ta étant d'abord supposé plus grand que Tunité, puis égal à l'unité, puis nul.

En premier lieu, si xs est plus grand que i, on a

p désignant le genre de F. Comme nous l'avons déjà remarqué, n est un diviseur de (/? — i). Admettre que la relation entre les constantes intégrales est de genre plus grand que i, c'est se donner par le point même une limite supérieure de n. Le moyen le plus simple de reconnaître si l'intégrale satisfait à ces conditions, c'est de suivre la marche indiquée au Chapitre III et de déterminer les courbes de degré or -f- 1, qui correspondent rationnellement k (i).

Supposons maintenant que p soit égal à o ou à i. Dans le premier cas, l'intégrale est définie par une relation

(6) G [/, y, (x)] = P«[y, (^)]/«-h. . . + Poly. (^)] = o,

OÙ les P, sont de degré m en y» si m est le degré de F en y (y désigne une constante ou une fonction de x qui véritîe une équation de Riccati). Il existe une correspondance birationnelle entre

et

F[/»/, (J^)] = o• Remarquonsàce sujet que le genre d'une courbe de degré neny letm

en Y ne peut dépasser un certain nombre, facile à calculer pour m et n

donnés. Si le genre p de (i) est supérieur à ce nombre, xs ne saurait

être nul.

Par exemple, si m = 2, /i = 2, gt étant nul, l'équation différentielle

qui admet une intégrale de telle nature est nécessairement de genre

nul ou égal à i.

Dans le cas oii tar = i , on a

/7«4-p„..i(y,a?)7«-»-h...-hpo[y,(^)]

(7) j 4- v/(i - y*) (I - ^Y)[^n^iiy^ ^)y'"' -+-..• -^ '•o(y» ^)] ( =Qr/,y>(^)]-^v^(i-y*)(i-^*y^)Qi[/,y,(^)]

et aussi

(8) GL/,y,(^)]=:P,„j^«'» + ...+ Po = o, ^

les P,- étant des polynômes en y de degré m. Quant à y» c'est une fonction de X qui vérifie Téquation

Ceci rappelé, plaçons-nous d'abord dans Thypothëse où cor serait nul et servons-nous de l'équation (6) à laquelle il faut joindre la condition

L'intégrale est susceptible d'être mise sous la forme (6) d'une infinité de façons : toutes les équations (6) se déduisent de l'une d'entre elles par le changement

a, b, a^, 6| étant des fonctions de x. Nous pouvons disposer de a, b, a,, 6, de façon que les coefficients de l'équation (6) satisfassent à trois conditions qui soient caractéristiques d'une équation (6), ou du moins d'un nombre fini de ces équations. Par exemple, nous pouvons astreindre les P/ à ces conditions que leurs trois racines Yo = g'(^)» y, = A(a?), Y2 = *(^)» d'ordre de multiplicité le plus élevé, soient égales à o, I, 2. On cherche alors à déterminer les coefficients A(a7), B(a?), ... des P,-, ainsi que M, N, P, de façon que l'équation (6) définisse l'intégrale de (i). On obtient ainsi un certain nombre de relations qui, si elles sont compatibles, sont déterminées, et Téquation (i) se trouve alors ramenée algébriquement à une équation de Riccati.

Quand le genre p de (i) n'est pas nul, on peut simplifier les calculs en tenant compte de la correspondance birationnelle de (i) et (6), correspondance qui est une conséquence des conditions que nous venons d'énoncer. Si nous introduisons les intégrales abéfiennes de première espèce relatives aux deux courbes, on doit avoir

126 p. PAINLEVÉ.

Par exemple, si Inéquation donnée est de la forme

l'équation (6) sera de la forme

(A,y*-f- A,y + Ao)/'*-H. . . + L,y«+ Liy -H Lo= o,

et Y devra s'exprimer rationnellement en y et v^R[j, (a?)].

Quand le genre/? de (i) est nul, on se sert de la transformation bi-

rationnelle

pour ramener Téquation à la forme

R étant rationnel en /.L'équation (6), relative à l'équation (i'), s'écrit

(Ajy-+-Ao)^'»-h{B,y-4-Bo)^'*-*-H...-KL,y -4-Lo=o,

ou encore

Aq^ + Bq^^-* 4-. . .-h Lq

On peut disposer de la transformation homographique qu'il est loisible de faire subir à y pour donner à y la forme

par exemple. Il faut déterminer les coefficients a^, b^, .. ., a^^ h^, . .. et M, N, P de façon qu'en remplaçant y et / dans l'équation

celle-ci se transforme en l'équation (i'). Si la chose est possible, elle n'est possible que d'une seule manière.

Remarquons que l'équation (i') n'est pas pleinement déterminée. On peut effectuer sur / une substitution homographique

Cette substitution» jointe au changement de variable a? = (p(a7,)t est la plus générale qui conserve à l'équation (i") sa forme, et aux intégrales y leur nombre de valeurs se permutant autour des points critiques mobiles.

Plus généralement, étant donnée une équation (i) quelconque, on se servira de la transformation biralionnelle

^ = 9{^ w, (x)], avec

pour ramener Téquation (t) a la forme la plus simple possible. Par exemple, si l'équation (i) est de l'espèce byperelliptique, on commence par la ramener à la forme

la transformation homographique

•^ «1/1-+- Pi

jointe au changement de variable x = ç(^i)t n'altère pas la forme de l'équation (i"), et c'est encore dans ce cas la transformation la plus générale qui jouisse de cette propriété.

Il nous reste à examiner le cas où ts serait égal à i. On peut employer une méthode calquée sur la méthode générale du § i, et qui ne donne pas ici de calculs très compliqués.

On part de la relation (7), et l'on écrit que

Q«-(i-y«)(— *V)Qî-^^n^^'

* in

G étant de degré 2n en y.

On obtient ainsi 2/1 relations qui donnent aisément, pour une valeur déterminée de /i, une limite supérieure du degré auquel y figure dans l'équation (7).

Cette équation (7) dépend, comme nous l'avons dit dans le premier

128 p. PAINLEVÉ.

Chapitre» d'une fonction a{x) arbitraire. On peut à y substituer y, qui lui correspond par la formule

yiV^(i-~flr*)(i--A:«fl«)-4-gv/(ï---y*)(i-- ^V)

Disposons de cette fonction a de façon à imposer aux coefficients de l'équation (7) une condition qui la caractérise. La méthode est alors la même que plus haut; il faut déterminer les coefficients arbitraires de (7) et N de façon que l'intégrale de (f) soit définie par (7), quand y satisfait à l'équation

Au lieu de se servir de l'équation (7), on pouvait employer l'équation (8). On se débarrasse de la fonction arbitraire a (x) de la même manière, et l'on cherche à déterminer N et les coefficients de l'équation (8) dont le degré en j et y est connu de façon que (8) définisse l'intégrale de (i). Quand les relations ainsi obtenues sont compatibles, l'équation (i) se trouve ramenée algébriquement à une quadrature. On pourra tenir compte de ce fait que la courbe (8) correspond à (i) par une transformation rationnelle du second ordre; si p' désigne son genre, on a

et ses p' intégrales abéliennes de première espèce se transforment en p' intégrales de la courbe (i).

Mais une méthode au moins aussi simple est la suivante : puisque xs est égal à i, l'intégrale de (i) satisfait, comme on sait, à une relation de la forme

^"^ =J[jK,/,(^)],

a désignant une constante, J une intégrale abélienne de première espèce attachée à la courbe (i). Nous sommes conduits ainsi à reconnaître si une intégrale abélienne de première espèce de (i) se ramène

SLR LES ÉQUATIONS DIFFÉUENTIELLKS OU PREMIER ORDRE. ï 29

aux intégrales elliptiques par une transformation d'ordre n, problème classique, qu'on sait résoudre algébriquement de bien des façons. Une fois calculées, les intégrales J qui jouissent de cette propriété, on vérifie si l'une de ces intégrales satisfait a la condition

quand on remplace y' par sa valeur tirée de (i), et, s'il en est ainsi, l'équation s'intègre par une quadrature.

Voici donc, pour des valeurs quelconques de cr, des méthodes de recherche de l'intégrale générale de (i) qui ne mèneront pas à des calculs rebutanis.

3. D'après ce qui précède, on voit que, pour une équation (i) de degré donné en v ety , le nombre n des valeurs de y qui se permutent autour des points critiques mobiles ne peut dépasser une certaine limite, sans que le genre gt de la relation entre les constantes intégrales soit égal à o ou à I. Pour gt = o et gt = i, /i peut être aussi grand que l'on veut; les méthodes employées ne fournissent aucun moyen de lui assigner, d'après l'équation donnée, une limite supérieure. C'est la d'ailleurs une difficulté analogue à celle qui se rencontre dans des questions beaucoup plus restreintes (par exemple dans le problème de la réduction des intégrales abéliennes aux intégrales logarithmiques ou elliptiques), et cette difficulté n'a pas été surmontée jusqu'ici, même dans ces cas particuliers.

Quant aux points critiques fixes, nous n'en avons rien dit jusqu'ici. On peut se proposer de reconnaître si l'intégrale y ne prend qu'un nombre limité de valeurs autour de ces points fixes. Trois cas sont à distinguer, suivant que l'on a

Supposons qu'on ait reconnu que l'intégrale prend n valeurs seulement autour des points critiques mobiles, et qu'on veuille l'étudier en tenant compte des points critiques fixes. Si gt est plus grand que i, l'intégrale est donnée algébriquement en fonction des coefficients de (i) : la question est résolue.

l3o p. PAINLEVÉ.

Si C5 — F, il suffit d'étudier ia fonction

r(a7)~2rt,(jr)R,[/o,yo»(^o), (^)].

Elle vérifie une équation de genre i, à points critiques fixes, qu'on ramène à la suivante

dt

Pour que t(x) ne prenne que [jl valeurs autour des points critiques (fixes), il faut que, N(.r) n'admettant qu'un nombre fini de déterminations, rintégrale

n'ait au plus que deux périodes a, ^, liées aux périodes co et co' de

, par les relations

\/(i-<«)(iA-'^')*^

m, m,, m\ m\^ m.^ sont des entiers.

Enfin, quand ccr = o, l'équation en r, r'se ramène à une équation de Riccati, par suite à une équation linéaire du second ordre.

Les conclusions de M. Poincaré, relatives aux équations du premier ordre dont l'intégrale générale est uniforme ou a ses points critiques fixes, subsistent donc pour des équations dont l'intégrale générale n'admet que n valeurs dans le plan ou autour des points critiques mobiles. L'intégrale, dans ces différents cas, est liée algébriquement aux coefficients de l'équation, ou en dépend par une quadrature, ou se ramène enfin aux transcendantes qu'introduisent les équations linéaires.

Les équations d'ordre supérieur les plus simples peuvent, au contraire, admettre pour intégrale générale des transcendantes uniformes (ou à n valeurs) essentiellement nouvelles. Les conclusions précédentes s'appliquent seulement aux équations dont l'intégrale y dépend algébriquement des jo» y\ Soit, dans cette hypothèse particulière.

SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE. l3l

Ff j,jo,y,,, ...,(x)] = o la relation algébrique irréductible qui définit rintégrale. On ne sait plus déterminer une limite du degré de F

enjo^yo» La méthode d'intégration développée dans ce Chapitre

ne s'étend donc pas aux équations d'ordre supérieur.