MÉMOIRE
SUR
RÉSOLUBLES ALGÉBRIQUEMENT
La solution de cette question générale, trouver toutes les équations de degré premier résolubles algéhnquement, fait l'objet de ce mémoire. Nous croyons que notre solution est exacte et complète, et nous avons l'espoir qu'elle sera jugée telle par les géomètres.
La résolution des équations des quatre premiers degrés était connue depuis longtemps, lorsque Vandermonde et Lagrange lurent presque en même temps, l'un à l'Académie des Sciences de Paris (^), l'autre à l'Académie des Sciences de Berlin (2), leurs savantes recherches sur la résolution générale des équations. Par des méthodes différentes, ces deux grands géomètres arrivèrent à des résultats identiques ; et, en particulier à celui-ci : « La résolution de Véquation générale du cinquième degré dépend en dernière analyse d'une équation du sixième degré; et la résolution de celle-ci d'une équation du quinzième ou du dixième degré. » Mais est-ce là le dernier degré de réduction auquel on puisse parvenir?
On en était là lorsque le célèbre Gauss publia en 1804 ses Disquisitiones arithmeticœ, qui contiennent dans la septième section la résolution algébrique des équations binômes.
(*) Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, année 1771.
(2) Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin, années 1770-71.
Despeyrous. — Mémoire.
Vingt-cinq ans plus tard Tillustre Abel s'occupa à son tour de la résolution algébrique des équations, comme le prouve la lettre qu'il écrivait, trois ans avant sa mort, à M. Holmboe : « Depuis mon arrivée à Berlin, je me suis occupé de la solution du problème général suivant : trouver toutes les équations qui sont résolubles algébriquement; ma solution n'est pas encore complète, mais autant que j'en puis juger, elle aboutira. Tant que le degré de l'équation est un nombre premier, la difficulté n'est pas très grande, mais lorsque ce nombre est composé, le diable s'en mêle (*). »
Nous devons ajouter qu'il ne réussit même pas lorsque le degré est premier, mais qu'il trouva, en généralisant les résultats de Gauss sur les équations binômes, une classe d'équations résolubles algébriquement, appelées aujourd'hui abéliennes, et qu'il démontra l'impossibilité de résoudre algébriquement des équations générales de degré supérieur au quatrième (2).
Enfin M. Liouville a publié en 4846, dans son journal^ les œuvres mathématiques de Gallois, dont la mort prématurée a été une véritable perte pour la science. Dans ces œuvres, se trouve la démonstration de ce beau théorème : a Pour qu'une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toutes les racines soient des fonctions rationnelles de deux quelconques d'entre elles. » Mais la démonstration laisse beaucoup à désirer, elle a des lacunes, et il a fallu toute l'autorité de M. Liouville pour faire admettre l'existence du théorème. Nous avons encore de Gallois un fragment sur les conditions de résolubilité des équations de degré composé; mais il est inintelligible, à l'exception des trois premières pages.
Les remarquables travaux dont nous% venons de parler nous ont fait hésiter longtemps à nous occuper de la question générale ci-dessus énoncée^ mais nos recherches (3) sur la théorie de r ordre et sur l'application que nous en avons faite à la classification des permutations qu'offrent m lettres en groupes de permutations inséparables quels que soient les échanges de ces lettres, fournissent une méthode
(1) Œuvres complNcft d'Ain /, 2* vol., p. SOî). {*) Jd., p. Ji et lli (lu premier volume.
(3) Journal de Mathématiques pnres et appliquées^ deuxième série, t. VI, p. 417; t. X, p. cio et 177.
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pour la solution de cette question g^énérale, et c'est le résultat des applications de cette méthode que nous soumettons au jugement des géomètres.
Notre travail est divisé en deux sections : dans la première, après avoir rappelé l'indispensable théorie de Lagrange sur les fonctions semblables et dissemblables, nous exposons les principes, de notre théorie sur les équations résolubles par radicaux. Ces principes se composent de six théorèmes dont un seul, le cinquième, était connu et appartient à Gallois.
Le but de ces principes est d'établir : 4« que la résolution de toute équation algébrique, irréductible et soluble par radicaux dépend nécessairement de la résolution d'une équation auxiliaire appelée résolva7ite, dont les racines sont des fonctions rationnelles de celles de la proposée ; 2® que cette équation résolvante n'est décomposable en facteurs de degrés moindres, qu'autant que les groupes de permutations des racines de l'équation proposée, relatifs à celles de l'équation résolvante, peuvent être partagés en nouveaux groupes de permutations inséparables.
Ces deux théorèmes contiennent en germe la méthode qu'on doit suivre pour la détermination des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation algébrique et irréductible soit soluble par radicaux.
Dans la deuxième section, nous développons cette méthode, et nous démontrons que les deux théorèmes de Lagrange, sur la théorie générale des» équations, sont des conséquences nécessaires de la théorie des équations, vérité (*) aperçue par ce grand géomètre, et que nous mettons, ce nous semble, hors de doute.
Ainsi nous démontrons : 4» que pour résoudre une équation algébrique irréductible et de degré premier n, il est nécessaire et suffisant de résoudre deux équations, l'une de degré n — 1 et l'autre de degré 4.2.3 ... (n — 2); 2® que pour résoudre une équation algébrique irréductible et de degré composé m :=:nq (n étant premier) il est nécessaire et suffisant de résoudre n équations de degré q et deux autres équations, l'une de degré n — 4 et l'autre de degré y
(^) Traité de la résolution des équations numériques, i* éd., p. 274*
donné par la formule
^~{i,2,3.,.qy.7i{n — i)
De là, et de notre théorème de la classification des permutations (^), nous déduisons d'une manière directe, qu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième. Ce théorème, dû à Abel, comme nous l'avons déjà dit, a été démontré par ce géomètre par la réduction à l'absurde; plus tard, Wantzel en a donné une démonstration plus simple, mais ayant le même caractère. Notre démonstration est directe et elle est déduite de la nature même des choses, aussi est-elle simple et facile.
Puisqu'il est impossible de résoudre algébriquement les équations générales de degré supérieur au quatrième, on doit chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation irréductible, de degré supérieur à quatre, soit résoluble algébriquement, c'est-à-dire soluble par radicaux.
Notre théorie de la classification des permutations nous fait d'abord retrouver une classe d'équations résolubles algébriquement, c'est celle des équations dites abéliennes, et la décomposition de ces équations en d'autres, de degrés moindres, selon la loi de Gauss. Puis nous distinguons dans cette recherche deux cas, celui où le degré est un nombre premier, et celui où il est composé. Dans le premier cas nous démontrons ce théorème : Pour qu'une équation irréductible et de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que, deux racines étant données, les autres s'en déduisent rationnellement suiva7it une loi que nous faisons connaître.
Ce théorème, tel que Gallois l'avait énoncé, ne faisait pas connaître cette loi de dérivation des racines; c'est peut-être pour cette raison que la démonstration de ce géomètre laissait beaucoup à désirer : nous espérons que la nôtre sera à l'abri de ce reproche.
Ensuite,^ nous donnons, théorème XIV, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation algébrique irréductible et dont le degré ne contient aucun des facteurs premiers deux et trois soit résoluble algébriquement.
(1) Journal de Mathématiques, 2« série, t. VI, p. 417.
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Enfin nous examinons les cas particuliers qui ne sont pas compris dans ce dernier théorème, et pour chacun d'eux nous donnons les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation irréductible soit soluble par radicaux. C'est ainsi que nous complétons la solution de ce problème général : trouver toutes les équations résolubles algébriquement.
